Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte hjelpemidler: Kalkulator HP30S Lørdag 11. august, 2007 Tid: 09.00 13.00 Sensur: 31. august Prøven består av 7 oppgaver. Alle svar skal begrunnes. Lykke til! Oppgave 1 a) Bestem hvor mange abelske grupper av orden 8 det finnes, og skriv disse ned. b) Bestem hvilken av gruppene i a) faktorgruppen Z 4 Z 8 / (1, 2) er isomorf med. Oppgave 2 La σ = (3, 4)(1, 4)(2, 5) S 5, gruppen av permutasjoner av fem elementer. Hva er indeksen (S 5 : σ ) til undergruppen generert av σ? Er σ en normal undergruppe?

Side 2 av 2 Oppgave 3 i) Hvis G er en gruppe, og a og b er to element slik at ordenen til ab er n, vis at ba også har orden n. ii) Vis at hvis G er en gruppe med et partall antall element, så er antall element med orden lik 2 et oddetall. Oppgave 4 7 1000000. Skriv ned definisjonen på Eulers φ-funksjon, og finn det siste sifferet i tallet Oppgave 5 Et kvadratisk spillebrett med 9 like store kvadratiske ruter skal fargelegges med én farge i hver rute. Vi har 3 farger å velge mellom. På hvor mange måter kan dette gjøres, når vi regner to måter som like hvis vi kan få den ene fra den andre ved å rotere brettet? (Det skal farges kun på den ene siden.) Oppgave 6 Z 5 [x] en kropp? Finn alle enheter i polynomringen Z 5 [x]. Er Z 5 [x] et integritetsområde? Er Oppgave 7 a) La p(x) =x 5 + x 4 +1 Z 2 [x]. Finn to ulike maksimale idealer I 1 og I 2 slik at p(x) I 1 og p(x) I 2. b) Forklar hvorfor F = Z 2 [x]/ x 3 + x +1 er en kropp, og finn en generator for den sykliske gruppen F \{0}.

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Idun Reiten (992 44 539) EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte hjelpemidler: Kalkulator HP30S Onsdag 30. mai, 2007 Tid: 09.00 13.00 Sensur 20. juni 2007 Prøven består av 8 oppgaver. Alle svar skal begrunnes. Lykke til! Oppgave 1 a) Bestem hvor mange ikke-isomorfe abelske grupper det finnes av orden 40, og skriv disse ned. b) La G være gruppen av enheter i ringen Z 5 Z 11 under multiplikasjon. Forklar hvorfor G har 40 elementer, og avgjør hvilken av gruppene i a) G er isomorf med. Oppgave 2 På hvert av punktene under, finn alle x Z som løser kongruensen. (i) 9x 7(mod 12) (ii) 6x 9(mod 15)

Side 2 av 3 Oppgave 3 La U = {( a b 0 c ) a, b, c R, ac 0}. U er en gruppe under vanlig matrisemultiplikasjon. (Skal ikke vises.) Vis at {( ) 1 b T = b R} 0 1 er en normal undergruppe av U. Vis at faktorgruppen U/T er isomorf med D, der {( ) a 0 D = a, c R, ac 0} 0 c under matrisemultiplikasjon. Oppgave 4 (i) La I være et ideal i en kommutativ ring R, og anta at a I, hvor a er en enhet. Vis at I = R. (ii) Vis at en ringhomomorfi φ : K R der K er en kropp og R er en kommutativ ring enten er 1-1 eller nullavbildningen. Oppgave 5 La R være ringen {( x 0 R = y z ) x, y, z Z 2 } Finn alle nulldivisorer og enheter i R. Er R en divisjonsring? Oppgave 6 La G være en gruppe, og la Z = Z(G) ={z G zg = gz for alle g G} Vis at Z er en normal undergruppe av G. Vis at hvis G ikke er abelsk, så er faktorgruppen G/Z ikke syklisk.

Side 3 av 3 Oppgave 7 Symmetrigruppen til et regulært tetraeder er isomorf med A 4 S 4, undergruppen av like (even) permutasjoner i S 4. (Skal ikke vises.) 4 1 2 3 (i) Skriv ned elementene i A 4 som produkt av disjunkte sykler. (ii) På hvor mange forskjellige måter kan det regulære tetraederet farges, når vi skal farge hver av de fire trekantene og har to farger å velge mellom? (To måter regnes som like dersom vi ikke kan se forskjell på dem når tetraederet kan beveges fritt i rommet.) Oppgave 8 La f(x) =x 4 x 3 +1 Z 2 [x]. Forklar hvorfor F = Z 2 [x]/ f(x) er en kropp. Finn en generator for den sykliske gruppen F \{0}.

