Kort introduksjon til bølger relatert til tidevann i havet 1

Kort introduksjon til bølger relatert til tidevann i havet 1 Helge Drange Høst 2012 Kommentarer til helge.drange@gfi.uib.no Oppdatert 24. oktober 2012 Observert vannstand (cm) i Bergen mellom 1. juni og 31. august 2012 (svart farge) og modellert vannstand basert på tidevannskomponentene M2, S2, N2 og K2 (rød farge). Observasjoner fra http://vannstand.no/. 1 Bølger i hav og atmosfære Bølger betegner fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som energi, uten eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten. Dette i motsetning til for eksempel geostrofisk balanse og ageostrofisk strøm i atmosfære og hav som alltid er knyttet til adveksjon av masse. Følgelig kan bølgesignal forplantes uten eller med liten påvirkning av jordrotasjonen, selv om forplantningshastigheten kan være svært stor. Dette i motsetning til adveksjon av masse som alltid vil være påvirket av Corioliseffekten og som skalerer lineært med væskeelementets hastighet. En generell gjennomgang av sentrale egenskaper til bølger er gitt i appendiks. 1 Teorien er i hovedsak hentet fra INTRODUCTION TO GEOPHYSICAL FLUID DYNAMICS, Physical and Numerical Aspects (2010): Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers, Academic Press (Publication date: September 2010), tilgjengelig fra http://engineering.dartmouth.edu/ cushman/books/gfd.html. 1

2 Utledning av grunntvannsligningene 2.1 Utgangspunkt og konfigurering Utgangspunktet for grunntvannsligningene er standard form av horisontal momentumligning og kontinuitetsligningen (hvor u = (u, v)) u t + u u x + v u y fv = 1 ρ v t + u v x + v v y + fu = 1 ρ p x + F x (1) p y + F y (2) ρ + (ρ u) = 0 (3) t Vi betrakter en homogen (ρ = ρ 0 ), friksjonsfri (F H =0) og barotrop ( u/ z = v/ z = 0) væske med fri overflate η(x, y, t) som illustrert i figur 1. Ligningene (1)-(3) kan da skrives på Figur 1: Illustrasjon på en homogen væske med fri overflate η(x, y, t) og generell batymetri b(x, y). h(x, y, t) beskriver total væskehyde. z ref = H er et referansenivå som beskriver overflaten uten bølger. formen u t + u u x + v u y fv = 1 ρ 0 p x v t + u v x + v v y + fu = 1 p ρ 0 y (4) (5) u x + v y + w z = 0 (6) 2

2.2 Omskrevet form av kontinuitetsligningen Kontinuitetslignngen er gitt ved (6), der u og v er uavhengig av z (grunnet antagelsen om barotrop væske), men u/ x 0 og v/ y 0, slik at vi kan ha divergent strøm. Vi betrakter den homogene væsken som vist i figur 1 og integrerer (6) fra bunnen z = b(x, y) til den frie overflaten z = b(x, y) + h(x, y, t). Dette gir ( u x + v ) b+h dz + w b+h b = 0 (7) y b Her er w(z = b + h) bevegelsen til den frie overflaten. Denne kan uttrykkes ved hjelp av den totalderiverte (som beskriver hvordan overflaten endrer seg med bevegelsen) w(z = b + h) = Dz Dt = D (b + h) (8) b+h Dt På tilsvarende måte er = (b + h) + u t x (b + h) + v (b + h) (9) y = h t + u x (b + h) + v (b + h) (10) y w(z = b) = Db Dt = u b x + v b y Uttrykkene (10) og (11) innsatt i (7) gir ( u x + v ) (b + h b) + h y t + u x (b + h) + v b (b + h) u y x v b y = 0 (12) eller (11) h t + x (hu) + (hv) = 0 (13) y som er kontinuitetsligningen uttrykt ved lokal endring av væskesøylen h og divergensen til hu H. Alternativt, siden kan den tidsderiverte i (13) uttrykkes ved η h(x, y, t) + b(x, y) = H + η(x, y, t) (14) t + x (hu) + (hv) = 0 (15) y 2.3 Omskrevet form av momentumligningene De horisontale momentumligningene er gitt ved (4) og (5). Trykket p(x, y, z, t) er gitt ved hydrostatisk ligning p z = gρ 0 (16) 3

