Eksamen feb 6.nb Oppgave Clear@x, y, zd F@x_, y_, z_d := 8x y z, y z, x y z< << Calculus`VectorAnalysis` SetCoordinates@Cartesian@x, y, zdd CartesianHx, y, zl Curl@F@x, y, zdd 8x z - y z, x y - y z, -x z< Vektorfeltet er ikke konservativt da curl F Beregner W = Ÿ C F@8x_, y_, z_<d := F@x, y, zd r@t_d := 8t, t, t < F. dr der C er kurven parametrisert av r(t), t W = F@r@tDD.r'@tD t + t 8 + t 7 F@r@tDD.r'@tD t 5 ÅÅÅÅÅ 8 Siden feltet ikke er konservativt, vil arbeidet utført av vektorfeltet være avhengig av veien. Neste test bekrefter dette. rr@t_d := t 8,, < F@rr@tDD.rr'@tD t ÅÅÅÅÅÅÅÅ Oppgave Et legeme er begrenset av x y - planet, paraboloiden z = x + y + = r +, og hyperboloiden x + y -Hz - L = r -Hz - L =. La dk være overflaten av K, og A den del av dk som ligger på hyperboloidedelen. intercept = Solve@8r Hz L, z r + <, 8r, z<d 98z Ø, r Ø -<, 8z Ø, r Ø <, 9z Ø, r Ø - è!!!! =, 9z Ø, r Ø è!!!! ==
Eksamen feb 6.nb Vi må ha z = da paraboloiden skjærer ut av paraboloiden igjen ved z =. 8r, z< = 8r, z< ê. intercept@@dd 8, < Clear@r, zd Området i (x, y) - planet blir en sirkel med radius r: Solve@8r Hz L, z <, 8r<D@@DD 9r Ø è!!!! 5= Off@Plot::plnrD PlotA9x +, è!!!!!!!!!!!!!! x, + è!!!!!!!!!!!!!! x =, 9x, è!!!! 5, è!!!! 5=, Ticks 99 è!!!! 5,,, è!!!! 5 =, Automatic=, PlotStyle 88<, 8<, Dashing@8.<D<, Epilog 9Dashing@8.5,.8<D, Line@88, <, 8, <<D, LineA99 è!!!!, =, 9 è!!!!, ==E=E 6 5 4 è!!! 5 - è!!! 5 Ü Graphics Ü << Graphics`ContourPlotD`
Eksamen feb 6.nb BlockA8$DisplayFunction = Identity<, cp = ContourPlotD@z x y, 8x,, <, 8y,, <, 8z,, <, PlotPoints 6 D; cp = ContourPlotDAx + y Hz L, 9x, è!!!! 5, è!!!! 5=, 9y, è!!!! 5, è!!!! 5=, 8z,, <, PlotPoints 6E E; Show@cp, cp, Boxed False, DisplayFunction $DisplayFunctionD; BlockA8$DisplayFunction = Identity<, cp = ContourPlotD@z x y, 8x,, <, 8y,, <, 8z,, <, PlotPoints 6 D; cp4 = ContourPlotDAx + y Hz L, 9x, è!!!! 5, è!!!! 5=, 9y,, è!!!! 5=, 8z,, <, PlotPoints 6E E; Show@cp, cp4, Boxed False, ViewPoint 8,, <, DisplayFunction $DisplayFunctionD;
Eksamen feb 6.nb 4 PlotA9x +, è!!!!!!!!!!!!!! x =, 9x, è!!!! 5, è!!!! 5=, Ticks 99 è!!!! 5,,, è!!!! 5 =, Automatic=E.5.5.5 è!!! 5 - è!!! 5 Ü Graphics Ü ü a) Deler volumet opp i to, pga ulike randkurver. Beregner først volumet av legemet mellom paraboloiden og x y - planet. Dette legemet har grunnflate lik enhetssirkelen, r =. Først integreres langs den vertikale søylen fra z = til z = r -. π r + V = r z r θ p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Den andre delen består av legemet over sirkelringen i xy -planet begrenset av hyperboloideflaten. Først integreres langs den vertikale søylen fra z = til z = - è!!!!!!!!!!!!! r -. π è!!!! 5 è!!!!!!!!!!!!!! r V = r z r θ 8 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ V K = V + V 5 p 6 Kan også beregne volumet bygd opp av horisontale sirkulære skiver med tykkelse dz. è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! π Hz L + π V = r r z θ + 5 p 6 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Hz L + è!!!!!!!!!!! z r r z θ V = π HHz L + L z + π H HHz L + L Hz LL z 5 p 6
Eksamen feb 6.nb 5 ü b) F@x_, y_, z_d := 9x y z, x + y + z, H yl z y z = Div@F@x, y, zdd êê Simplify ü c) Φ = F.n ds = F dv H Gauss' setningl = dv δk K K Φ δ K = V K 5 p ü d ü Alternativ Denne metoden er mest direkte, men gir komplisert beregning av fluksintegralet over paraboloiden. En utvendig normalvektor til paraboloideflaten vil ha positiv z- komponent. Den projiserte flaten i xy-planet vil være enhetssirkelen, så vi skifter til polarkoordinater n@x_, y_, z_d := 8 x, y, < F@x, y, zd.n@x, y, zd ê. z x + y + ê. 8 x r Cos@θD, y r Sin@θD< êê Simplify ÅÅÅÅÅ H-rH6 r4 + 9 r + 9L sinhql -Hr + LHr sinh ql - 4LL π Φ par = i j k H r H6 r4 + 9 r + 9L Sin@θD Hr + L Hr Sin@ θd 4LL y z r r θ { p I det siste integralet vil bare siste ledd gi bidrag pga symmetri π Hr + L r r t p Fluksen ut av bunnflaten er null, da F.n = her: F@x, y, zd.8,, < ê. z Φ bunn = ;
Eksamen feb 6.nb 6 Fluksen ut av hyperboloideflaten A blir Φ A = Φ δ K Φ par Φ bunn 6 p Vi har altså funnet at ŸŸ A F.n S = 6 p ÅÅÅÅÅÅÅÅ ü Alternativ Vi kan definere et nytt, lukket område L bestående av hyperboloiden begrenset av planene z = og z =. Da slipper vi problemet med å beregne fluksen ut av paraboloideflaten. Fluksen ut av toppskiven er enklere å beregne. La dl betegne overflaten til legemet L. ShowAContourPlotDAx + y Hz L, 9x, è!!!! 5, è!!!! 5=, 9y, è!!!! 5, è!!!! 5 =, 8z,, <, PlotPoints 6, DisplayFunction IdentityE, ParametricPlotD@8r Cos@uD, r Sin@uD, <, 8r,, <, 8u,, π<, DisplayFunction IdentityD, DisplayFunction $DisplayFunction, Boxed FalseE; PlotA è!!!!!!!!!!!!!! x, 9x, è!!!! 5, è!!!! 5=, Ticks 99 è!!!! 5,,, è!!!! 5 =, Automatic=, Epilog Line@88, <, 8, <<DE.5.5 è!!! 5 - è!!! 5 Ü Graphics Ü
Eksamen feb 6.nb 7 Vi beregner volumet av L lettest ved å addere horisontale sirkelskiver med radius r = "######################## +Hz - L mellom z = og z =. V L = pÿ HHz - L + L z è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! π Hz L + V L = r r z θ 4 p Fluksen ut av L beregnes ved divergenssetningen. Vi husker at õ.f = Φ δ L = V L 8 p Det gjenstår å beregne fluksen ut av toppflaten, en sirkulær skive med radius. En utvendig normalvektor er rettet rett oppover. n@x_, y_, z_d = 8,, <; F@x, y, zd.n@x, y, zd ê. z êê Simplify 4-6 