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Idun Reiten (992 44 539) EKSAMEN I ALGEBRA (MA2201) Bokmål Tillatte hjelpemidler: Kalkulator HP30S Onsdag 30. mai, 2007 Tid: 09.00 13.00 Sensur 20. juni 2007 Prøven består av 8 oppgaver. Alle svar skal begrunnes. Lykke til! Oppgave 1 a) Bestem hvor mange ikke-isomorfe abelske grupper det finnes av orden 40, og skriv disse ned. b) La G være gruppen av enheter i ringen Z 5 Z 11 under multiplikasjon. Forklar hvorfor G har 40 elementer, og avgjør hvilken av gruppene i a) G er isomorf med. Oppgave 2 På hvert av punktene under, finn alle x Z som løser kongruensen. (i) 9x 7(mod 12) (ii) 6x 9(mod 15)

Side 2 av 3 Oppgave 3 La U = {( a b 0 c ) a, b, c R, ac 0}. U er en gruppe under vanlig matrisemultiplikasjon. (Skal ikke vises.) Vis at {( ) 1 b T = b R} 0 1 er en normal undergruppe av U. Vis at faktorgruppen U/T er isomorf med D, der {( ) a 0 D = a, c R, ac 0} 0 c under matrisemultiplikasjon. Oppgave 4 (i) La I være et ideal i en kommutativ ring R, og anta at a I, hvor a er en enhet. Vis at I = R. (ii) Vis at en ringhomomorfi φ : K R der K er en kropp og R er en kommutativ ring enten er 1-1 eller nullavbildningen. Oppgave 5 La R være ringen {( x 0 R = y z ) x, y, z Z 2 } Finn alle nulldivisorer og enheter i R. Er R en divisjonsring? Oppgave 6 La G være en gruppe, og la Z = Z(G) ={z G zg = gz for alle g G} Vis at Z er en normal undergruppe av G. Vis at hvis G ikke er abelsk, så er faktorgruppen G/Z ikke syklisk.

Side 3 av 3 Oppgave 7 Symmetrigruppen til et regulært tetraeder er isomorf med A 4 S 4, undergruppen av like (even) permutasjoner i S 4. (Skal ikke vises.) 4 1 2 3 (i) Skriv ned elementene i A 4 som produkt av disjunkte sykler. (ii) På hvor mange forskjellige måter kan det regulære tetraederet farges, når vi skal farge hver av de fire trekantene og har to farger å velge mellom? (To måter regnes som like dersom vi ikke kan se forskjell på dem når tetraederet kan beveges fritt i rommet.) Oppgave 8 (i) La G 1 være en gruppe av orden 35. Vis at G 1 har en normal undergruppe. (ii) La p og q være to forskjellige primtall, og la G 2 være en gruppe av orden pq. Vis at G 2 har en normal undergruppe.

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Idun Reiten (992 44 539) EKSAMEN I ALGEBRA (MA2201) Bokmål Lørdag 9. desember 2006 Tid: 09.00 13.00 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator HP30S Sensur: Onsdag 13. desember Oppgavesettet består av 10 punkter, og alle punkter teller likt. Lykke til! Oppgave 1 a) Bestem hvor mange ikke-isomorfe abelske grupper det finnes av orden 12, og skriv disse ned. b) La G være gruppen av enheter i ringen Z 21. Skriv ned elementene i G og avgjør hvilken av gruppene i a) G er isomorf med. Oppgave 2 a) La G være gruppen av inverterbare 2 2-matriser over R med vanlig matrisemultiplikasjon. La {( ) } a b H = G ; a, b, d R. 0 d Vis at H er en undergruppe av G.

Side 2 av 2 b) La H 1 = {M H detm = 1}. Vis at H 1 er en normal undergruppe av H. Avgjør om H 1 er en normal undergruppe av G. Oppgave 3 Vis at en faktorgruppe av en syklisk gruppe er syklisk. Oppgave 4 Vis at (Z Z)/ (1, 2) Z. Oppgave 5 La G = (R, +) være gruppen av reelle tall under addisjon. Vis at planet R 2 er en G-mengde når virkningen er gitt ved at man for et reelt tall θ G roterer punktene i planet en vinkel θ (målt i grader) med klokka om origo. For ethvert punkt (a, b) i planet, bestem banen (orbit) til punktet og isotropigruppen G (a,b), som er gitt ved G (a,b) = {θ G θ (a, b) = (a, b)}. Oppgave 6 Gi definisjonen av Eulers φ-funksjon, og finn resten vi får når vi deler 5 1000 på 18. Oppgave 7 La p være et primtall og 0 a < p være et heltall. Vis at q(x) = x p a i Z p [x] har en lineær faktor i Z p [x]. Oppgave 8 La G være en gruppe av orden 30. Vis at G har en normal undergruppe.