Trykkvariasjoner som skyldes endringer i overflatehevningen kan da uttrykkes som (17) kan skrives eller På tilsvarende måte, for et vilkårlig dyp z 1 (se figur 1) gjelder hvor z = H z 1. p b+h H = gρ 0(b + h H) (17) p s p(h) = gρ 0 η (18) p(h) = p s + gρ 0 η(x, y, t) (19) p(z 1 ) = gρ 0 z + p s + gρ 0 η(x, y, t) (20) Over tid er det generelt (meget) små romlige variasjoner i overflatetrykket p s. Vi kan derfor se bort fra bidrag fra p s. Fra uttrykkene (19) og (20) følger det da at p(h) x = p(z 1) x = gρ 0 x Tilsvarende sammenheng gjelder for / y. Det er derfor kun overflatehevningen η som gir opphav til trykk-kraft i en homogen væske. Av denne grunn kalles sammenhengen p = gρ 0 η for dynamisk trykk. (21) 2.4 Grunntvannsligningene Overstående gir grunntvannsligningene uttrykt ved u, v, h og η u t + u u x + v u fv = g y x (22) v t + u v x + v v + fu = g y y (23) t + x (hu) + (hv) y = 0 (24) For flat bunn har vi at h(x, y, t) = H + η(x, y, t) (25) 3 Gravitasjonsbølger Gravitasjonsbølger forekommer på grenselaget mellom hav og atmosære, eller mer generelt mellom to væsker med ulik tetthet. I det følgende betrakter vi overflatebølger. Kraften som virker på disse bølgene er tyngdekraften, følgelig kalles bølgene for (overflate) gravitasjonsbølger. Dersom vi antar at bølgenes bølgelengde er stor i forhold til vanndypet, får vi hva som kalles grunntvannsbølger. Dersom bølgene beskriver små utslag, kan bølgeligningene (22) (24) lineariseres. Dette betyr at ethvert produkt av bølgevariable, som for eksempel adveksjonsleddene i (22) og (23), kan neglisjeres. Videre neglisjeres effekten av jordens rotasjon. 4

Med f = 0 og ved å betrakte en en-dimensjonal bølgebevegelse (v = 0 og / y = 0), kan (22) og (24) skrives som u t t = g x = H u x u kan elimineres fra uttrykkene over ved å betrakte (26)/ x og (27) t, som gir den klassiske bølgeligningen 2 η t 2 gh 2 η x 2 = 0 (28) Bølgeligningen kan løses ved å søke løsning på formen (se avsnitt A.4) (26) (27) η = Re {η 0 exp[i(kx ωt)]} (29) hvor Re betegner reell del, η 0 er amplitude, k er bølgetall i x-retningen og ω er vinkelfrekvens. Innestting av (29) i (28) gir dispersjonsrelasjonen ω 2 + gh k 2 = 0 (30) Siden en bølges fasehastighet c er gitt ved c = ω/k (se avsnitt A.4), er gravitasjonsbølgenes fasehastighet c = c 0 gitt ved c 0 = ± gh (31) Siden fasehastighetene c 0 er uavhengig av bølgetallet k er gravitasjonsbølgene ikke-dispersive (merk at dette gjelder for bølger med stor bølgelengde i forhold til vanndypet). Dette betyr at alle gravitasjonsbølger forplanter seg med en og samme fasehastighet, uavhengig av bølgenes bølgetall eller -lengde. 4 Sverdrup bølger Også her betrakter vi lange overflatebølger. Men i tillegg til gjennomgangen over, inkluderer vi rotasjon. Videre antar vi at væsken har uendelig, horisontal utbredelse i to dimensjoner. De resulterende bølgene er ofte kalt Sverdrup bølger. Variasjoner i jordens rotasjon neglisjeres neglisjeres, så f = konst. De grunnleggende likningene følger da fra (22) (24) t + H Dersom vi søker en løsning på formen u fv = g t x (32) v + fu t ) = g y (33) = 0 (34) ( u x + v y η exp[i (kx + ly ωt)] (35) 5

