Kinematikk i to og tre dimensjoner 2.2.217 Innleveringsfrist oblig 1: Mandag, 6.eb. kl.14 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Mulig å levere som gruppe (i Devilry, N 3) Bruk gjerne Piazza ved spørsmål (men ikke garantert at du får hjelp søndag kveld...) Gruppetimer: ledige plasser i Gr. 4 (re.12-14 Ø394) Gr. 8 (Tor.14-16 Ø358) Snuble-gruppe: Tir. 16-18 Origo neste gang: vektorer, koordinatsystemer,... YS-MEK 111 2.2.217 1
v [m/s] [m] Eksempel: En masse er festet til en fjær og beveger seg uten friksjon og luftmotstand. kraft fra fjær til massen: k N2L: a d dt 2 k m 2 initialbetingelser: ( t v( t ) m ) 1m/s.2.1 Svingning: -.1 -.2.5 1 1.5 2 t [s] 2 1 v ( t) sin( t) v( t) v cos( t) -1-2.5 1 1.5 2 t [s] Svingningsfrekvens: k m YS-MEK 111 2.2.217 2
http://pingo.upb.de/ access number: 245786 I hvilket tilfelle er tauspenningen større? Snordraget i tau 1 er større enn i tau 2 Snordraget i tau 1 er like stort som i tau 2 Snordraget i tau 1 er mindre enn i tau 2 YS-MEK 111 2.2.217 3
Newtons tredje lov: Enhver virkning har alltid og tilsvarende en motvirkning, eller den gjensidige påvirkning av to legemer på hverandre er alltid lik, og motsatt rettet. fra A påb fra B påa Newtons tredje lov forbinder krefter mellom legemer: Hvis jeg dytter på veggen, dytter veggen tilbake på meg med like stor kraft. essensiell for å beskrive systemer som består av flere legemer krefter kommer i par: kraft og motkraft kreftene i paret virker på forskjellige legemer YS-MEK 111 2.2.217 4
Eksempel: En kloss ligger i ro på bakken. N fra J på K Oppskrift: kloss tegn alle legemer som separate systemer finn alle krefter på alle objekter W fra K på J uttrykk kreftene som A på B finn kraft motkraft par sjekk: hver kraft har en unik motkraft W fra J på K jorden N fra K på J YS-MEK 111 2.2.217 5
Eksempel: Mann som går W og N er ikke et kraft-motkraft par. bevegelse fremover på grunn av friksjonskraft: mannen dytter jorden bakover jorden dytter mannen fremover YS-MEK 111 2.2.217 6
YS-MEK 111 2.2.217 7 Eksempel: En bil dytter en lastebil med konstant kraft. kinematisk betingelse: biler er i kontakt a a a v v v L A B A B A B N2L for A: B påa a m g m N a m A A A y A y A W A N A B på A y B W B N B A på B N2L for B: A påb a m g m N a m B B B y B y N3L: A påb påa B a m m B A B A på B påa ) ( System oppfører seg som ett legeme med masse m A +m B Vi trenger ikke se på indre krefter, bare på krefter mellom systemet og omgivelsen.
http://pingo.upb.de/ access number: 245786 En kvinne trekker med = 1 N i en 6-kilos eske som igjen er forbundet med en 4-kilos eske med en lett strikk. Begge strikkene forblir stramm og overflaten er friksjonsfritt. Sammenliknet med 6-kilos esken er 4-kilos esken: utsatt for en større netto kraft. utsatt for samme netto kraft. utsatt for en mindre netto kraft. YS-MEK 111 2.2.217 8
v1 v ; a a strikkene forblir stramm 2 1 2 vi ser bare på horisontale krefter: m 1 = 4 kg m 2 = 6 kg T T = 1 N tauspenning T: T 1 m a T m2a m m ) a ( 1 2 ( m m 1 2) T m 1 T m m m 1 2 4 1 1 4 N T 6 N YS-MEK 111 2.2.217 9
Bevegelse i to og tre dimensjoner YS-MEK 111 2.2.217 1
Bevegelsesdiagram i to dimensjoner bevegelsen er todimensjonal, vi kan beskrive posisjon med: r t = t i + y t j = (t) y(t) med enhetsvektorer i, j i i = j j = 1 i j = posisjon i tre dimensjoner: r t = t i + y t j + z(t)k = (t) y(t) z(t) med enhetsvektorer i, j, k i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = YS-MEK 111 2.2.217 11
vi kan se på (t) og y(t) hver for seg hastighet og akselerasjon i og y retning: todimensjonal bevegelsesdiagram: vi analysere bevegelsen videre: hastighet? akselerasjon? r t = t i + y t j = (t) y(t) v t = d t, dt v y t = d y t dt v t = v t i + v y t j = v (t) v y (t) a t = d dt v t, a y t = d dt v y t a t = a t i + a y t j = a (t) a y (t) YS-MEK 111 2.2.217 12