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Idun Reiten (992 44 539) EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Hjelpemidler: Godkjent kalkulator HP30S 17. august 2006 Tid: 15.00 19.00 Oppgavesettet består av 7 oppgaver. Alle svar skal begrunnes. Lykke til! Oppgave 1 a) Bestem hvor mange ikke-isomorfe abelske grupper det finnes av orden 24, og skriv disse ned. b) Hvilken av gruppene i a) er faktorgruppen Z 4 Z 4 Z 3 / (2, 2, 0) isomorf med? Oppgave 2 La σ = (213)(2146)(56) og τ = (243)(164) være elementer i S 6, gruppen av permutasjoner av 6 elementer. a) Er τ en odde eller en like permutasjon? Hva er indeksen til undergruppen στ av S 6? b) Nøyaktig halvparten av permutasjonene i S 6 er like. (Skal ikke vises.) Vis at mengden A 6 bestående av alle de like permutasjonene er en undergruppe av S 6, og at denne er normal.

Side 2 av 2 Oppgave 3 Finn fire undergrupper av orden 3 i S 4, gruppen av permutasjoner av 4 elementer, og vis at disse er konjugerte. (Altså: Vis at for hvert par H 1, H 2 av slike undergrupper, finnes et element g G slik at H 1 = gh 2 g 1.) Oppgave 4 La G være en gruppe, og H en undergruppe av G. Vis at G er en H-gruppe, når virkningen er gitt ved konjugering: h g = hgh 1 G for alle h H og alle g G. Oppgave 5 La G være en gruppe, og la H være en undergruppe av G, med indeks (G : H) = n. Vis at for alle a G har vi at a n H hvis H er normal i G. Gi et eksempel på at det ikke holder når H ikke er normal. Oppgave 6 Gi definisjonen på Eulers φ-funksjon og bruk denne funksjonen til å finne resten vi får når vi deler 2 3456 på 21. Oppgave 7 La p(x) = x 3 + 2x + 1 Z 3 [x]. a) Forklar hvorfor F = Z 3 [x]/ p(x) er en kropp. b) Finn en generator for den sykliske gruppa F \{0}.

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne (90 13 86 21) EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Hjelpemidler: Godkjent kalkulator HP30S Lørdag 20. mai 2006 Tid: 09.00 13.00 Oppgavesettet består av 6 oppgaver. Alle svar skal begrunnes. Lykke til! Oppgave 1 a) Finn alle abelske grupper av orden 36, opp til isomorfi. b) La G være gruppen av enheter i ringen Z 7 Z 7. Hvilken av gruppene i a) er G isomorf med? Oppgave 2 a) La R være en kommutativ ring med multiplikativ identitet 1, og la U være mengden av enheter i R. Vis at U er en gruppe med hensyn på multiplikasjon. b) La R = Z/nZ, n > 1, og forklar kort hvordan Eulers setning følger av oppgave a). (Eulers setning sier at hvis a er et heltall som er relativt primisk til n, så er a φ(n) 1(mod n), der φ er Eulers φ-funksjon.)

Side 2 av 2 Oppgave 3 La G være gruppen av inverterbare 2 2-matriser over de rasjonale tall Q. La r < s være i Q, r, s 0. La H r,s = {A G deta = r eller deta = s} a) Vis at H r,s er en undergruppe av G hvis og bare hvis (r, s) = ( 1, 1). b) Vis at H = H 1,1 er en normal undergruppe av G og at faktorgruppen G/H er isomorf med gruppen av positive rasjonale tall under multiplikasjon. Oppgave 4 Vi skal farge hjørnene i en regulær femkant. To farginger regnes som like dersom vi kan få den ene fra den andre ved å rotere eller vende femkanten i rommet. a) Beskriv elementene i symmetrigruppen til femkanten, betraktet som en undergruppe av gruppen av permutasjoner på de fem hjørnene. b) Hvor mange forskjellige måter kan vi fargelegge hjørnene i femkanten på, når vi har 3 ulike farger tilgjengelig, og kan bruke disse så mange ganger vi vil? Oppgave 5 a) Hvis R er en kommutativ ring med multiplikativ identitet 1 0, så er også polynomringen R[x] det. (Skal ikke vises.) Vis at dersom R er et integritetsområde, så er også R[x] det. b) La p(x) = x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 1 være et polynom i Z 3 [x]. Skriv p(x) som et produkt av polynomer som er irredusible i Z 3 [x]. Oppgave 6 La f(x) = x 4 +x+1 være et polynom i Z 2 [x]. Forklar hvorfor F = Z 2 [x]/ f(x) er en kropp, og finn en generator for den sykliske gruppen F \{0}.