hvor l = 2π/λ y er bølgetallet i y-retningen (λ y ier tilhørende bølgelengde, se avsnitt A.4), gir dette følgende algebraiske sammenhenger iωu fv = igkη 0 (36) iωv + fu = iglη 0 (37) iωη 0 + ih(ku + lv) = 0 (38) Ligningene (36)-(38) er tre ligninger med tre ukjente, og kan uttrykkes på vektorform iω f igk u f iω igl v = 0 (39) ihk ihl iω η Ikke-triviell løsning finnes når ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir følgende sammenheng ω[ω 2 f 2 gh(k 2 + l 2 )] = 0 (40) eller, for det horisontale bølgetallet k 2 h = k2 + l 2, eller uttrykt med gravitasjonsbølgenes fasehastighet c 2 0 = gh ω[ω 2 f 2 ghk 2 h] = 0 (41) ω[ω 2 f 2 c 2 0k 2 h] = 0 (42) Uttrykkene (41) og (42) er Sverdrupblgenes dispersjonsrelasjon. Det er generelt ulik fysisk mekanisme for de ulike løsningene gitt ved en dispersjonsrelasjon. Derfor tolkes gjerne de ulike løsningene hver for seg. Siden uttrykket i klammeparantes i (41) og (42) gir at fasefarten c = ω/k h avhenger av bølgetallet k h, vil resulterende bølger med ulik bølgelengde bre seg med ulik fart. Sverdrupbølger er derfor dispersive bølger (se avsnitt A.5). 4.1 Løsning ω = 0 Løsningen ω = 0 av (41) er konsistent med / t = 0. Fra de grunnleggende ligningene (32) og (33) ser vi at denne løsningen gir geostrofisk kraftbalanse. Den stasjonære (det vil si tidsinvariante) løsningen av grunntvannsligningene er altså geostrofisk balanse. 4.2 Løsning ω 2 = f 2 + c 2 0 k 2 h Denne løsningen viser at ω f for alle bølgeløsninger. Videre er dispersjonsrelasjonen symmetrisk med hensyn på x- og y-retningene. Dette betyr at verken x- eller y-retningen har en spesiell betydning for bølgefeltet. Vi orienterer derfor koordinatsystemet slik at x-aksen er rettet i retning av bølgens forplantning. Da vil k h = k og l = 0. Den resulterende dispspersjonsrelasjonen er da ω 2 = f 2 + c 2 0 k 2 (43) 6

Bølgens fasehastighet c bestemmes fra sammenhengen c = ω/k. Dette gir c = ω k = 1 k ( f 2 + c 2 0 k 2) 1/2 (44) ( f 2 1/2 = c 0 k 2 c 2 + 1) (45) 0 ( = c 0 1 + 1 ) 1/2 k 2 L 2 (46) ρ hvor L ρ = c 0 /f er Rossby deformasjonsradius. Fra uttrykket over framkommer det at c øker med avtagende bølgetall eller økende bølgelengde. Bølgens gruppehastighet er gitt ved c g = dω/dk. Differensieres dispersjonsrelasjonen (43), får vi 2ω dω = 2kc 2 0 dk (47) eller c g = k ω c2 0 = c2 0 c Følgelig gjelder c g c = c 2 0. Gruppehastigheten avtar derfor med økende bølgelengde. Løsningen av (43) er illustrert i figur 4. For små bølgetall k (lange bølger), vil bølgeegenskapene (48) Figur 2: Grafisk framstilling av dispersjonsrelasjonen gitt ved (43). I tillegg er dispersjonsrelasjonen til gravitasjonsbølger (avsnitt 3) og treghetsbølger (avsnitt 5) vist. L ρ er Rossby deformasjonsradius, TBR betegner området hvor jordrotasjonen er viktig (treghetsbølgeregime) og GBR betegner området hvor jordrotasjonen spiller liten rolle (gravitasjonsbølgeregime). nærme seg treghetsbølger (se avsnitt 5) og virkningen av jordens rotasjon f er viktig. For store bølgetall (korte bølger) er jordroatasjones virkning liten. Vi er da i regimet tilhørende gravitasjonsbølger (avsnitt 3). 4.2.1 Resulterende bølgebevegelse For l = 0 har vi fra (36) og (37) at iωu fv = igkη 0 (49) 7

