ü Omkrets ü Rotasjonsflate oblig1 Ma 3B h 2007 fasit.nb 2 Ldq. Vi må passe på at cos H ÅÅÅÅL>0 når 0 Relasjonen cosh ÅÅÅÅ

Transkript

1 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb Oblig Ma 3B h 7 fasit ü Oppgave Det er ikke umiddelbart klart hvordan vi eliminerer parameteren t, men prøv å summere de kvadrerte uttrykkene og se hva det fører til: x + y = - t +t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 t = + t +t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 = H+t L H+t L H+t L H+t L x = t + t ; y = t + t ; x + y êê Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =. H+t L Kurven er en sirkel med sentrum i (,) og radius. t = - gir punktet (-,), t = - gir punktet (,-), t = gir punktet (,), t = gir punktet (,) og t = + returner til utgangspunktet (-,). Dette viser at sirkelen gjennomløpes mot klokka når t øker. Eliminasjonen av t kan gjøres direkte i Mathematicaprogrammet: Clear@x, yd EliminateA9x == t + t, y == t =, te + t - y x ü Oppgave << Graphics`Graphics` r@θ_d := + Cos@θD Kurven kalles kardioide, pga hjerteformen

2 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb PolarPlot@r@θD, 8θ,, <D ü Omkrets ds = "################################################# r@θd + D@r@θD, θd dθ êê Simplify è!!!! d è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! coshl + Relasjonen cosh ÅÅÅÅ L = "############### ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +cos Å = ÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H + cos L gir da ds = cosh ÅÅÅÅ Ld. Vi må passe på at cos H ÅÅÅÅL> når < < p og cos H ÅÅÅÅ L< når p < < p. Det enkleste er derfor å integrere over intervallet [,p] og multiplisere med. Ellers blir svaret, periferien blir beregnet med fortegn og gir ufysisk resultat. Omkrets = 4 8 CosA θ E θ Mathematica gir deg løsningen direkte: "################################################# Omkrets = r@θd + D@r@θD, θd θ 8 ü Rotasjonsflate I polarkoordinater blir y = r() sin. Dette gir da = p y ds = p (+cos ) sin ds = p cosh ÅÅÅÅ L sin( ÅÅÅÅ ) cos( ÅÅÅÅ ) ds = 8p cosh ÅÅÅÅ L sin( ÅÅÅÅ ) cos( ÅÅÅÅ ) cosh ÅÅÅÅ L d = 6p cosh ÅÅÅÅ L4 sin( ÅÅÅÅ ) d. Overflaten av rotasjonslegemet dekkes en gang når øvre halvdel av kardioiden roterer om x- aksen. Integrasjonsgrensene blir derfor og p. A = 6 p Ÿ p cos H ÅÅÅÅ L4 sinh ÅÅÅÅ L = 3p Ÿ u 4 u ved substitusjonen u = cosh ÅÅÅÅ L.

3 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 3 Overflateareal = 3 u 4 u 3 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 Uten mellomregning: Overflateareal = r@θd Sin@θD ds θ 3 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 ParametricPlot3D@ 8r@θD Cos@θD, r@θd Sin@θD Cos@φD, r@θd Sin@θD Sin@φD, EdgeForm@D<, 8φ,, <, 8θ,, <, ViewPoint > 8.374,.33,.9<, Boxed False, Axes NoneD Ü Graphics3D Ü ü Oppgave 3 z@x_, y_d := x + x y D@z@x, yd, xd ê. 8x, y < 4 grad@f_, 8x_, y_<d := 8D@f@x, yd, xd, D@f@x, yd, yd < grad@z, 8x, y<d 8 x + y, x< Den partieltderiverte mhp x er samtidig den retningsderiverte i retning Ø: ( u = [,])

