Norges teknisk naturitenskapelige uniersitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 a 8 Faglærere: Johannes kaar og Ulf Österberg EKAMEN I EMNE TFE 4130 BØLGEFORPLANTNING Onsdag 21. desember 2016 Oppgae 1 a) En tapsfri transmisjonslinje har karakteristisk impedans Z 0 og skal kobles til en reell last Z L. Ha er problemet his lasten kobles direkte til linja? b) For å unngå problemet nent i forrige deloppgae, kobles en kartbølgetransformator mellom linja og lasten. Finn den karakteristiske impedansen Z 0 og lengden l a kartbølgetransformatoren når faseskonstanten til kartbølgetransformatoren er β. c) Will Dates er ekstremt nærsynt og må derfor ha tykke briller. For at ikke brillene skal bli altfor tykke har han laget seg briller a et materiale med høy brytningsindeks n, siden det gir kraftigere brytning. Forklar horfor høy brytningsindeks gir kraftig refleksjon fra brillene. Anta at lyset for det meste faller normalt inn mot brillene. d) For å unngå refleksjonen, passer Will på at brillene får et antirefleksjonsbelegg. Antirefleksjonsbelegget skal irke for akuumbølgelengden λ 0 = 600nm (som sarer til en farge midt i spekteret a synlig lys). Belegget er et tapsfritt materiale med tykkelse l og brytningsindeks n, se fig. 1. Ut fra det Will har lært om kartbølgetransformatorer lar han l = λ /4 og n = 1 n. Her er λ bølgelengden i materialet som antirefleksjonsbelegget består a. Finn tykkelsen til antirefleksjonsbelegget uttrykt ed akuumbølgelengden λ 0. Finn også tykkelsen uttrykt ed inkelfrekensen ω. e) Vi skal nå ise at Wills alg er fornuftig, ed å summere refleksjonene fra brillene og demonstrere at det gir null. Vi ser bort fra den bakre oerflaten til brilleglassene (den som peker mot øynene). For enkelhets skyld regner i brilleglasset og belegget som plane, og i ser bare på normalt innfall. Forklar horfor total refleksjonskoeffisient blir ( ) Γ tot = Γ 12 + τ 12 Γ 23 τ 21 e j2k l 1 + Γ 21 Γ 23 e j2k l + Γ 2 21Γ 2 23e j4k l +..., (1)
ide 2 a 8 der Γ ij er refleksjonskoeffisienten fra medium i mot medium j, og τ ij er transmisjonskoeffisienten fra medium i til medium j, se figur 1. Her er k bølgetallet i antirefleksjonsbelegget, k = n ω/c. Vis at Γ tot = 0 for parametrene algt a Will. f) Will merker til sin store forferdelse at brillene får en blå refleks. Forklar ha som er årsaken til denne. n n lys z 1 2 3 l Figur 1: Antirefleksjonsbelegg på et brilleglass. Oppgae 2 Tre dipoler med samme (infinitesimale) lengde dl og med strømmer I 1, I 2 og I 3 befinner seg langs z-aksen, med dipol 1 ed z = a, dipol 2 ed z = 0 og dipol 3 ed z = a. z P I 3 dl r 3 r 2 2a I 2 dl y r 1 I 1 dl Figur 2: Tre dipolantenner. a) Finn fjernfeltene (elektrisk og magnetisk). b) Ha er den tidsmidlede effekttettheten (intensiteten)?