(50) gir at iωv + fu = 0 (50) u = i ω f v (51) som innsatt i (49) gir (52) innsatt i (51) gir v = i f kh η (52) u = ω kh η (53) Siden ω f, følger det at u v, eller at bølgen forplanter seg i x-retningen. Bare reell del av løsningen har en fysisk mening. Dersom vi antar at amplituden η 0 er reell, har vi at η = Re{η 0 exp[i(kx ωt)]} = η 0 cos(kx ωt) (54) (54) innsatt i (53) og (52) gir u = ω kh η 0 cos(kx ωt) (55) v = f kh η 0 sin(kx ωt) (56) Det følger at det er ingen effekt av jordrotasjonen i x-retningen, mens y-retningen påvirkes av jordrotasjonen. Bølgens bevegelse i et fast punkt i rommet, for eksempel for x = 0, og på den nordlige halvkule (f > 0) gir følgende sammenhenger (for enkelhets skyld bruker vi A = η 0 /kh i det følgende): ωt = 0 : u = ωa > 0, v = 0 (57) ωt = π/2 : u = 0, v = fa < 0 (58) ωt = π : u = ωa < 0, v = 0 (59) Hastighetskomponentene spenner ut en ellipse som vist i figur 3 med en resulterende bevegelse rettet med klokken på den nordlige halvkule. Videre er ellipsens hovedakse rettet i x-retningen, det vil si i retning av bølgens forplantningsretning. Forholdet mellom ellipsens amplituder er gitt ved forholdet ω / f. Bølgens karakteristikk for et fast tidspunkt, for eksempel for t = 0, gir følgende sammenhenger (A = η 0 /kh som over, og vi antar vi er på nordlige halvkule, f > 0): kx = 0 : u = ωa > 0, v = 0 (60) kx = π/2 : u = 0, v = fa > 0 (61) kx = π : u = ωa < 0, v = 0 (62) kx = 3π/2 : u = 0, v = Af < 0 (63) Den tilhørende bevegelsen er vist med ellipsene nederst i figur (4). Hastighetskomponenten i bølgens forplantningsretning, u, er vist med røde horisontale piler i samme figur. Det følger at det er konvergens i venstre halvdel og divergens i høre del av figuren. Dette medfører at overflaten heves hvor det er konvergens og senkes hvor det er divergens (røde, vertikale piler i figuren). Siden bølgens form er bevart med bevegelsen, betyr dette at bølgen forplanter seg i positiv x-retning. Det er altså væskepakkenes oscillasjon i x-retningen som driver bølgen framover. (64) 8

Figur 3: Illustrasjon av u- og v-komponentenes endring med tiden t på den nordlige halvkule. Den resulterende bevegelsen er rettet med klokken på den nordlige halvkule. Figur 4: Illustrasjon av bølge- og partikkelbevegelse til en Sverdrupbølge påden nordlige halvkule. Fra (91) følger det at v og η har motsatt fortegn. Se tekst for beskrivelse av figuren. 9

5 Treghetssvingninger Når ω f vil partikkelbanen som beskrevet i avsnittet gå over til å være sirkulære. Dispersjonsrelasjonen (41) og (42) gir da at k h 0, så de resulterende bølgene har ingen romlige variasjoner, inkludert ingen trykkgradient. De resulterende ligningene, fra (22) og (23), blir da For u(t = 0) = u 0, v(t = 0) = 0, gir dette u fv t = 0 (65) v + fu t = 0 (66) u = u 0 cos ft (67) v = u 0 sin ft (68) hvor u 2 0 = u 2 + v 2. Uttrykkene over beskriver en sirkelbevegelse i retning med klokken på den nordlige halvkule. Merk at denne bevegelsen vil vare til evig tid når en ser bort fra friksjon, dette på tross av at trykkgradienten er null. Banen til en partikkel gitt med posisjonen (x p, y p ) følger fra uttrykkene Dette gir eller u = dx p dt og x p x 0 = u 0 f y p y 0 = u 0 f v = dy p dt (69) sin ft (70) cos ft (71) (x p x 0 ) 2 + (y p y 0 ) 2 = u2 0 f 2 (72) Det følger da at partikkelen beveger seg i en lukket sikrel rundt punktet (x 0, y 0 ). Sirkelens radius er gitt ved r = u 0 /f. For u 0 = 10 cm s 1 og f = 10 4 s 1, som er en representativ verdi for Coriolisparameteren på midlere breddegrader, er r = 1 km og T = 2π/f 17 timer. Når tidevannsfrekvensen er tilnærmet lik frekvensen til treghetssvingningene vil det generelt oppstå sterk vekselvirkning (resonnans) mellom de to bølgebevegelsene. De breddegradene dette skjer for rundt 30 og 75 grader sør og nord blir gjerne kalt kritiske breddegrader. For disse breddegradene kan det forventes spesielt sterk blanding grunnet overgang fra tidevannsenergi til småskala, vertikal blanding. 6 Kelvinbølge mot kyst 6.1 Utgangspunkt Vi betrakter en overflatebølge som brer seg langs en kyst, for eksempel langs y-aksen som vist i figur 5. Det kan ikke være hastighet på tvers av kysten, så 10

