NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI OG ANVENDT GEOFYSIKK SIG Geofysisk Signalanalyse Lsningsforslag ving Oppgave a) Vi har Amplitudespekteret er da Y (!) = x + x e ;i! = (x + x cos(!)) ; ix sin(!): jy (!)j =(x +X X cos(!)+x )= : Bytter vi x og x,far vi akkurat samme resultat. Dette beviser at Y og Y har samme amplitudespektrum. Selvsagt er fase-spektret derimot ulik for Y og Y, ellers ville de to waveletene vre identiske. b) Z-transformen til P er P (z) =;+z ; z +z 3 : I og med at / er en av rttene kan vi faktorisere med (z ; =). Vi nner da lett at P (z) = (z ; =)( ; z + z ) = (z ; =)(z ; ( + i))(z ; ( ; i)): Rttene til P (z) er da z = =, z = + i og z 3 = ; i = z. Vi har jz j = jz 3 j = p, det vil si en rot innenfor enhetssirkelen og to utenfor. Derfor er P mixed delay. c) For waveleten Y denert i sprsmal a), er Z-transformen hvor z = ;x =x. For Y har vi Y (z) = x + x z = x (z + x =x ) = x (z ; z ) Y (z) = x + x z = x (z + x =x ) = ;x z (z ; =z ):
Vi vet fra fr at Y og Y har samme amplitudespektrum. Dette beviser at man ikke forandrer amplitudespektret til en wavelet av lengde nar man bytter roten z med =z og multipliserer med ;z. Z-transformen W (z) til en wavelet W med vilkarlig lengde kan skrives som produkt av Z-transformene til ere waveleter av lengde : W (z) = Q i W i (z), med W i (z) =a i (z ; z i ). A Multiplisere i Z-domenet tilsvarer a multiplisere i frekvensdomenet. Frekvens-spektret til W er da W (!) = Q i W i (!). Amplitudespektret jw (!)j blir da ikke forandret om vi bytter W i (z) med ;a i z i (z ; =z i ). Ved a utfre denne transformasjonen gradvis for alle rtter kan vi fa en rekke forskjellige waveleter, som alle har samme amplitudespektrum. Merk: Hvis z i er en kompleks rot av W (z), da er ogsa z i en rot (ellers ville W vrt en wavelet med komplekse verdier). Transformasjonen som vi nettopp har beskrevet ma utfres pa z i og z i samtidig for a ikkefa enwavelet med komplekse verdier. Na anvender vi dette pa P. Utfra det vi har sagt, kan vi fa tre nye waveleter P, P og P 3, med Z-transform P (z) = ;(z ; )(z ; ( + i))(z ; ( ; i)) = ;(z ; )(z ; z +) = ; z +z ; z 3 P (z) = (z ; =)( + i)(z ; =( + i))( ; i)(z ; =( ; i)) = (z ; =)(z ; =( ; i))(z +=( + i)) = (z ; )(z ; z +=) = ;+z ; z +z 3 P 3 (z) = ;(z ; )( + i)(z ; =( + i))( ; i)(z ; =( ; i)) = ;(z ; )(z ; =( ; i))(z +=( + i)) = ;(z ; )(z ; z +=) = ; z +z ; z 3 : (I tillegg nnes det re plasseringer av nullpunktene som gir samme amplitudespektrum, men hvor waveleten blir kompleks) I tidsdomenet kan vi skrive P = ( ; ;), P = (; ; ), og P 3 = ( ; ;). Merk at ;P, ;P, ;P og P 3 ogsa har samme amplitudespektrum som P (det er bare en fase-forskjell mellom P og ;P, men igne forskjell i amplitudespektret). Vi ser at P har alle sine rtter utenfor enhetssirkelen, og er derfor minimum delay. Derimot har P alle sine rtter innenfor enhets-kretsen, og er derfor maximum delay. P 3 har en rot utenfor, og rtter innenfor enhets-kretsen, og er mixed delay. P hadde to rtter utenfor, og en rot innenfor enhets-kretsen. Derfor er P ogsa mixed-delay, men pa en mate er den \mer minimum-delay" enn P 3. Merk ogsa atp og P er symmetriske. Det samme gjelder P og P 3. For a gi et inntrykk av forskjellene i delay-egenskapene har vi tegnet P, P, P 3 og P (mindre og mindre minimum delay for a si det slik...), samt rttene til Z-transformen og frekvensspektrene i gur til. Vi ser at mesteparten av energien i P kommer i de frste samplene. Fasen til
