NTNU Side av 5 Institutt or ysikk Fakultet or ysikk, inormatikk og matematikk Eksamen gitt av Kåre Olaussen Dette løsningsorslaget er på 5 sider. Løsningsorslag til eksamen i FY3464 KVANTEFELTTEORI Torsdag 6. mai 5 Oppgave. Perturbativ korreksjon til vakuumenergi i QED I denne oppgaven skal du skissere hvordan vakuumenergien i QED til orden e kan relaterers til vakuumpolarisasjonen Π µν(q) = `q η µν q µq ν Π(q ) a) Tegn or hvert ladet ermion de diagrammene av orden e som bidrar til vakuumenergien i QED. Vi har at it E () = + Ved evaluering av diagrammene inner vi en ri integrasjon, d d x = T V. Ved ikke å utøre denne gir diagrammene oss et uttrykk or energi pr. volumenhet, dvs. energitetthet. Det var ikke orventet at kandidatene skulle huske aktoren i (eller bruke tid på å utlede denne). b) Argumenter or at det or hvert ladet ermion bare er ett diagram som er orskjellig ra null. Det ørste diagrammet svarer til den klassiske Coulombenergien tilknyttet ladningstettheten ρ vac i vakuum. Men observasjonelt er det opplagt at vi har ρ vac =, så dette bidraget må være null. I dimensjonell regularisering kan dette regnes ut som ølger: d d k Tr γ µ (k/ + m ) (π) d k m + iε = d d k 4k µ (π) d k m =, () + iε der siste likhet er en konsekvens av at integranden er antisymmetrisk i k. Ved andre regulariseringsmetoder er dette mer subtilt, ordi vi opererer med integraler som potensielt er divergente. I operatorormulering av teorien vil hvert ermion gi null bidrag til
Løsning FY3464 Kvanteeltteori, 6. 5. 5 Side av 5 vakuumladningen ρ vac hvis man etter Schwinger deinerer strømoperatorene på en måte som er antisymmetrisk under partikkel-antipartikkel konjugasjon, nemlig j µ (x) = q e ψ() α (x), γµ αβ ψ() β (x). Tilslutt er det jo slik at q = i Standardmodellen, slik at den totale vakuumladningen blir null selv om vi ikke er nøye med operatorordningen (men ordner bidragene ra alle ermioner på samme måte). Det var ikke orventet at kandidatene skulle kunne alle disse argumentene or at ρ vac er null. c) Vis at hvert slikt diagram kan relateres til et integral over et tilsvarende bidrag til vakuumpolarisasjonen, Π () µν (q). Du trenger ikke å gjøre noen integrasjoner eksplisitt. Du kan anta at alle integraler er endelige og at integrasjonsrekkeølgen ikke spiller noen rolle, slik det.eks. er ved dimensjonell regularisering. Vi observerer at q k = ( d d q i η µν ξq µ q ν /q ) (π) d q q + iε k µ ν () k + q k + q Her er aktoren en symmetriaktor or diagrammet til venstre, som ikke gjeninnes or diagrammet til høyre. Vi har uttrykt otonpropagatoren i en generell Fermi-gauge, karakterisert ved parameteren ξ. Diagrammet til høyre kan identiiseres som annen ordens bidrag til vakuumpolarisasjon ra ermion, i Π () µν (q) = i ( q ) η µν q µ q ν Π () (q ). Vi inner deror det gauge invariante uttrykket ie () V = 3 d d q (π) d Π() (q ). (3) Kommentar: Det var ikke orventet at noen skulle regne lenger enn dette (eller å alle tegn og i er på plass), men det er interessant å ulløre regningen. Fra Peskin & Schroeder inner vi at Π () (q ) = 8q e (4π) d/ Γ( d ) Z dt t( t) ˆm t( t)q +d/, (4) der e er den urenormerte ladningen. Innsatt i (3), og etter rotasjon til imaginær q, q iqe, gir dette E () = e V (4π) Γ( d ) X Z Z d q d q E d/ dt t( t) ˆm (π) d + t( t)qe +d/ = e (4π) Γ( d ) X Z Z d q d/ dt t( t) d/ d x ˆm (π) d + x +d/ = e Γ( d) (4π) d Z dt t( t) d/ X = e (4π) d (3 d)( d) Γ( d ) X q m d 4 q m d 4. (5)