Figur 5: Illustrasjon på en overflatebølge som brer seg langs en kyst, i dette tilfellet langs y-aksen (x = 0). u = 0 ved x = 0 (73) Vi antar videre at u = 0 over alt, slik at bølgen brer seg kun i y-retningen. De lineariserte grunntvannsligningene (32) (34) blir da fv = g x (74) v t = g y (75) t + H v y = 0 (76) 6.2 Løsningsmetode Kelvinproblemet kan løses ved å søke løsning på formen (se avsnitt A.4) (v, η) = Re {(v 0, η 0 ) exp[i(k y y ωt)]} (77) Merk at v 0, η 0 kan ha en x-avhengighet, slik at v 0 = v 0 (x) og η 0 = η 0 (x). Dette betyr at v = v(x, y, t) og η = η(x, y, t) i (77), der x-avhengigheten kommer fra amplituden v 0, η 0, mens y- og t-avhengigheten kommer fra bølgeformen exp[i(k y y ωt)]. Uttrykk (77) innsatt i (74)-(76) gir fv o = g 0 x (78) iωv 0 = igk y η 0 (79) 11

iωη 0 + ihk y v 0 = 0 (80) I der første uttrykket er det brukt at η 0 = η 0 (x). De to siste ligningene kan uttrykkes på vektorform ( ) ( ) iω igky v0 = 0 (81) ihk y iω η 0 Ikke-triviell løsning finnes når ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir ω 2 + ghky 2 = 0 (82) eller Bølgens fasefart er derfor ω = ±k y gh (83) c = ω k y = ± gh = ±c 0 (84) Siden c ikke avhenger av k y er dette en ikke-dispersiv bølge, det vil si at enhver bølgekomponent brer seg med samme hastighet (se avsnitt A.5). Videre er bølgens gruppehastighet (avsnitt A.5) c g = ω k y = ± gh = ±c 0 (85) Altså er bølgens fasehastighet og gruppehastighet lik. Bølgens x-avhengighet følger ved å eliminere v 0 fra (78) og (80) f ω η 0 = g 0 Hk y x (86) Siden ω/k y = c og gh = c 2 0, gir dette 0 x = ± f c 0 η 0 (87) Uttrykket over sier at løsningen kan ha begge fortegn. For positivt fortegn er fasehastigheten c positiv og bølgen brer seg i positiv y-retning (se 84). For negativt fortegn er fasehastigheten negativ og bølgen brer seg i negativ y-retning. Uttrykket over har løsning η 0 = η 0e ±xf/ c0 (88) hvor η 0 = η(x = 0) er bølgens høyde ved kysten. På den nordlige halvkule (f > 0) krever fysisk løsning at minustegnet velges, ellers ville bølgens amplitude gå mot uendelig for økende x (det vil si når vi beveger oss bort fra kysten). Følgelig forplanter bølgen seg i negativ y-retning (det vil si at c = c g < 0), eller med kysten til høyre for bevegelsen. Løsningen kan nå skrives på formen u = 0 (89) η = η0 cos(k y y ωt)e x/lρ (90) g v = H η (91) 12

