TMA0 Statistikk Høst 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Et venn-diagram for (A [ B) 0 = A 0 \ B 0 er vist i figur. Hendelsen A [ B er hele det skraverte området, og (A [ B) 0 er dermed området som ikke er skravert. A 0 \ B 0 er området som ligger utenfor både A og B, dvs området som ikke er skravert. Vi har dermed vist at (A [ B) 0 = A 0 \ B 0. Venn-diagrammet for (A \ B) 0 = A 0 [ B 0 er vist i figur. A \ B er Figur : Venn-diagram for(a [ B) 0 = A 0 \ B 0 her det skraverte området, og (A \ B) 0 er dermed området som ikke er skravert. A 0 [ B 0 er området som ligger utenfor enten A eller B, dvs området som ikke er skravert. Vi har dermed at (A \ B) 0 = A 0 [ B 0. Følgende hendelser er markert i figur : Hedelse Nummer A [ (B [ C) =(A [ B) [ C A \ (B \ C) =(A \ B) \ C A [ (B \ C) =(A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) =(A \ B) [ (A \ C) Oppgave En eske inneholder 00 gjenstander som kan ha defekter av type A, type B og type C. Følgende defekter er oppgitt i oppgaven: ov-lsf-n 6. august 0 Side
TMA0 Statistikk Høst 0 Figur : Venn-diagram for (A \ B) 0 = A 0 [ B 0 Figur : Venn-diagram Beskrivelse Symbol Antall Ingen defekt A 0 \ B 0 \ C 0 6 Har kun defekt av type A A \ B 0 \ C 0 Har kun defekt av type B A 0 \ B \ C 0 Har kun defekt av type C A 0 \ B 0 \ C 9 Har defekt av type A og B, ikke C A \ B \ C 0 Har defekt av type A og C, ikke B A \ B 0 \ C Har defekt av type B og C, ikke A A 0 \ B \ C Har defekt av alle typer A \ B \ C La gjenstandene være nummerert,..., 00. Et naturlig utfallsrom er da S = {,,,...,99, 00}. Venn-diagrammet for defekter av type A, type B og type C er vist i figur. Vi har videre ov-lsf-n 6. august 0 Side
TMA0 Statistikk Høst 0 Figur : Venn-diagram for defekter av type A, type B og type C. Beskrivelse Symbol Antall Minst en type defekt A [ B [ C Bare en type defekt (A \ B 0 \ C 0 ) [ (A 0 \ B \ C 0 ) [ (A 0 \ B 0 \ C) 6 Minst to typer defekt (A \ B) [ (A \ C) [ (B \ C) 8 ov-lsf-n 6. august 0 Side
Oppgave TMA0 Statistikk Høst 0 a) Ett par, dvs kort med samme verdi og kort med ulike andre verdier. Det finnes verdier paret kan ta, og de to kortene i paret kan velges på måter. Verdiene til de tre siste kortene kan velges på ulike måter (etter at verdien på paret er valgt ut, har en tolv ulike verdier igjen). Hvert av disse tre kortene har mulige fargekombinasjoner. Tilsammen har en ulike måter å trekke ut kort fra. Dette gir P (Ett par) = =0.6. b) To par, dvs to kort med en verdi, to kort med en annen verdi og ett kort med en tredje verdi. Vi har nå kombinasjoner av verdiene på parene, og de to kortene i hvert par kan kombineres på måter. Det siste kortet kan velges på ulike måter (etter at verdiene på parene er valgt ut, har en ulike verdier igjen), og kortet har ulike fargekombinasjoner. Vi får dermed P (To par) = =0.07. c) Tress, dvs tre kort med samme verdi samt to kort med to forskjellige verdier. De tre like kan ta verdier, og de kan kombineres på ulike måter. De resterende to kortene kan velges på ulike måter, der hvert kort har fargekombinasjoner. Dette gir P (Tress) = =0.0. d) Straight, dvs fem kort med verdier i rekkefølge uansett kortfarge. Vi har tilsammen 0 måter å lage en straight (A, 6,..., 0 A). Hvert av de fem kortene kan velges blandt fire farger. ov-lsf-n 6. august 0 Side
TMA0 Statistikk Høst 0 P (Straight) = 0 =0.009. e) Flush, dvs fem kort i samme farge. Det er fire farger i en kortstokk. Når en farge er valgt, må de fem kortene trekkes fra de verdiene. P (Flush) = =0.000. f) Fullt hus, dvs ett par og tress. Ett par kan velges av tretten verdier, og tressen kan velges av de resterende. P (Fullt hus) =0.00. g) Fire lange, dvs fire kort med samme verdi. De fire kortene tar en av verdier, og de kan kombineres på måter. Det resterende kortet velges fra mulige verdier med fire mulige fargekombinasjoner. P (Fire lange) = =0.000. h) Straight flush, dvs fem kort i rekkefølge i samme farge. I hver farge har vi ti straighter, og det finnes fire farger. Dette gir P (Straight flush) = 0 =0.0000. i) Royal straight flush, dvs straight flush med ess som høyeste kort. Av hver av straightene er det bare en i hver farge som har ess på toppen. P (Royal straight flush) = =0.000000. Oppgave ov-lsf-n 6. august 0 Side
TMA0 Statistikk Høst 0 Definer M : Mann K : Kvinne F : Fargeblind med oppgitte sannsynligheter P (M) =0. P (K) =0. P (F M) =0.0 P (F K) =0.00. Vi skal beregne P (M F ), og bruker Bayes regel: P (M F ) = P (M \ F ) P (F ) P (M) P (F M) = P (M) P (F M)+P (K) P (F K) 0. 0.0 = 0. 0.0 + 0. 0.00 = 0.9. Oppgave Det er enklest å se på de komplementære hendelsene A 0 og B 0 : P (A 0 ) = P (mynt falsk) P (falsk) + P (mynt ekte) (ekte) = 0+ = Samme verdi gjelder også for P (B 0 ), dvs. P (B 0 )=. Videre har vi P (A 0 \ B 0 )=P (B 0 A 0 )P (A 0 )= = 8 (Hvis. kast er mynt, er den ekte mynten trukket først. Dermed er første tallet her ). Dermed er P (A 0 \ B 0 )ikkelikp (A 0 ) P (B 0 ), slik at A 0 og B 0 er avhengige. Da er også A og B avhengige. ov-lsf-n 6. august 0 Side 6
Hvis ikke en ser på komplementære hendelser, blir regningen som følger. TMA0 Statistikk Høst 0 P (A) = P (kron \ falsk) + P (kron \ ekte) = P (kron falsk)p (falsk) + P (kron ekte)p (ekte) = + =. De to kastene er like, så P (B) =P (A). P (A \ B) = P (A \ B \ ekte) + P (A \ B \ falsk) = P ((A \ B) ekte)p (ekte) + P ((A \ B) falsk)p (falsk) = + = 8. Konklusjonen er den samme, P (A)P (B) 6= P (A \ B), dermed er hendelsene avhengige. ov-lsf-n 6. august 0 Side 7