Løsning FY3464 Kvanteeltteori, 6. 5. 5 Side 3 av 5 Dette uttrykket kan bearbeides videre ved å innøre den renormerte ladningen, men vi avstår ra dette her. Det er også mulig å relatere høyere ordens bidrag til vakuumenergi til tilsvarende ordens bidrag til vakuumpolarisasjon. Oppgave. Masseavhengighet til anomalt magnetisk moment Laveste ordens korreksjon til det anomale magnetiske momentet til leptonene (e, µ, τ) er gitt ved Schwingerkorreksjonen a l g l α =. (6) π Det kan argumenteres or at man i denne ormelen bør bruke den løpende koblingskonstanten Π (l) (q ) = α(q ) = «Z α dt t( t) log» t( t) q π m l α() Π (q ), (7) der q er av størrelsesorden m l, dvs. typisk størrelsesorden på den (euklidske) irerimpulsen som lyter gjennom oton-propagatoren når man evaluerer Feynmandiagrammet or a l. Oppgitt: m e = 5 kev/c, m µ = 6. MeV/c, m τ =.78 GeV/c. Laveste ordens bidrag til Π ra et lepton l er gitt som 8 ` α h i q >< log 5 q,, π 6 m 8 m l l a) Bruk dette argumentet til å anslå dieransene a µ a e og a τ a e. Ved rekkeutvikling til annen orden i α() inner vi a e = α() + Π (e) π ( m e ) + Π(µ) a µ a τ = α() π = α() π + Π (e) + Π (e) der Π (had) dimensjonsløse masseorhold, slik at. eks. Π (e) inner deror a µ a e a τ a e >: ` α π 3 q m l, q, m l ( m e ) + Π(τ) ( m e ) + Π(had) ( m e ), ( m µ ) + Π(µ) ( m µ ) + Π(τ) ( m µ ) + Π(had) ( m µ ), ( m τ ) + Π (µ) ( m τ ) + Π (τ) ( m τ ) + Π (had) ( m τ ), ikke kan beregnes perturbativt. Vi merker oss at Π (l) ( m e) = Π (µ) bare avhenger av ( m µ) = Π (τ) ( m τ ). Vi = α π I(m µ /m e ) + I(m µ /m τ ) I(m e /m µ ) I(m e /m τ ) + H(m µ ) H(m e ), = α π I(m τ /m e ) + I(m τ /m µ ) I(m e /m µ ) I(m e /m τ ) + H(m τ ) H(m e ), der I(x) er integralet I(x) = dt t( t) log + t( t)x { 6 log x 5 8, x, x, x, og H(m ) π α Π(had) ( m ) er det hadroniske bidraget som vi ikke kan regne ut, og deror skal utelate. Ved å neglisjere alle ledd der x er liten kommer vi ram til prediksjonene a µ a e α 6π log m µ 5 8. 6, (8) 3 a τ a e α 6π m e log m τ m e 3 + log m τ m.67 5. (9) µ 3
Løsning FY3464 Kvanteeltteori, 6. 5. 5 Side 4 av 5 Oppgave 3. I denne oppgaven skal du se på (Higgs) modellen deinert ved Lagrangetettheten L = 4 FµνF µν + (D µϕ) (D µ ϕ) + m ϕ ϕ 4 λ (ϕ ϕ) + il σ µ D µl gε αβ `ϕ L αl β ϕl αl β. Her er F µν = νa µ µa ν, D µϕ = ( µ + iea µ) ϕ, D µl = ( µ «+ iea µ) L, L er en to-komponent (Weyl) spinor, σ µ = (I, σ) der σ er Paulimatrisene, og ε αβ =. Både m, λ og g antas å være reelle og positive. I denne modellen kan Higgs mekanismen antas å opptre. a) Vis at L er gauge invariant. Dette innebærer at du også må angi transormasjonsreglene or alle eltene ϕ, L og A µ. Vi velger transormasjonsregelen or A µ (x) til A µ (x) A µ (x) = A µ(x) µ (x), () som holder F µν invariant, ν A µ µa ν = νa µ µ A ν. Vi krever videre at D µ ϕ skal transormere på samme måte som ϕ, og at D µ L skal transormere på samme måte som L. Dette bestemmer transormasjonslovene or ϕ og L til ϕ(x) ϕ (x) = e ie(x) ϕ(x), () L(x) L (x) = e ie(x) L(x). () Ved inspeksjon ser man da at Lagrangetettheten L er gauge invariant. Det mest interessante er leddet ϕ L α L β ϕ L αl β = e ie(x) e ie(x) e ie(x) ϕ L α L β = ϕ L α L β, og dets kompleks konjugerte. b) Hva blir vakuumorventningsverdien til Higgseltet i denne modellen (ør perturbative korreksjoner)? Vi vil minimaliserte potensialet V (x) = m x+ 4 λx, der x = ϕ. Vi ser at minimum inntrer or ϕ = λ m (3) c) Hva blir massen til vektorbosonet A µ (ør perturbative korreksjoner)? Masseleddet til A µ kommer ra det kinetiske bidraget til ϕ-eltet, (D µ ϕ) (D µ ϕ) 4e ϕ A µ A µ M AA µ A µ. Altså inner vi at M A = 8 e ϕ = 4 em (4) λ d) Hva blir massen til den gjenværende Higgs partikkelen (ør perturbative korreksjoner)? Vi ser bare på dynamikken til ϕ (asen blir spist opp av Higgs mekanismen), og skriver ϕ = ϕ + ρ og inner ( m ϕ = m ϕ + ϕ ρ + ) ρ 4 λ ϕ 4 = 4 λ ( ϕ + ϕ ρ + ρ ).
Løsning FY3464 Kvanteeltteori, 6. 5. 5 Side 5 av 5 Vi trenger bare regne ut ρ -leddene i detalj, men det er ganske lett å inne det ullstendige uttrykket V = λ m4 + m ρ + λmρ 3 + 6 λρ4. Her skal masseleddet ha ormen M ρ ρ, så vi inner M ρ = m. (5) e) Hva blir massen til ermionet L (ør perturbative korreksjoner)? Et (Majorana) masseledd vil ha ormen M Lε αβ (L α L β L αl β M L = g ϕ, dvs. ), så vi identiiserer M L = g ϕ = gm. (6) λ