I (90) er ω = k y gh og Lρ = c /f. Siden ω = c 0 k y fra (84), kan (90) også uttrykkes som η = η 0 cos[k y (y + c 0 t)]e x/lρ (92) (90) og (92) sier at bølgens amplitude avtar når vi fjerner oss fra kysten og at L ρ er lengdeskalaen for bølgedempingen. Videre sier (92) at bølgen brer seg i negativ y-retning. Dette følger siden bølgens fase, k y (y + c 0 t), er bevart med bevegelsen. Så for økende tid t må y avta for at y+ c 0 t = konst. At bølgen brer seg i negativ y-retning er konsistent med at bølgens fasehastighet c < 0 (fra 84). 6.3 Egenskaper Kelvinbølger brer seg langs en kyst med kysten til høyre på nordlige halvkule og til venstre på sørlige halvkule. Bølgefarten (både fasehastighet og gruppehastighet) er konstant og absuluttverdien er gitt ved gh. Kelvinbølge langs en kyst er derfor ikke-dispersiv. Bølgefart for havdyp H = 100 og 1000 m er på henholdsvis 32 og 100 m s 1. Bølgetopp og bølgebunn er rettet normalt på kysten. Bølgetopp og bølgebunn avtar eksponensielt fra kysten med lengdeskala gitt ved Rossby deformasjonsradius L ρ = gh/f. På 40 breddegrader og for et havdyp på 100 m, er L ρ 340 km. Kraftbalansen normalt på kysten er geostrofisk (fra 74), som betyr at det er ingen bølgeforplantning i x-retningen. Kraftbalansen langs kysten, v t = g y (se 75), er drevet av trykkforskjellen generert av overflatehevningen som forklart i figur 6. Mens Kelvinbølgen brer seg med konstant fart gh i negativ y-retning, beskriver væsken en sirkulær bevegelse i yz-planet (figur 6). Kelvinbølger er generert av tidevann og av vind nær kyst. Nordgående Kelvinbølger forklarer hvorfor tidevannsutslagene er mye større på fransk relativt til engelsk side av Den engelske kanal. Kelvinbølger brer seg langs ekvator fra vest mot øst (for begge halvkuler); en kan da betrakte ekvator som en vegg slik at de ekvatorielle Kelvinbølgene forplanter seg med ekvator (veggen) på høyre side på den nordlige halvkule og med ekvator til venstre på den sørlige halvkule. Se oppgave 3 fra eksamen i GEOF110, 14. juni 2010. 13

Figur 6: Mekanisme for en Kelvinbølge som brer seg langs en kyst som er rettet langs y-aksen (på den nordlige halvkule, se figur 5). Fra (91) følger det at v og η har motsatt fortegn. Positiv bølgeamplitude svarer da til negativ v-komponent, og vice versa, vist med svarte piler. Det er følgelig vekselvis konvergens og divergens mellom bølgetopp og bølgebunn (svarte, vertikalstiplede linjer). Overflaten må stige der det er konvergens og falle der det er divergens, vist med røde piler. Dette, sammen med at bølgens form er bevart med bevegelsen (uttrykk 90), medfører at endring i overflatenivået grunnet konvergens og divergens (røde piler) kan kun skje ved at bølgen brer seg i negativ y-retning, vist med lang blå pil. 14

A Generelt om bølger A.1 Hva er en bølge En bølge i atmosfæren og havet kan forklares som fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som for eksempel energi, uten eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten, og som brer seg med fart og retning som generelt er ulik den generelle atmosfære- eller havsirkulasjonen A.2 Størrelser og egenskaper i én romlig dimensjon Enhver perturbasjon (liten endring) kan uttrykkes som summen av trignometriske (sinus eller cosinus) bølger, hvor hver bølge generelt har ulik amplitude, bølgelengde, periode og fase. A.2.1 Stasjonær bølgeform En stasjonær bølgeform i x-retningen, i tilfellet under uttrykt med havnivå η (enhet m), kan skrives på formen ] η(x) = a cos [2π xλx (93) Bølgeformen η er karakterisert ved Amplitude a, slik at η varierer mellom ±a. Enhet som for den avhengige variabel, i dette tilfellet m. Bølgelengde λ x. Bølgens form repeteres nå x = ±nλ x, der n er et heltall. Enhet er m. A.2.2 Bølgeform som brer seg i tid En bølgeform vil generet forplante seg i tid. Bølgens Fart, alternativt fasefart benevnes c x, se også fasefart under. Bølgen kan bre seg i positiv og negativ x-retning. Dette kan betegnes med fasefart ±c x, hvor c x > 0. Alternativt kan c x ta både positive og negative verdier. Enhet er m s 1. Siden fart = avstand/tid, vil bølgen bre seg en avstand x = ±c x t i løpet av tiden t. (93) kan da skrives på formen [ ] 2π η(x, t) = a cos (x ± c x t) (94) λ x Bølgen over er karakterisert ved Fase gitt ved argumentet 2π(x ± c x t)/λ x (enhet rad). Punkt med konstant fase er punkter hvor bølgeformen har samme verdi, for eksempel bølgetopp eller bølgebunn. 15

