TFY4250/FY2045 Tillegg 1 1 Tillegg 1: Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, etc a. Reelle forventningsverdier krever Hermiteske operatorer I avsnitt 2.2 i Hemmer kan du først se hvordan kravet om reelle forventningsverdier F for en observabel F fører til at en må kreve at operatoren ˆF som skal representere denne observabelen er hermitesk, dvs oppfyller betingelsen ( ˆF Ψ 1 ) Ψ 2 dτ = Ψ ˆF 1 Ψ 2 dτ, (T1.1) for alle kvadratisk integrerbare funksjoner Ψ 1 og Ψ 2. Dette er en matematisk egenskap ved operatoren ˆF (som sikrer at også egenverdiene til operatoren ˆF er reelle; se avsnitt 2.3.2). Relasjonen ovenfor bør du forsøke å innprente, fordi vi får bruk for den mange ganger i dette kurset. b. Den adjungerte, ˆF, til operatoren ˆF For å skille mellom hermiteske og ikke-hermiteske operatorer må vi ta oss bryet med å lære hva som menes med den adjungerte, ˆF (uttales F-kors eller F-dagger ), til en operator ˆF. Denne defineres ved ligningen Ψ 1 ˆF Ψ 2 dτ def = ( ˆF Ψ 1 ) Ψ 2 dτ, ( kvadratisk integrerbare) Ψ 1 og Ψ 2. (T1.2) For å skjønne meningen med denne definisjonen kan vi gå rett på et eksempel: Den adjungerte til operatoren ˆF = /x, altså (/x), er definert ved Ψ 1 ( ) Ψ 2 dτ def = x x Ψ 1 Ψ 2 dτ. Javel. Hvordan finner vi så den adjungerte, (/x)? Svar: Ved å ta utgangspunkt i uttrykket på høyre side og manipulere matematisk til vi har et uttrykk med formen på venstre side. Resultatet av disse manipulasjonene blir en operator som virker på Ψ 2, og denne operatoren er pr def den adjungerte av /x. I dette eksemplet trenger vi essensielt bare å gjøre en delvis integrasjon: ( x Ψ 1) Ψ 2 dx = [ Ψ ] x= 1 Ψ 2 Ψ x= 1 x Ψ 2dx. Her er randuttrykket lik null fordi kvadratisk integrerbare funksjoner må gå mot null for x ±. Dersom det er aktuelt med flere variable (y og z i tillegg til x), kan vi godt integrere også over y og z i ligningen over, og har altså generelt: Ψ 1 Ψ 2 dτ def = ( x x Ψ 1) Ψ 2 dτ = Ψ 1 ( x )Ψ 2dτ.
TFY4250/FY2045 Tillegg 1 2 Ut fra definisjonen til å begynne med kan vi da si at den adjungerte til operatoren /x er = x x. Dette illustrerer at adjungering (i alminnelighet) ikke er det samme som komplekskonjugering, så disse operasjonene må vi skille mellom. Og det viser at operatoren /x ikke er hermitesk. For at en operator ˆF skal være hermitesk, må operatoren ˆF som er resultatet av manipulasjonene være identisk med ˆF, dvs selvadjungert som vi sier (slik at ligningen øverst side 1 er oppfylt): ˆF = ˆF (selvadjungert=hermitesk). Det er nå en enkel sak å kontrollere hermitesitetsegenskapene til de vanlige operatorene vi bruker. Eksempelvis representeres posisjonen x av operatoren ˆx = x, den potensielle energien representeres av den reelle operatoren V (x), osv. Det er lett å se at både x og V (x) er hermiteske. Vi har nemlig generelt for en kompleks funksjon g(x) (eller kompleks konstant c) [g(x)ψ 1 ] Ψ 2 dτ = Ψ 1 g (x) Ψ 2 dτ, dvs c = c [g(x)] = g (x), og (c en kompleks konstant). (Så i dette tilfellet er adjungering det samme som komplekskonjugering). Fra denne har vi (siden x og V (x) er reelle) x = x = x, [V (x)] = V (x) (den reelle potensielle energien), For å kunne nøste videre på dette kan vi la  og ˆB være to generelle operatorer. Fra definisjonen av den adjungerte har vi da straks at Ψ 1 ( ˆB) Ψ 2 dτ def = som gir den enkle regelen [Â( ˆBΨ 1 )] Ψ 2 dτ = ( ˆBΨ 1 ) (Â Ψ 2 )dτ = Ψ ˆB 1 Â Ψ 2 dτ, (T1.3) ( ˆB) = ˆB Â. (T1.4) Vha denne kan du også lett finne den adjungerte til produktet av tre operatorer, osv. Merk at rekkefølgen av to operatorer generelt er viktig. (Unntaket er når de kommuterer, dvs når rekkefølgen er uten betydning.) Denne regelen kan vi bruke til å vise at f.eks impulsoperatorene (og multipla av disse) er hermiteske: ˆp x = ( h i x ) = ( ( h x ) i ) = x ( h i ) = h i x = ˆp x, Videre er det lett å se at (ˆp xˆp x ) = ˆp xˆp x = ˆp xˆp x, ( + ˆB) =  + ˆB, osv.