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne (90 13 86 21) EKSAMEN I ALGEBRA (MA2201) Bokmål Hjelpemidler: Godkjent kalkulator HP30S Lørdag 20. mai 2006 Tid: 09.00 13.00 Oppgavesettet består av 6 oppgaver. Alle svar skal begrunnes. Lykke til! Oppgave 1 a) Finn alle abelske grupper av orden 36, opp til isomorfi. b) La G være gruppen av enheter i ringen Z 7 Z 7. Hvilken av gruppene i a) er G isomorf med? Oppgave 2 a) La R være en kommutativ ring med multiplikativ identitet 1, og la U være mengden av enheter i R. Vis at U er en gruppe med hensyn på multiplikasjon. b) La R = Z/nZ, n > 1, og forklar kort hvordan Eulers setning følger av oppgave a). (Eulers setning sier at hvis a er et heltall som er relativt primisk til n, så er a φ(n) 1(mod n), der φ er Eulers φ-funksjon.)

Side 2 av 2 Oppgave 3 La G være gruppen av inverterbare 2 2-matriser over de rasjonale tall Q. La r < s være i Q, r, s 0. La H r,s = {A G deta = r eller deta = s} a) Vis at H r,s er en undergruppe av G hvis og bare hvis (r, s) = ( 1, 1). b) Vis at H = H 1,1 er en normal undergruppe av G og at faktorgruppen G/H er isomorf med gruppen av positive rasjonale tall under multiplikasjon. Oppgave 4 Vi skal farge hjørnene i en regulær femkant. To farginger regnes som like dersom vi kan få den ene fra den andre ved å rotere eller vende femkanten i rommet. a) Beskriv elementene i symmetrigruppen til femkanten, betraktet som en undergruppe av gruppen av permutasjoner på de fem hjørnene. b) Hvor mange forskjellige måter kan vi fargelegge hjørnene i femkanten på, når vi har 3 ulike farger tilgjengelig, og kan bruke disse så mange ganger vi vil? Oppgave 5 a) Hvis R er en kommutativ ring med multiplikativ identitet 1 0, så er også polynomringen R[x] det. (Skal ikke vises.) Vis at dersom R er et integritetsområde, så er også R[x] det. b) La p(x) = x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 1 være et polynom i Z 3 [x]. Skriv p(x) som et produkt av polynomer som er irredusible i Z 3 [x]. Oppgave 6 La G være en gruppe av orden 105. Vis at G har en normal undergruppe.

1?? Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg Telefon: 97 50 55 85 MA2201 Algebra Onsdag 25. mai 2005 Kl. 9-13 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator HP30S. Sensur: 10. juni 2005 1 a) Finn alle abelske grupper med 8 elementer, opp til isomorfi. b) La G være gruppen av enheter i den kommutative ringen Z 20. Skriv ned alle elementene i G, og avgjør hvilken av gruppene i (a) som G er isomorf med. 2 a) La σ = (1 2 3 4) (5 6) (6 8 9) og τ = (1 3 6)(2 4 3 5) være elementer i gruppen S 10 av permutasjoner av {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Finn ordenen til σ og στ. Finn et element av orden 30 i S 10. 3 Vis at faktorgruppen Z Z/ (1, 1) er isomorf med gruppen Z.

MA2201, 25. mai 2005 2?? 4 La G være gruppen av inverterbare 2 2-matriser over Z 3 under matrisemultiplikasjon. La H = {( a b o c ) a, b, c i Z 3, ac 0}. Vis at H er en undergruppe av G, men ikke en normal undergruppe. 5 Det skal lages kvadratiske matter av formen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 der alle de 9 små kvadratene er like store, og vi skal fargelegge de 9 kvadratene i matten på den ene siden med sort eller hvitt. På hvor mange essensielt forskjellige måter kan dette gjøres, når to fargelegginger betraktes som like når den ene fremkommer fra den andre ved en rotasjon om midtpunktet av det store kvadratet. 6 a) Finn alle nulldivisorer i Z 12. b) Vis at den kommutative ringen R[x] ikke er en kropp (R betegner de reelle tall). 7 La G være en gruppe med 30 elementer. a) Hvilke to muligheter har vi for antall undergrupper med 5 elementer? b) Vis at G ikke er en simpel gruppe.