y Bare første ledd gir bidrag til fluksintegralet (aksialsymmetri) og fluksen blir derfor lik 4 ŸŸ da = 4 p = 4 p. π Φ topp = H4 r Sin@θDL r r θ 4 p Fluksen ut av A blir differansen mellom total fluks ut av dl og fluksen ut av toppflaten og bunnflaten: Φ A = Φ δ L Φ topp Φ bunn 6 p ü e) G@x_, y_, z_d := 8 y z + z Cos@yD, x z, x y z < Curl@G@x, y, zdd 8 x y z x z - x z, -y - x y z z y + z coshyl, sinhyl z + z + y z<
Eksamen feb 6.nb 8 ü f) ShowAContourPlotDAx + y Hz L, 9x, è!!!! 5, è!!!! 5=, 9y, è!!!! 5, è!!!! 5 =, 8z,, <, PlotPoints 6, DisplayFunction IdentityE, ParametricPlotD@8Cos@uD, Sin@uD,, 8Thickness@.D, Red<<, 8u,, π<, DisplayFunction IdentityD, DisplayFunction $DisplayFunction, Boxed FalseE; Curl@F@x, y, zdd.8,, < ê. z êê Simplify W = Ÿ C r@t_d := 8Cos@tD, Sin@tD, < F@8x_, y_, z_<d = F@x, y, zd :x y z, x + y + z, H - yl z - ÅÅÅÅÅÅÅÅ y z ÅÅÅÅÅ > F@r@tDD.r'@tD êê Simplify coshtl HcosH tl + 4L π F@r@tDD.r'@tD t F. dr = Ÿ Ÿõ äf.n S = Ÿ p Ÿ õ äf.n r r q Forfatteren av oppgaven hadde egentlig forvekslet GHx, y.zl med FHx, y, zl. Direkte utregning av kurveintegralet W = Ÿ C G@8x_, y_, z_<d = G@x, y, zd 8z coshyl - y z, x z, x y z < G. dr
Eksamen feb 6.nb 9 G@r@tDD.r'@tD êê Simplify Hsin HtL - coshsinhtll sinhtl + cos HtLL Bare siste ledd gir bidrag når vi integrerer over en hel periode, så integralet blir redusert til p 4Ÿ cos p t t = + cos t p 4Ÿ ÅÅÅÅÅÅÅ t = Ÿ t = 4 p π G@r@tDD.r'@tD t 4 p Med Stokes sats: k = 8,, <; Curl@G@x, y, zdd.k ê. z 4 y + 4 sinhyl + 4 W = Ÿ G. dr = Ÿ Ÿõ äg.k S =ŸŸH4 y + 4 sin y + 4L S, der vi integrerer over toppskiva begrenset av kurven C. Vi C skifter til polarkoordinater: W = Ÿ p Ÿ H4 r sin q + 4 sinh r sin ql + 4L r r q π W = H4 r Sin@θD + 4 Sin@ r Sin@θDD + 4L r r θ 4 p De to første leddene integreres til null pga odde symmetri. Kurveintegralet blir derfor W = 4 * Arealet av enhetssirkelen. π W = 4 r r θ 4 p Oppgave Clear@f, gd f@x_, y_, z_d := x + y + z g@x_, y_, z_d := x y z + 4 Bestem største og minste avstand til nivåflaten ghx, y, zl = fra origo og hvor dette inntreffer. Dette er ekvivalent med å finne ekstremalverdiene til f med bibetingelse g =. Lagrange's multiplikatormetode gir õf = l õg << Calculus`VectorAnalysis` SetCoordinates@Cartesian@x, y, zdd;
Eksamen feb 6.nb Grad@f@x, y, zdd 8 x, y, z< Grad@f@x, y, zdd λ Grad@g@x, y, zdd 8 x, y, z< 8y l, x l, - z l< Vi får likningene x = l y, y = l x, z = -l z. Dersom z, følger av siste likning at l = -. Innsetting i de to andre likningene x = - y, y = -x, som bare er oppfylt for x = y =. Punktet (,,z) skal ligge på flaten g. Men g(,,z) = -z + 4 = har løsninger z =. Vi finner derfor kandidatene H,, L og H,, -L. Disse