NTNU Istitutt for matematiske fag SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Løsigsforslag Oppgavesettet har pukter, ab, abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelse a Vi har h(t = t e (t τ f(τ dτ = e t f(t og følgelig H(s = s + F (s ved kovolusjosregele Alterativt ka vi starte med L{e t f(t} = F (s ifølge skiftteorem, da er L{ t eτ f(τ dτ} =(/sf (s ifølge itegralregele og dermed L{e t t eτ f(τ dτ} =(/(s +F ((s + = F (s/(s + ved skiftteorem For h(t får vi ved å bruke skiftteorem i ( og skiftteorem i (: ( ( H(s = F (s s + = s +s + = H(s = F (s s + = s + og følgelig h(t =e t si t (s + + ( s + s e s = s e s og følgelig h(t =(t u(t b La Y (s være de Laplacetrasformerte av y(t Laplacetrasformerer vi det gitte iitialverdiproblemet, får vi s Y s ] +4 sy ] +4Y = F (s+ s Side s +4s +4=(s + og s +4=(s ++får vi Y = (s ++ (s + + s(s + F (s = s + + (s + + s H(s y = L (Y =e t +te t + t + F (s =s F (s s h(τ dτ slik at g(t =e t +te t a For koeffisietee i siusrekka får vi b = π π f(xsix dx = π π si x dx = cos x = cos cos Følgelig har f(x siusrekke f(x = = cos cos si x Vi setter i x = π/ Når =m er si(π/ = si mπ =ogår =m + er si(π/ = si (mπ + π/ = cos mπ =( m Sidef er kotiuerlig for x = π/ følger m= m cos (m + cos (4m + ( m + ( π = f = π lfsif53v3 4 mai 3 Side
SIF53 Matematikk 4N eksame 453 b Dersom u(x, t =F (xg(t oppfyller (i og (ii, må viha F kf =, F( =, F(π = og G (k G = for e kostat k Fra Kreyszig 3 vet vi at ikketrivielle løsiger for F (x blir F (x = si x for k = der =,,3,ForG(t får vi G +( +G =somgir G (t =C e ( +t der C er e vilkårlig kostat For u(x, t =F (xg(t får vi dermed u (x, t =F (xg (t =C e ( +t si x, =,, 3, Side (i er lieær og homoge, er summe u(x, t = = u (x, t også e løsig, og de oppfyller (ii Vi setter følgelig u(x, t = = C e ( +t si x, og bestemmer koeffisietee C slik at betigelse (iii blir oppfylt Vi skal ha f(x =u(x, = = C si x for <x<π Fra pukt a får vi C = (cos cos / og følgelig u(x, t = = c Grafe til f (x på itervallet <x<: cos cos e ( +t si x π/ π x π/ Fuksjoe f (x ka represeteres ved Fouriersiusrekka vi fat i a E rekkeløsig for y p er da av forme y p = = (A cos x + B si x Vi deriverer leddvis og setter i i differesialligige y +3y = f (x forå bestemme koeffisietee A og B : ( A cos x B si x+3 (A cos x+b si x = = = Da må viha( +3A = og følgelig A =,og = cos cos si x ( +3B = cos cos og følgelig B = cos cos ( 3 E partikulær løsig blir dermed cos cos y p = ( si x (og y = C cos 3 x + C si 3 x + y p 3 = 3 a De Fouriertrasformerte av f(x er f(w = ] e (+iwx dx = e (+iwx = +iw ( + iw (Vi brukte at lim x e (+iwx = lim x e x e iwx = lim x e x (cos wx si wx = lfsif53v3 4 mai 3 Side
SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Side ĥ(w = f(w f(w følger av kovolusjosregele at h(x =F {ĥ(w} = (f f(x = f(x pf(p dp Når p<erf(p =, og år p>x, dvs x p<, er f(x p = Følgelig er h(x = x f(x pf(p dp Dermedfår vi h(x =år x<og h(x = x e (x p e p dp = x e x dp = e x x p = xe x år x> 4 La W (x, s være de Laplacetrasformerte av w(x, t, W (x, s = e st w(x, t dt Laplacetrasformasjo av de gitte ligige gir x sw w(x, ] + W x =, dvs W = xsw (side w(x, = x Dette er e ordiær differesialligig for W (x, s betraktet som fuksjo av x Ligige ka da skrives dw/w = xs dx Ved itegrasjo får vi l W = x s + C (s som gir p= W (x, s =±e x s+c (s = C(se x s (der C(s =±e C(s Vi skal ha w(,t=f(t =t, følgelig er C(s =W (,s=/s 3 og W (x, s =(/s 3 e xs Iverstrasformerig ved hjelp av skiftteorem gir { w(x, t =f(t x u(t x =(t x u(t x for t<x = (t x for t>x 5 a De tre kardialfuksjoee blir: (x (x 3 L (x = ( ( 3 = (x 5x +6 (x (x 3 L (x = ( ( 3 = (x 4x +3 (x (x L (x = (3 (3 = (x 3x + Polyomet som iterpolerer f(x erdagittsom P (x =f L (x+f L (x+f L (x = (x 5x +6 8 (x 4x +3+7 (x 3x + = (x x + = 6x x +6 Et iterpolasjospolyom er uikt, gitt at x-verdiee er distikte Så om vi istedet hadde brukt Newto-iterpolasjo, hadde svaret blitt det samme b La P 3 (x =P (x+c g(x være 3 gradspolyomet som iterpolerer f(x for de fire datapuktee, x,,x 3 Vimå kreve at P 3 (x i =P (x i,i=,, Dette gir at g(x i =,i=,,oggir g(x =(x x (x x (x x =(x (x (x 3 = x 3 6x +x 6 lfsif53v3 4 mai 3 Side 3
SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Kostate c bestemmes ved å kreve som gir opphav til Dvs P 3 (x 3 =f(x 3 c = f(x 3 P (x 3 g(x 3 = P 3 (x =(6x x +6+ (x 3 6x +x 6 = x 3 Side P 3 (x iterpolerer f(x i fire distikte pukter og f(x er et 3 gradspolyom må P 3 (x =f(x ogdermeder f(x =x 3 6 a t+ t y (t dt = t+ t y + y = h(g(y ++g(y, g(y(t dt Trapes (t + t (g(y + +g(y der h = t + t Dvs y + = y + h(g(y ++g(y b TRAPESMETODEN: y + = y + h(g(y ++g(y y + ] hg(y + y + ] hg(y = u ( ] 5u h 5u y + ( ] 5 h 5y = y Vi velger da slik at A =+5h, ] B = ( 5hy +5h y, C = 5h, Au + B + C u = Med y = ogh = får vi: A =+5 =35 B = ( 5 +5 ] =35355 C = 5 = 5 For å fie u ka vi ete bruke e iterativ metode, som feks Newtos metode, eller vi ka løse de direkte ved åskrive: Au + Bu + C =, sette i verdiee for A, B og C ovefra og løse ut Eeste positive løsig gir u =796 lfsif53v3 4 mai 3 Side 4
SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Om vi velger å bruke Newtos metode, ka vi sette f(u =Au + B + C/u f (u =A C/u og bruke u (k+ = u (k f(u(k f (u (k, k =,, Vi ka velge u ( = y = ogfår følgede iterasjostabell: k 66989 78386 3 7965 4 7965 5 7965 Etter 5 iterasjoer edrer ikke de 4 første sifree seg, og vi kokluderer med at u =796 u (k BAKLENGS-EULER: Vi velger da slik at y + = y + hg(y + y + hg(y + ] y = ( ] 5 u h u 5u y = A =+5h, B = y, C = 5h Au + B + C u = Med y = ogh = får vi: A =+5 =6, B =, C = 5 = 5 For å fie u ka vi ete bruke e iterativ metode, som feks Newtos metode, eller vi ka løse de direkte ved åskrive: Au + Bu + C =, sette i verdiee for A, B og C ovefra og løse ut Eeste positive løsig gir u =383 Newtos metode: På samme måte som for Trapesmetode k 9987 376 3 383 4 383 Etter 4 iterasjoer edrer ikke de 4 første sifree seg, og vi kokluderer med at u =383 u (k lfsif53v3 4 mai 3 Side 5