A.2.3 Bølgetall I stedet for å bruke bølgelengde λ x, er det vanlig å uttrykke bølgen med bølgens Bølgetall k x (enhet m 1 ). Sammenhengen mellom bølgetall og bølgelengde er gitt ved k x = 2π λ x (95) Bølgetallet er antall bølgelengder begrenset av lengden 2π. For eksempel vil en bølge med bølgelengde 100 km ha et bølgetall 6.3 10 5 m 1. Bølgetallet trenger derfor ikke å være et heltall. Sies det at en bølge i atmosfæren har bølgetall én, betyr dette at én bølge dekker hele jordens omkrets (for eksempel rundt jorden på 60 N). For bølgetall fire vil det være fire fulle bølger rundt jorden. Ved hjelp av (95) kan (94) skrives på formen η(x, t) = a cos[k x (x ± c x t)] (96) A.2.4 Andre definisjoner Perioden T er tiden det tar for et punkt til å repetere seg selv. T må følgelig være lik tiden bølgen bruker for å bre seg en bølgelengde T = λ x /c x (97) Vinkelfrekvensen (også kalt vinkelhastigheten) ω er er et mål på rotasjonshastigheten ω = 2π (98) T Fasefarten c x er farten til bølgen, for eksempel hvor raskt en bølgetopp eller -bunn brer seg hvor vi har brukt (95) og (98) i den andre overgangen. Uttrykt med ω og k x, kan (96) skrives på formen c x = λ x T = ω k x (99) η(x, t) = a cos(k x x ± ωt) (100) Uttrykkene (94), (96) og (100) uttrykker det samme: For fast tid t = t 0 beskriver η en bølgeform i x-retningen som repeterer seg selv med bølgelengde λ x, det vil si bølgens form repeteres for x = ±nλ x, hvor n er et heltall. Tilsvarende, for et fast punkt x = x 0 beskriver η en stående bølge med periode T, det vil si en bølge som repeterer seg selv for t = ±nt. Endelig, Fasen til en bølge er gitt ved argumentet k x x ± ωt og uttrykker hvor i bølgesyklusen en befinner seg. Fasen varierer fra 0 til 2π. 16

A.3 Størrelser og egenskaper i to romlige dimensjoner Overstående kan utvides til flere dimensjoner. I to dimensjoner gjelder η = a cos(k x x + k y y ± ωt) = a cos(k x ± ωt) (101) der bølgetallsvektor k = (k x, k y ) = k xˆx + k y ŷ, med lengde k 2 = k 2 x + k 2 y (102) og retning ˆk = k k (103) Fasehastigheten er og bølgelengden er hvor bølgetallet k er gitt ved (102). c = ω k λ = 2π k (104) (105) A.4 Størrelser og egenskaper uttrykt med kompleks notasjon I stedet for å regne med cosinus- (eller sinus-) bølger som beskrevet over, letter det analysen å uttrykke en bølge på kompleks form Re {a exp[i(k x ± ωt)]} (106) Her betegner Re reell del, a er (kompleks) amplitude, k = k xˆx + k y ŷ er bølgetallvektor i x- og y-retning, x = xˆx + yŷ er posisjonsvektor og ω er vinkelfrekvens. Siden uttrykker (106) standard bølge på formen exp iψ = cos ψ + i sin ψ (107) a cos(k x ± ωt) eller a sin(k x ± ωt) (108) avhengig av om amplituden a er reell (som i dette tilfellet gir en cosinus-bølge) eller kompleks (i dette tilfellet en sinus-bølge). Bølgeformen gitt ved (106) er særdeles hensiktsmessig grunnet eksponensialfunksjonens egenskap at den deriverte av funksjonen er lik funksjonen selv, korrigert med noen algebraiske koeffisienter. Dette fører til at derivasjonsoperatorene kan erstattes med algebraiske koeffisienter x ik x, y ik y og ±iω (109) t Dette betyr at for eksempel grunntvannsligningene kan uttrykkes som et sett av algebraiske ligninger som kan løses direkte. Løsningen gir alle mulige kombinasjoner av bølgeparametre og ligningsparametre som tilfredsstiller de kontinuerlige ligningene. Dette, sammen med en fysisk tolkning av bølgeløsningen, gir en fullverdig beskrivelse av bølgene. 17