4 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 4 grad@z, 8x, y<d.8, < ê. 8x, y < 4 Retningsderivert i retning NØ ( u = ÅÅÅÅÅÅÅÅ [,] ) è!!!! 8, < grad@z, 8x, y<d. è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8, <.8, < x ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ x ÅÅÅÅÅÅÅÅ + y è!!!! ÅÅÅÅÅ 8, < grad@z, 8x, y<d. è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8, <.8, < ê. 8x, y < êê N Retningsvektor der stigningen er størst = õz(x,y). grad@z, 8x, y<d ê. 8x, y < 84, < Største stigning = õ z(x,y) è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! grad@z, 8x, y<d.grad@z, 8x, y<d ê. 8x, y < êê N 4.3 ü Oppgave 4 y_d := x y x@t_d = Cos@tD; y@td = Sin@tD;. Derivasjon etter kjerneregelen ( totalt differensial): dt = D@z@x, yd, xd D@x@tD, td + D@z@x, yd, yd D@y@tD, td x Cos@tD y Sin@tD dt ê. 8x Cos@tD, y Sin@tD< Cos@tD Sin@tD Totalt differensial er implementert i Mathematica ved kommandoen Dt: Dt@z@x@tD, y@tdd, td cos HtL - sin HtL. Derivasjon direkte mhp t h@t_d = z@x@td, y@tdd Cos@tD Sin@tD

5 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 5 D@h@tD, td cos HtL - sin HtL Hva blir dz ÅÅÅÅÅ dt når t = p ÅÅÅÅ? Det enkleste er å derivere h(t) = z(x(t),y(t)): D@h@tD, td ê. t - Hva blir ÅÅÅÅÅ dz dt i punktet ( ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ è!!! 3 )? Vi kan enten finne parameterverdien t svarende til punktet, for så å bruke uttrykket for dz ÅÅÅÅÅ dt. SolveA9x@tD == è!!!!, y@td == 3=, te ::t Ø p ÅÅÅÅÅ 3 >> D@h@tD, td ê. t - ÅÅÅÅÅ 3 Eller vi kan uttrykke ÅÅÅÅÅ dz ved hjelp av x og y på sirkelen. dt dz ÅÅÅÅÅ dt = cos HtL - sin HtL = x - y = ÅÅÅÅ 4 - ÅÅÅÅ 3 4 = - ÅÅÅÅ. ü Oppgave 5 U@R_, i_d := R i Derivasjon etter kjerneregelen betyr her å finne totalderivert av U mhp t. du ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ Å = du dr + du di dt dr dt di dt Dt@U@R@tD, i@tdd, td RHtL i HtL + ihtl R HtL Løser likningen mhp i' HtL: data = 8R 6, i.4, Rp.5, Up.< 8R Ø 6, i Ø.4, Rp Ø.5, Up Ø -.< Solve@Up D@U@R, id, RD Rp + D@U@R, id, id ip, ipd ê. data 88ip Ø -.5<<

6 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 6 ü Oppgave 6 r@t_d := 8Cos@tD, Sin@tD< ParametricPlot@r@tD, 8t,, <, AspectRatio AutomaticD r@D, ra 3 E, r@d, ra E, r@ D= 88, <, 8, <, 8, <, 8, <, 8, << Med denne parametriseringen gjennomløpes sirkelen fra punktet (,) med urviseren, dvs. i negativ omløpsretning, men dette har ingen betydning for beregning av omkretsen. r'@td 8 Sin@tD, Cos@tD< ds = r'(t) dt = "############################## x' HtL + y' HtL dt = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! r' HtL.r' HtL dt è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! r'@td.r'@td t p Selv om sentrum i sirkelen er flyttet fra origo, er dette fortsatt omkretsen av en enhetssirkel. ü Oppgave 7 Clear@x, yd

7 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 7 x@t_d = + Cos@tD; y@t_d = + Sin@tD; r@t_d = 8x@tD, y@td<; ParametricPlot@8x@tD, y@td<, 8t,, <, AspectRatio AutomaticD Graphics ds = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! r'@td.r'@td dθ êê Simplify d Beregner ö C periode: (x+y) ds langs den parametriserte kurven C. Integralet reduseres til Ÿ p 4 da vi integrerer over en full Hx@tD + y@tdl è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! r'@td.r'@td t 8 ü Oppgave 8 << Graphics`FilledPlot`