ide 3 a 8 c) For I 1 = I 3 = I 0 og I 2 = 2I 0, finn inklene der effekttettheten er null. Hordan kan man finne inklene der den er maksimal? (Du trenger ikke gjøre det.) Oppgae 3 I en rektangulær bølgeleder med a = 1.5cm, b = 0.8cm, σ = 0, µ = µ 0, ε = 4ε 0, og ( πx ) ( ) 3πy H x = 2 sin cos sin(π 10 11 t βz) A/m, a b bestem a) hilke(n) modus/modi det kan ære ( mode(s) of operation ), b) cutoff-frekensen, c) fasekonstanten β og propagasjonskonstanten γ. d) Ut fra opplysningene som er gitt, er det mulig å bestemme den intrinsikke bølgeimpedansen entydig? Oppgae 4 Til hert a spørsmålene som er stilt nedenfor, er det foreslått 4 sar. Oppgi hilket sar du mener er best dekkende for hert spørsmål. arene, som ikke skal begrunnes, agis i skjemaet på siste side. Denne siden ries fra og leeres inn som del a besarelsen. Det gis 3 poeng for hert riktig sar, 1 poeng for hert galt sar og 0 poeng for ubesart. Helgardering (mer enn ett kryss) gir 0 poeng. a) Ha er rett om gode ledere? i) I en god leder er inntrengningsdybden liten, ds. en planbølge il bare kunne forplante seg et meget kort stykke. ii) En god leder kan brukes som de to lederne i en transmisjonslinje. Transmisjonslinja il da kunne forplante bølger godt (forutsatt at materialet mellom lederne er en god isolator). iii) For å agjøre om en leder er god, kan man sjekke om σ/(ωɛ) 1. i) Alle alternatiene oenfor er riktige. b) Hilken a de følgende modene kan ikke forplantes i en rektangulær bølgeleder? i) TE ii) TM iii) TEM i) EH&HE
ide 4 a 8 c) Generelt sett forplantes lydbølger raskere i i) gasser. ii) faste stoff. iii) æsker. i) akuum. d) Et passasjertog kjører østoer med høy hastighet. En passasjer befinner seg på østsiden i ogna, og en annen passasjer befinner seg på estsiden i ogna. I togets referansesystem ser disse to passasjerene opp helt samtidig. I jordas referansesystem i) ser de opp samtidig. ii) passasjeren i øst ser opp først. iii) passasjeren i est ser opp først. i) passasjerene ser til siden. e) Et arierende magnetisk felt skaper et arierende elektrisk felt som igjen skaper et arierende magnetfelt. Dette beskrier i) hordan graitasjonskraften ekselirker med den elektrostatiske kraften. ii) hordan lydbølger forplantes igjennom atmosfæren. iii) Einsteins spesielle relatiitetsteori. i) hordan lysbølger forplantes igjennom tomt rom.
ide 5 a 8 Formler fra elektromagnetisme: ref F = Qq 4πɛR ˆR, 2 E = F/q, V P = E dl, V = Q P 4πɛR, E = V, D d = Q fri i, D = ρ, D = ɛ 0 E + P, P = ɛ 0 χ e E, D = ɛe, ɛ = ɛ 0 (1 + χ e ), C = Q/V, C = ɛ/d, W e = 1 2 CV 2, w e = 1 2 D E, p = Qd, J = NQ, J = σe, P J = J Ed, db = µ 0 Idl ˆR 4π R 2, df = Idl B, F = Q(E + B), m = I, H = B µ 0 M, M = χ m H, B = µh, µ = µ 0 (1 + χ m ), w m = 1 2 B H, L = Φ I, J + ρ t = 0, 2 E 1 u 2 E = 0, u = 1 ɛµ Maxwells likninger: E = B t, C E dl = H dl = H = J + D t, C D = ρ, D d = Q fri i, B = 0, B d = 0. B t d, ( J + D t e = dφ dt, ) d, Potensialer i elektrodynamikken: B = A, E = V A t, 2 V ɛµ 2 V t 2 = ρ ɛ, 2 A ɛµ 2 A t 2 = µj, V (r, t) = 1 ρ(r, t R/c)d, A(r, t) = µ J(r, t R/c)d. 4πɛ R 4π R Grensebetingelser: E 1t = E 2t, D 1n D 2n = ρ sˆn, H 1t H 2t = J s ˆn, B 1n = B 2n. Γ = µ 2k 1z µ 1 k 2z, Γ = n 1 cos θ 1 n 2 cos θ 2, µ 2 k 1z + µ 1 k 2z n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2 τ = 1 + Γ, n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 Γ = ɛ 1k 2z ɛ 2 k 1z ɛ 1 k 2z + ɛ 2 k 1z, Γ = n 1 cos θ 2 n 2 cos θ 1 n 1 cos θ 2 + n 2 cos θ 1, Bølger og bølgeledere: Z s = ˆpˆ = cϱ 0, P a = ˆp 2 Re{ 1 }, W kin = 1 2Z s 2 ϱ 0, W pot = 1 1 2 P 0 γ p2, u p = ω β, u g = ω β, f = f 1 u r/u 1 u s /u, f 1 u/c = f 1 + u/c, k2 = ɛ c µω 2 γ = jk, γ = α + jβ = jω ( ɛµ 1 + σ ) 1/2 = jω ) 1/2 ɛ jωɛ µ (1 j ɛ ɛ, P(t) = E(t) H(t) P a = 1 2 Re{E H }, P a = E 2 Re{ 1 2η }, f co = n 2b ɛµ, f co = 1 (m ) 2 ( n ) 2, 2 + ɛµ a b β = ω ( ) 2 fco µɛ 1, H = ˆφ Idl [ 1 f 4π k2 sin θ jkr + 1 ] (jkr) 2 e jkr, l e = sin θ h I(z)e jkz cos θ dz, I(0) h γ = R + jωl (R + jωl)(g + jωc), Z 0 = G + jωc, Γ = Z L Z 0 Z L + Z 0 tanh γl, Z i = Z 0 Z L + Z 0 Z 0 + Z L tanh γl.