TFY4250/FY2045 Tillegg 1 3 og da er det ikke vanskelig å overbevise seg om at også Hamilton-operatoren er hermitesk, slik vi må forlange av operatoren som skal representere observabelen E = K + V : Ĥ = [ ] ˆp 2 x 2m + V (x) = Ĥ. En liten oppgave:1. Vis at operatoren xˆp x er ikke-hermitesk. 2. Vis at operatoren 1 2 (xˆp x + ˆp x x) er hermitesk. c. Kommuterende og ikke-kommuterende operatorer Rekkefølgen av operatorer er generelt viktig, unntatt når de kommuterer, dvs når kommutatoren er lik null. Som du kan se side 25 i Hemmer er det lett å vise at (xˆp x ˆp x x)f (x, y, z) [x, ˆp x ]F (x, y, z) = i h F (x, y, z) for en vilkårlig funksjon F. Operator-identiteten xˆp x ˆp x x [x, ˆp x ] = i h, (T1.5) eller mer generelt [x k, ˆp l ] = i h δ kl, spiller en sentral rolle i kvantemekanikken. I øving 1 kan du se hvordan kommutatoren [x, ˆp x ] = i h (bl.a.) kan brukes til å utlede Heisenbergs uskarphetsrelasjon, ( x) ψ ( p x ) ψ 1 2 h, kvadratisk integrerbare ψ. (T1.6) Moralen er mer generelt (se avsn. 4.5 i Hemmer) at når operatorene  og ˆB (som svarer til to observable A og B) ikke kommuterer, så kan de to observablene ikke ha skarpe verdier samtidig. Det kan vises at ( A)( B) 1 2 i[ Â, ˆB], som er en generalisert uskarphetsrelasjon. Noen enkle regneregler for kommutatorer: [ + ˆB, Ĉ + D] = ( + ˆB)(Ĉ + D) (Ĉ + D)( + ˆB) = [Â, Ĉ] + [Â, D] + [ ˆB, Ĉ] + [ ˆB, D]; (T1.7) [Â, ˆBĈ] = [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â, Ĉ] (T1.8) [ ˆB, Ĉ] = Â[ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] ˆB. De to siste er lette å kontrollere ved å regne baklengs. Det er også lett å vise Jakobis identitet: [Â, [ ˆB, Ĉ]] + [ ˆB, [Ĉ, Â]] + [Ĉ, [Â, ˆB]] = 0. (T1.9)
TFY4250/FY2045 Tillegg 1 4 Eksempel 1 For å undersøke om operatoren ˆL z = xˆp y yˆp x er hermitesk kan vi adjungere den. Siden x og ˆp y er hermiteske og kommuterer, finner vi at ˆL z er selvadjungert, ˆL z = (xˆp y yˆp x ) = ˆp yx ˆp xy = ˆp y x ˆp x y = xˆp y yˆp x = ˆL z, dvs hermitesk, slik vi må forlange av en operator som skal representere en fysisk observabel. Eksempel 2 Vha (T1.7) kan vi beregne kommutatoren mellom ˆL x og ˆL y : [ˆL x, ˆL y ] = [yˆp z z ˆp y, z ˆp x xˆp z ] = [yˆp z, z ˆp x ] [z ˆp y, z ˆp x ] [yˆp z, xˆp z ] + [z ˆp y, xˆp z ]. I den første kommutatoren kommuterer både y og ˆp x med z (og med hverandre). Slik finner vi at [yˆp z, z ˆp x ] = yˆp z z ˆp x z ˆp x yˆp z = yˆp x (ˆp z z z ˆp z ) = yˆp x [ˆp z, z] = i h yˆp x, og videre at [z ˆp y, z ˆp x ] = 0, [yˆp z, xˆp z ] = 0, [z ˆp y, xˆp z ] = i h xˆp y. Ved å regne på denne måten finner vi den såkalte dreieimpulsalgebraen: [ˆL x, ˆL y ] = i hˆl z, [ˆL y, ˆL z ] = i h ˆL x, (T1.10) Vha disse relasjonene er det lett å vise at og på tilsvarende måte at [ˆL z, ˆL x ] = i h ˆL y. [ˆL 2 x, ˆL z ] = ˆL x [ˆL x, ˆL z ] + [ˆL x, ˆL z ]ˆL x = ˆL x ( i hˆl y ) + ( i hˆl y )ˆL x, [ˆL 2 y, ˆL z ] = ˆL y (i hˆl x ) + (i hˆl x )ˆL y, mens [ˆL 2 z, ˆL z ] selvsagt er lik null. Tilsammen gir dette [ˆL 2, ˆL z ] = [ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z, ˆL z ] = 0, q.e.d. (T1.11) Som du sikkert husker, betyr dette at det eksisterer simultane egenfunksjoner til ˆL 2 og f.eks ˆL z. I en slik tilstand er usikkerhetene i observablene L 2 og L z lik null. Moralen er altså at størrelsen ( L ) av dreieimpulsen L for en partikkel kan være skarpt definert samtidig med én av komponentene, f.eks L z.
TFY4250/FY2045 Tillegg 1 5 Derimot følger det fra dreieimpulsalgebraen (T1.10) og den generaliserte uskarphetsrelasjonen, ( F ) Ψ ( G) Ψ 1 i[ ˆF, Ĝ] (kvadratisk integrerbare) Ψ, (T1.12) 2 Ψ at de målbare komponentene L x, L y og L z av dreieimpulsen L til en partikkel ikke kan ha skarpe verdier samtidig for en fysisk tilstand (fordi operatorene ikke kommuterer). Dette bryter med våre klassisk mekaniske forestillinger. Jf. jordas banedreieimpuls med hensyn på sola, L = r p, som har en veldefinert størrelse og retning (vinkelrett på baneplanet). Det samme er altså ikke mulig for eksempel for elektronet i hydrogenatomet.