8 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 8 FilledPlot@x, 8x,, <, Fills RGBColor@,.7, DD Integrerer først vertikalt mellom y = og y = x for fast x. Dette gir Ÿ x x sin y y = xh - cos xl. Deretter summeres søylene fra x = til x = p x x Sin@yD y x ÅÅÅÅÅ H4 + p L Detaljer: Innerste integral: x x Sin@yD y x x Cos@xD Ytterste integral ved delvis integrasjon p p p p Ÿ xh - cos xl x = xhx - sin xl - Ÿ Hx - sin xl x = p -I ÅÅÅÅÅ x + cos xm = ÅÅÅÅÅ p + x H Cos@xDL x H4 + L

9 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 9 ü Oppgave 9 FilledPlot@8 x, x <, 8x,, <, Fills RGBColor@.6,.5, DD Vertikale striper integreres fra y = - x til y = - x -x. Indre integral girÿ -x y = x - x. Deretter summeres stripene fra x = til x =. x y x x ÅÅÅÅÅ 6 Horisontale striper integreres fra x = - y til x = è!!!!!!!!!!!!! -y è!!!!!!!!!!!! - y. Indre integral gir Ÿ -y x = y + - y -. Stripene summeres fra y = til y =. è!!!!!!!!!!! y x y y ÅÅÅÅÅ 6 è!!!!!!!!!!! ü Oppgave FilledPlot@8x, <, 8x,, <, Fills RGBColor@.3,.7,.5DD

10 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb Mathematica kan løse integralet selv om vi integrerer først med hensyn på y, men det er mer enn vi andre dødelige vil klare. Sin@yD x y y x Ved å benytte definisjonen av integralsinus, SiHxL =Ÿ x sin t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t t, vil programmet gi følgende delsvar på det innerste integralet. Sin@yD FullSimplifyA x y SiHpL - SiHxL Her imponerer programmet: SiHL SiHxL x y, Assumptions > x > E Bytter vi om på integrasjonsrekkefølgen, reduseres dobbeltintegralet til to enkle integraler, fordi integranden er konstant mhp x: y Sin@yD y Innerste integral: x y y Sin@yD y sinhyl Ytterste integral: x Sin@yD y ü Oppgave Kurven kalles en lemniskate. Tangentene i origo er linjene y =± x: << Graphics`Graphics`

11 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb PolarPlotA9 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Cos@ θd, è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Cos@ θd=, 9θ, 4, 4 =E Arealet av kurven begrenset til.kvadrant sveipes over når vinkelen varierer fra til p ÅÅÅÅ 4 : PolarPlotA è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Cos@ θd, 9θ,, 4 =E << Graphics`IneualityGraphics` IneualityPlot@x 4 + x y + y 4 < 4 Hx y L, 8x,, <, 8y,, <D Arealet lar seg lett beregne i polarkoordinater: è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Cos@ θd 4 Detaljert utregning: Indre integral: è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Cos@ θd r r Cos@ θd r r θ Ytre integral

12 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 4 Cos@ θd θ I kartesiske koordinater må vi nøye oss med numerisk beregnet svar: NIntegrate@Boole@x 4 + x y + y 4 < 4 Hx y LD, 8x,, <, 8y,, <D. Integrate@Boole@x 4 + x y + y 4 < 4 Hx y LD, 8x,, <, 8y,, <D Root@x 4-4 x + # 4 +H x + 4L # &, D x N@%D. ü Oppgave Et trippelintegral behøver ikke gi positivt svar. Neste integral kan tolkes som "volumet" av flaten whx, y, zl = x - y + z i 4, men kan ikke gis noen fysisk tolkning i 3. Konturflaten w = er hyperboloiden z = y - x. Hx y + z L z y x - 4 ÅÅÅÅÅ 3 ü Oppgave 3 g@x_d := g@x_d := x h@x_, y_d := h@x_, y_d := x y px = 5; py = ; pz = 5;