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Page 1 of 2 Contact during exam: Carl Fredrik Berg Telephone: 975 05 585 Permitted aids: HP30S EKSAMEN I FAG MA2201 ALGEBRA English Fredag 28. mai 2004 Kl. 09.00-14.00 Sensur: 21. juni 2004 Problem 1 Let G = D 4 be the symmetry group of the square 4 3 1 2 a) Write the 8 elements of G as permutations of {1, 2, 3, 4}. b) How many ways can the 4 corners of the square above be painted when the colors yellow, blue and red are available? (Two colorings are viewed as equal if they can be carried over to each other by one of the symmetries of the square.)

MA2201 Algebra Page 2 of 2 Problem 2 Let G be the group of invertible 2 2-matrices over the real numbers R. Let H be the subset of G consisting of matrices with determinant equal 1. a) Show that H is a subgroup of G, and show that this subgroup is normal. b) Show that the factor group G/H is isomorphic to the multiplicative group R, i.e. R \ {0} where the group operation is the usual multiplication. Problem 3 Let G be a group with 143 elements, and H G a subgroup for which H G. Explain why H is a cyclic group. Problem 4 a) Find all abelian groups of order 8 up to isomorphism. b) Let G be the group of units in the commutative ring Z 10 Z 3. Find all elements in G, and decide which of the groups in (a) G is isomorphic too. Problem 5 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 Let σ = be an element in S 8. 3 4 5 2 1 6 7 8 a) Write σ as a product of disjoint cycles and as a product of transpositions (i.e. cycles of length 2). b) Find the order of σ? Find an element in S 8 of order 12. Decide if there exists an element of order 27 in S 8? One of order 30? Problem 6 La G være en gruppe med 12 elementer. Vis at G ikke er en simpel gruppe.

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Page 1 of 2 Contact during exam: Carl Fredrik Berg Telephone: 975 05 585 EXAM IN TMA4150 ALGEBRA AND NUMBER THEORY English Friday 28. may 2004 Time: 09.00-14.00 Gradings: 21. june 2004 Permitted aids: HP30S Problem 1 Let G = D 4 be the symmetry group of the square 4 3 1 2 a) Write the 8 elements of G as permutations of {1, 2, 3, 4}. b) In how many ways can the 4 corners of the square above be painted when the colors yellow, blue and red are available? (Two colorings are viewed as equal if they can be carried over to each other by one of the symmetries of the square.)

TMA4150 Algebra and number theory Page 2 of 2 Problem 2 Let G be the group of invertible 2 2-matrices over the real numbers R. Let H be the subset of G consisting of matrices with determinant equal to 1. a) Show that H is a subgroup of G, and show that this subgroup is normal. b) Show that the factor group G/H is isomorphic to the multiplicative group R, i.e. R \ {0} where the group operation is the usual multiplication. Problem 3 Let G be a group with 143 elements, and H G a subgroup with H G. Explain why H is a cyclic group. Problem 4 a) Find all abelian groups of order 8 up to isomorphism. b) Let G be the group of units in the commutative ring Z 10 Z 3. Find all elements in G, and decide which of the groups in (a) G is isomorphic to. Problem 5 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 Let σ = be an element in S 8. 3 4 5 2 1 6 7 8 a) Write σ as a product of disjoint cycles and as a product of transpositions (i.e. cycles of length 2). b) Find the order of σ. Find an element in S 8 of order 12. Decide whether there are elements of order 27 and 30 in S 8. Problem 6 Let R be a commutative ring with unity (1). Show that R is a field if and only if (0) and R are the only ideals in R.

u = Z 16 u Z 16 G G Z 6 Z 4 Z 10 G n n 2 S n {1,,n} A 4 S 4 H = (1 2 3) A 4 H A 4

G 3 3 R H G 1 1 H G G/H R + K G 3 3 2 2 K G G H G X H G G g (ah) = (ga)h g G ah F p(x) F [x] p(x) F [x] p(x) =x 4 + x +1 Z 2 [x]