4 s 5 s 3 s 6 s 7 s v v 1 v 2 s s v 1 s v 1 r( ti 1) r( ti ) v( ti ) t a v( ti ) v( ti ) ti ) t ( 1 YS-MEK 111 2.2.217 13
hastighetsvektor: v t = lim t r t + t r(t) t = dr dt = d dt t i + y t j + z(t)k = d dt i + dy dt j + dz dt k = v t i + v y t j + v z (t)k hastighet: v(t) fart: v t = v(t) akselerasjonsvektor: a t = lim t v t + t v(t) t = dv dt = d dt v t i + v y t j + v z (t)k = dv dt i + dv y dt j + dv z dt k = a t i + a y t j + a z (t)k YS-MEK 111 2.2.217 14
Bevegningsligninger i tre dimensjoner La oss anta at vi har gitt a( t) og v( t) v akkurat de samme som i én dimensjon bare at vi må bruke vektorer og det er gyldig for hver komponent YS-MEK 111 2.2.217 15
http://pingo.upb.de/ access number: 245786 En pendel svinger fra punkt P til punkt R. Hvilken pil angir retningen på akselerasjonen til pendelloddet i punktet Q (det laveste punktet i banen)? Pil #1 Pil #2 45 45 Pil #3 Pil #4 P #1 #2 Q #3 R #4 YS-MEK 111 2.2.217 16
http://pingo.upb.de/ access number: 245786 En pendel svinger frem og tilbake med et maksimalutslag på 45 fra vertikalen. Hvilken pil angir retningen på akselerasjonen til pendelloddet i punktet P (punktet lengst til venstre i banen)? Pil #1 Pil #2 Pil #3 #1 #2 45 45 Pil #4 Pil #5 akselerasjonen i P er null P #5 #4 #3 Q R YS-MEK 111 2.2.217 17
Skalarer og vektorer skalar: størrelse, men ingen retning eksempel: masse, temperatur, lengde, fart,... notasjon: m, T, l, v vektor: størrelse og retning eksempel: posisjon, hastighet, akselerasjon, kraft,... r, v, a, vektorkomponenter: A y A y A A i kartesisk koordinatsystem: A = A i + A y j + A z k = A = A 2 +A y 2 +A z 2 A A y A z i = j = k = 1 1 1 Vi kommer å bruke også sfæriske og sylindriske koordinatsystemer senere. YS-MEK 111 2.2.217 18
Regne med vektorer: addisjon: a b b c a c kommutativ: a b b a assosiativ: a b c a b c c b a multiplikasjon med en skalar: b 2a a a b i Matlab: YS-MEK 111 2.2.217 19
Skalarprodukt (=indreprodukt) a b = a b cos α lineær: kommutativ: a + b c = a c + b c a b b a i komponenter: a b a b a y b y a z b z a = a i, a y = a j, a z = a k i Matlab: a a a YS-MEK 111 2.2.217 2
tidssekvenser av vektorer matriser v: 3d-vektor konstant over tiden (13) matrise n: antall tidsskritter skalar r: 3d-vektor evaluert ved n tider (n3) matrise t: skalar evaluert ved n tider (n1) matrise r(1,:) første tid (linje) i (n3) matrise = 3d-vektor dt: tidsskritt skalar linje i (n3) matrise = vektor = vektor + vektor * skalar linje i (n1) matrise = skalar = skalar + skalar YS-MEK 111 2.2.217 21
http://pingo.upb.de/ access number: 245786 Du kaster en ball i en vinkel på 45 i forhold til horisontal. Vi ser bort fra luftmotstanden. Hvilket utsagn er riktig i høyeste punkt på banen? y A. art og akselerasjon er null. B. arten er på et minimum, men ikke null, og akselerasjonen er konstant. C. arten er null, og akselerasjonen er konstant, men ikke null. D. arten er på et minimum, men ikke null, og akselerasjonen øker. eneste kraft: gravitasjon a g ˆj fart: v v 2 2 v v y ingen kraft i retning: v v i høyeste punkt: v y, YS-MEK 111 2.2.217 22
ri-legeme diagram i 3 dimensjoner Tegn et fri-legeme diagram for den øverste ballen. system: øvre ballen omgivelse: nedre ballen, karet kontaktpunkter kontaktkrefter: normalkraft fra vegg på ball normalkraft fra nedre ball på øvre ball langtrekkende kraft: gravitasjon system er i ro: et Nw Nb G ma N b N w G YS-MEK 111 2.2.217 23
YS-MEK 111 2.2.217 24 http://pingo.upb.de/ access number: 245786 En kjede festet til bilen holder bilen i ro på den friksjonsfrie rampen (vinkel ). Rampen utøver en normalkraft på bilen. Hvor stor er normalkraften N i forhold til vekten W av bilen? tan cos sin W N W N W N W N W N T sin cos W T W N W T N