A.5 Dispersjonsrelasjon Det algebraiske forholdet mellom ω og k, uttrykt som ω = f(k) (det vil si at ω er en funksjon av k), kalles bølgens dispersjonsrelasjon. A.5.1 Ikke-dispersive bølger Dersom ω har en lineær avhengighet til k, det vil si at ω k, kalles bølgen ikke-dispersiv. I dette tilfellet forflytter bølger seg med samme fasehastighet, se (99) og (104), uavhengig av bølgens bølgelengde. A.5.2 Dispersive bølger Dersom ω ikke har en lineær avhengighet til k vil enhver bølge med ulik bølgelengde forflytte seg med ulik fasehastighet. I dette tilfellet er bølgen dispersiv. A.6 Gruppefart For dispersive bølger forplanter ikke energien seg med én bølge, men med totalbidraget fra de ulike bølgene. Det er dette totalbidraget vi ser som en bølge, eksempelvis som en gravitasjonsbølge i et vannbasseng, ikke de ulike bølgekomponentene. Følgelig er gruppefarten, som representerer farten til alle bølgene sett som en helhet, gjerne mer viktig enn de ulike bølgekomponentenes fasefart. Gruppefart er gitt av uttrykket c g = ω (110) k En god illustrasjon på forholdet mellom fasefart og gruppefart er gitt på siden http://www.isvr.soton.ac.uk/spcg/tutorial/tutorial/tutorial_files/web-further-dispersive.htm. A.6.1 Utledning Dette avsnittet er til informasjon og er ikke pensum. (110) kan vises ved å betrakte to bølger med nesten like bølgetall og bølgefrekvenser, for eksempel η = η 0 cos(k 1x ω 1t) + η 0 cos(k 2x ω 2t) (111) Fra identiteten følger det at Med og cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b (112) cos(a + b) + cos(a b) = 2 cos a cos b (113) a = 1 2 (k1 + k2)x 1 (ω1 + ω2)t (114) 2 b = 1 2 (k2 k1)x 1 (ω2 ω1)t (115) 2 18

kan (111) skrives på formen [ 1 η = 2η 0 cos 2 (k1 + k2)x 1 ] [ 1 (ω1 + ω2)t cos 2 2 (k2 k1)x 1 ] (ω2 ω1)t 2 (116) Siden bølgene antas å være tilnærmet like, må k 1 k 2 og ω 1 ω 2, og vi kan definere k = Innsatt i (116) gir dette k1 + k2 2, ω = ω1 + ω2 2 En mulig variant av (118) er illustrert i figur (7)., k = k 2 k 1, ω = ω 2 ω 1 (117) ( 1 η = 2η 0 cos 2 k x 1 ) 2 ω t cos(kx ωt) (118) Figur 7: Illustrasjon av en lineær kombinasjon av to bølger med nesten lik bølgelengde og bølgefrekvens. Bølgeformen brer seg mot høyre med fasehastighet c = ω/k og bølgelengde λ = 2π/k (heltrukken linje), mens amplituden for bølgepakken er 2η 0 cos( k x/2 ω t/2), bølgelengden λ = 4π/δk, perioden 4π/δω og gruppehastigheten c g = ω/ k (stiplede linjer). (118) er en bølge som dels brer seg som en standard bølge med formen cos(kx ωt) med fasefart c = ω/k, men hvor amplituden 2η 0 er modulert med en sakte varierende bølge cos( k x/2 ω t/2) med (lang) bølgelengde 4π/ k og (lang) periode 4π/ ω. Sistnevnte bølge brer seg med fart gitt ved bølgelengde/periode, det vil si ω (119) k eller, for små ω og k, ω (120) k Det er sistnevnte størrelse som angir bølgens gruppefart, som kan sees på som bølgens totalbidrag. Forplantning av energi knyttet til bølgen er derfor assosiert med gruppefarten, ikke de individuelle bølgenes eller totalbølgens fasefart. 19

B Tidal analysis coming... 20

Figur 8: Computed (from top) M2, M2+S2, M2+S2+K2 and M2+S2+K2+N2 tides in Bergen. 21

Figur 9: Observed (black) and computed M2+S2+K2+N2 (red) tides in Bergen. 22