Wavelet P... 3 3.. Figure : Wavelet P Roots of the z transform Wavelet P........ Figure : Rttene til Z-transform til wavelet P Amplitude Spectrum Wavelet P...3.....3.. Phase Spectrum...3.....3.. Figure 3: Spektrum til wavelet P 3
Wavelet P... 3 3.. Figure : Wavelet P Roots of the z transform. Wavelet P....... Figure : Rttene til Z-transform til wavelet P Amplitude Spectrum...3.....3.. Phase Spectrum...3.....3.. Figure : Spektrum til wavelet P
Wavelet P3... 3 3.. Figure 7: Wavelet P3 Roots of the z transform. Wavelet P3....... Figure 8: Rttene til Z-transform til wavelet P3 Amplitude Spectrum...3.....3.. Phase Spectrum...3.....3.. Figure 9: Spektrum til wavelet P3
Wavelet P... 3 3.. Figure : Wavelet P Roots of the z transform. Wavelet P....... Figure : Rttene til Z-transform til wavelet P Amplitude Spectrum...3.....3.. Phase Spectrum...3.....3.. Figure : Spektrum til wavelet P
P er ogsa mindre enn fasen til de andre waveletene. Dette er karakteristisk for en minimum delay wavelet. Derimot kommer energien i de siste samplene i P, som er maximum delay. For P og P 3 er energien jevnere fordelt mellom alle samplene. Vi ser ogsa at amplitudespektrene er identiske for alle waveletene. I tidligere vinger har vi snakket mye om amplitudespektre, og lite om fasespektre, fordi amplitudespektret som regel er lettere a knytte til formen til signalet i tids-domenet (se for eksempel oppgave ). Her kan vi se litt nrmere pa fasen. Vi har, for et signal x(t), x(t) = Z ; = = Z ; Z ; X(!)e i!t dt A(!)e i(!) e i!t dt A(!)[cos(!t +(!)) + i sin(!t +(!))] dt Den komplekse delen forsvinner pa grunn av symmetri egenskapene til A(!) og (!). Vi ser at signalet x(t) bestar av en sum av uendelig mange forskjellige komponenter A(!) cos(!t + (!)). Mens A(!) beskriver hvor sterk hver komponent er, bestemmer (!) hvor forskjvet den er i forhold til origo t =. Hvis fasen er null for hver frekvens, har alle komponenter et maksimum i t =, og da er x(t) symmetrisk (som vi allerede har sett i ving ). Som konklusjon kan vi si at amplitudespektret forteller hvilke frekvenser \brer" energien i et signal, mens fasen bestemmer hvordan denne energien fordeles i signalet. Denne oppgaven illustrerer hvordan fordelingen av energi i en wavelet varierer med fasen. Oppgave a) Vi beregner og faktoriserer Z-transformen til signalet s: S(z) = ; =z +=z = ( ; z=)( ; z=3): Rttene til Z-transformen er og 3. De ligger begge to utenfor enhetskretsen (deres modulus er strre enn ). Derfor er s minimum delay. b) For a nne koesientene til det ideelle ltret f bruker vi denisjonen av et invers-lter i Z-domenet: F (z) ==S(z) = ( ; z=)( ; z=3) : () Vi benytter partiale brker: F (z) = a ( ; z=) + b ( ; z=3) 7