ide 6 a 8 Differensielle ektoridentiteter: ˆx V = V (x ilkårlig akse) x (V + W ) = V + W (V W ) = V W + W V f(v ) = f (V ) V (A B) = (A )B + (B )A + A ( B) + B ( A) (A + B) = A + B (V A) = V A + A V (A B) = B A A B (A + B) = A + B (V A) = ( V ) A + V A ( A) = 0 ( V ) = 2 V ( V ) = 0 ( A) = ( A) 2 A Integralidentiteter: V d = V d Ad = A d (Diergensteoremet) Ad = d A A d = A dl (tokes teorem) Kartesisk koordinatsystem: C V = V V ˆx + x y ŷ + V ẑ A = A x x + A y y + A z ( Az A = ˆx + ŷ ( Ax y A ) y ) + ẑ A z x 2 V = 2 V x 2 + 2 V y 2 ( Ay x A ) x y + 2 V 2 2 A = ( 2 A x )ˆx + ( 2 A y )ŷ + ( 2 A z )ẑ ylindrisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r φ ˆφ + V ẑ A = 1 r A = ˆr + ˆφ (ra r ) ( 1 A z r ( Ar A z 2 V = 1 r + 1 r A φ φ + A z φ A ) φ ) + ẑ ( (raφ ) r A ) r φ ( r V ) + 1 2 V r 2 φ 2 + 2 V 2 færisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r θ ˆθ + 1 V r sin θ φ ˆφ A = 1 (r 2 A r ) r 2 + 1 (sin θa θ ) r sin θ θ + 1 A φ r sin θ φ A = ˆr ( (sin θaφ ) A ) θ r sin θ θ φ + ˆθ ( 1 A r r sin θ φ (ra ) φ) + ˆφ ( (raθ ) A ) r r θ 2 V = 1 r 2 + + Identiteter: ( 1 r 2 sin θ r 2 V ) θ 1 2 V r 2 sin 2 θ φ 2 cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1 tanh(x) = j tan(jx) 1 + a + a 2 +... = 1 1 a ( sin θ V θ ) for a < 1.
ide 7 a 8 Konstanter: µ 0 = 4π 10 7 H/m ɛ 0 = 1/(µ 0 c 2 0) 8.854 10 12 F/m Lyshastighet i akuum: c = 1/ µ 0 ɛ 0 = 299792458 m/s 3.0 10 8 m/s Lyshastighet i et medium: u = 1/ µɛ Bølgeimpedans i akuum: η 0 = µ 0 /ɛ 0 377Ω Bølgeimpedans i et medium: η = µ/ɛ Elementærladningen: e = 1.6 10 19 C Elektronets hilemasse: m e = 9.11 10 31 kg tandard tyngdeakselerasjon: g = 9.80665 m/s 2 Graitasjonskonstant: γ = 6.673 10 11 N m 2 /kg 2.
ide 8 a 8 EMNE TFE4130 BØLGEFORPLANTNING KANDIDATNR.:... arkupong Merk med kryss i de aktuelle rutene. Kun ett kryss for hert spørsmål. pørsmål Alt. i) Alt. ii) Alt. iii) Alt. i) a) b) c) d) e)