13 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 3 Solid@8g, g, h, h<, px, py, pz,, D; x x y x z y x ÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 Detaljer: x y x z x H + x + yl x H x x x yl y x x + x3 i k j x x + x3 y z x { 4 ü Oppgave 4 << Graphics`ParametricPlot3D`

14 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 4 parabol = CylindricalPlot3D@ r, 8r,, <, 8θ,, <, Boxed False, DisplayFunction IdentityD; cyl = ParametricPlot3D@8 Cos@θD, Sin@θD, z<, 8z,, <, 8θ,, <, PlotPoints 8, 5<, Boxed False, Axes None, DisplayFunction IdentityD; Show@parabol, cyl, DisplayFunction $DisplayFunctionD; r r z r θ 3 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Integralet representerer volumet av området begrenset av x y-planet, sylinderen r = og paraboloiden z = - r. Legemet er vist ovenfor og miner mest av alt om et tårn med krumt tak. Detaljer: Indre integral: Ytre integral: r r z r r 3 H r r 3 L r 3 ü Oppgave 5 r@θ_d := + Cos@θD

15 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 5 ParametricPlot3D@88r@θD Cos@θD, r@θd Sin@θD, z, EdgeForm@BlueD<, 8Cos@θD, Sin@θD, z, EdgeForm@RedD<<, 8z,, 4<, 8θ,, <, PlotPoints 83, 45<, Boxed False, AxesStyle Thickness@.DD Graphics3D PolarPlot@8 + Cos@θD, <, 8θ,, <D Grunnflaten i sylinderen er snittet mellom sirkelen og kardioiden.

16 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 6 << Graphics`IneualityGraphics` IneualityPlotA9Hx + y xl Hx + y L <, x + y < =, 8x,, <, 8y,, <E Pga grensene i radiell retning må volumet beregnes som en sum av to trippelintegraler p r r z θ Cos@θD r r z θ Sylinderen er symmetrisk om x- aksen, dette forenkler integrasjonen: i j k p 4 r r z θ + Her ser du legemet isolert fra omgivelsene 4 +Cos@θD r r z θ y z êê Expand {

17 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 7 p = ParametricPlot3DA8r@θD Cos@θD, r@θd Sin@θD, z<, 8z,, 4<, 9θ,, 3 =, PlotPoints 83, 45<, Boxed False, Axes None, DisplayFunction IdentityE; p = ParametricPlot3DA8Cos@θD, Sin@θD, z<, 8z,, 4<, 9θ,, =, PlotPoints 83, 45<, Boxed False, Axes None, DisplayFunction IdentityE; Show@p, p, DisplayFunction $DisplayFunctionD Ü Graphics3D Ü

18 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 8 ü Oppgave 6 ParametricPlot3D@ 88r Cos@θD, r Sin@θD, r, EdgeForm@D<, 8Cos@θD, Sin@θD, r<<, 8r,, <, 8θ,, <D Ü Graphics3D Ü ParametricPlot3D@88r Cos@θD, r Sin@θD, r<, 8Cos@θD, Sin@θD, r<<, 8r,, <, 8θ,, <, ViewPoint 8.5,,.5<, Boxed False, Axes NoneD Ü Graphics3D Ü Området er begrenset av sylinderen, kjeglen og x y - planet. For et vilkårlig punkt (x,y) œ D: {x + y } varierer z fra z = til kjegleflaten z = r i polarkoorinater. Med konstant tetthet r beregnes massen til legemet ved integralet r m = ρ r z r θ p r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 I tyngdepunktberegningen inngår integralet

19 oblig Ma 3B h 7 fasit.nb 9 r z ρ r z r θ p r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 Tyngdepunktet ligger på z-aksen: 8,, z < = 9,, Ÿ r Ÿ Ÿ z ρ r z r θ = m :,, 3 ÅÅÅÅÅ 8 >