og beregner a og b: F (z) = a + b ; (a=3+b=)z ( ; z=)( ; z=3) som gir, nar vi sammenligner med denisjon (), a + b = a=3+b= = Vi lser systemet og far a =3ogb = ;. Vi bruker ogsa X ; x = x k 8x jxj < () k slik at vi endelig kan skrive F (z) = = 3 = 3 ( ; z=) ; ( ; z=3) +X +X n= n= (z=) n ; +X n= (3= n ; =3 n )z n : (z=3) n Merk at vi ogsa kunne brukt ligning () direkte i denisjon (), men man kommer lettere til et generelt uttrykk m.h.a partiale brker (den \direkte" metoden er grei kun for de 3, frste koesientene). Na kjenner vi koesientene til det ideelle ltret f: f =( = 9=3 ::: 3= n ; =3 n :::) c) Vi ma konvolvere (,-/,/) med (,/,9/3). Vi far f s = ( ;= 9=) ' ( :3 :9) Resultatet har vi tegnet i gur 3. Den stiplete linjen viser det opprinnelige signalet og den heltrukne viser signalet etter ltrering. Invers-ltret prver a transformere signalet til en spike. Det er vellykket for de frste samplene, men vi far noen unskede ikke-null sampler pa slutten. ker vi lengden pa ltret vil disse ikke-null samplene komme senere, og ha mindre amplitude, men de vil dessverre aldri forsvinne (og vi kan ikke heller bruke et veldig langt lter, for ltreringen blir da for treg og kostbar). Hvis vi ltrerer en hel trase med vart lter (antatt at s er kildesignalet) vil opplsningen ke, i og med at spike'n er kortere enn s, men samtidig vil disse unskede ikke-null samplene dukke opp, og det er en fare for at tolkeren blander dem med de ekte reeksjonene i trasen... d) Minste-kvadrattsfeilen er E = (=) +(9=) = :98: Det betyr at minste-kvadrattsfeilen er 9:8% av energien i nskede output. 8
Oppgave 3 a) Vi bruker normalligningene mx = ' ss ( ; i)f = ' zs (i) hvor z =( :::)erdet nskede output. Vi ma beregne autokorrelasjonen til s, og krysskorrelasjonen mellom z og x. Vi far ' ss =(= ;3=3 3=8 ;3=3 =) og ' zs =(= ;= ): For a nne koesientene f, f and f til ltret, ma vidalse flgende system: 3=8 ;3=3 = ;3=3 3=8 ;3=3 = ;3=3 3=8 3 7 f f f 3 7 : = 3 7 Vi far f ' (:9 :7 :3) b) Det ltrerte signalet er y = f s. Vi far y =(:9 ;:8 ;: ;: :) Resultatet er tegnet i gur, som kan sammenlignes med gur 3. Feilen er na fordelt jevnere mellom alle samplene. I stedet for a ha noe helt riktig pa begynnelsen av signalet, og en stor feil pa slutten (de unskede ikke-null sampler), har vi en feil hele veien, men med en maksimum amplitude som er mindre enn for det avkortede ideelle ltret (. i stedet for.3). Dermed er det mindre fare for a blande \feilen" med en ekte reeksjon enn det var tilfellet for ltret i forrige oppgave. ker vi lengden til begge ltre blir forskjellen enda strre. c) Vi har E = : +:8 +: +: +: = :7: Minste-kvadrattsfeilen er :7% av energien i nskede output. Dette er ca. halvparten av feilen vi hadde med det andre ltret. Et Wiener-lter (eller minstekvadrattslter) er nettopp laget for a minimalisere minste-kvadrattsfeilen. Det er da naturlig at denne feilen blir mindre enn for et annet lter med samme lengde... 9
Filtering with truncated version (3 samples) of ideal invers filter..... 3 3... Figure 3: Filtrering med invers-lter av lengde 3 Filtering with invers Wiener filter of length 3..... 3 3... Figure : Filtrering med Wiener spiking lter av lengde 3