har avstand fra origo. Dersom z =, vil siste likning være tilfredstilt for alle l. Kombinerer vi derimot de to andre likningene, får vi 4 x = l x. Vi kan ikke ha x =, siden det medfører at y =, og origo ligger ikke på flaten g. Eneste mulighet er derfor l = eller l = -. l = gir videre y = x. ghx, x, L = x + 4 = gir ingen reelle løsninger. l = - gir y = -x. Likningen ghx, -x, L = -x + 4 = gir løsninger x =. Vi finner derfor to nye kandidater H, -, Log H-,, L. Disse har avstand è!!! fra origo. Vi har derfor funnet maks avstand fra origo i punktene (±,,) og minst avstand fra origo i punktene(,, ). Vi lar Mathematica løse problemet for oss, og ser at både de reelle og komplekse løsningene stemmer med papirarbeidet. solns = Solve@8Grad@f@x, y, zdd λ Grad@g@x, y, zdd, x y z + 4 <, 8x, y, z, λ<d 88z Ø -, x Ø, y Ø, l Ø -<, 8z Ø, x Ø, y Ø, l Ø -<, 8l Ø -, z Ø, x Ø -, y Ø <, 8l Ø -, z Ø, x Ø, y Ø -<, 8l Ø, z Ø, x Ø - Â, y Ø - Â<, 8l Ø, z Ø, x Ø Â, y Ø Â<< values = 8x, y, z, λ< ê. solns i - -y - - - - - -  -  j k   z { pts = values ê. 8x_, y_, z_, λ_< 8x, y, z< i -y - - -  -  j k   z { Vi kan bare akseptere reelle verdier: pts = DeleteCases@pts, 8_Complex, _Complex, _Integer<D i -y - j k - z {
Eksamen feb 6.nb f@8x_, y_, z_<d = f@x, y, zd x + y + z Sqrt @f@#dd & ê@ pts 9,, è!!!!, è!!!! = Minste avstand fra origo til flaten ghx, y, zl er, i punktene (,,±). Største avstand fra origo til flaten ghx, y, zl er è!!!, i punktene (, ±,) Oppgave 4 << Graphics`InequalityGraphics` BlockA8$DisplayFunction = Identity<, pl = PlotA9x, 4 x, x, 9 =, 8x,, 5<E; x ip = InequalityPlot@y > x && y < 4 x && x y > && x y < 9, 8x,, <, 8y,, 6<DE; Show@ip, pl, PlotRange 8, 7<, AxesLabel 8"x", "y"<d y 7 6 5 4 Ü Graphics Ü Clear@u, vd u@x_, y_d := v@x, yd := x y 4 5 x y x
Eksamen feb 6.nb Block@8$DisplayFunction = Identity<, ip = InequalityPlot@u > && u < 4 && v > && v < 9, 8u,, 5<, 8v,, <DD; lines = Graphics@8Line@88, <, 8, <<D, Line@884, <, 84, <<D<D; Show@ip, lines, PlotRange 8, <, AxesLabel 8"u", "v"<d v 8 6 4.5.5.5 4 u J "##### y ÅÅÅÅ Ü Graphics Ü J@x_, y_d = Outer@D, 8u@x, yd, v@x, yd<, 8x, y<d i - ÅÅÅÅÅÅ y j k y ÅÅÅÅ x x x y z { Det@J@x, ydd - y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x j = Det@J@x, ydd ê. y x u - u x 9 4 ÅÅÅÅ Ÿ Ÿ I ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! + è!!!!!!!! x yn x y = Ÿ ŸI è!!!! u + è!!! vm + è!!!! v ÅÅÅÅÅÅÅÅ u Å Abs@ jd u v = ÅÅÅÅÅ Ÿ ŸI ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! + è!!!! v ÅÅÅÅÅÅÅÅ u u M u v = u M u v = ÅÅÅÅ 9 è!!! 9 è!!! Ÿ I + v ln 4M v = Ÿ I + v ln M v = 8 + ÅÅÅÅÅ 5 ln
Eksamen feb 6.nb 9 4 I è!!!! u + è!!!! vm u v êê Expand Abs@jD 5 loghl 8 +