MEK4510 Svingninger i konstruksjoner

MEK4510 p. 1/8 MEK4510 Svingninger i konstruksjoner Lars Brubak Avdeling for mekanikk, Matematisk institutt Universitetet i Oslo

MEK4510 p. 2/8 Generelt om kurset Informasjon tilgjengelig fra: www.uio.no/studier/emner/matnat/math/mek4510/v07/ Lærebok: Dynamics of Structures (3. ed., 2007), av Anil K. Chopra Oppgaver: Tilgjengelige fra web-siden ovenfor Forelesningsnotater: Se web-siden ovenfor Foreløpig pensumliste: Se web-siden ovenfor Undervisning: 2 timer forelesninger og 2 timer regneøvelse pr. uke Eksamen: Sannsynligvis muntlig Obligatoriske oppgaver underveis

MEK4510 p. 3/8 Faglig om kurset Innledning Systemer med én frihetsgrad Fri svingning Tvungen svingning Impulslaster Uten og med dempning Jordskjelvlaster Analytiske løsningsmetoder Numeriske løsningsmetoder

MEK4510 p. 4/8 Faglig om kurset, forts. Systemer med flere frihetsgrader Egenverdianalyse Modal analyse Metoder for å redusere antall frihetsgrader Elementmetoden for dynamiske problemer Litt om ikke-lineære problemer

Kap. 1: Innledning Relevans for dynamikk Optimaliserte (slanke) konstruksjoner; bruer, skyskrapere Marine konstruksjoner; plattformer, skip Maskiner, biler, fly o.l. Følger av dynamikk Dårlig funksjon For høy (maksimal) belastning Utmatning MEK4510 p. 5/8

MEK4510 p. 6/8 Modellering - løsningsprosedyre Forstå fysikken i problemet Finne representativ beregningsmodell Etablere dynamiske likevektslikninger Formulere initial- og randbetingelser Løse problemet Vurdere løsningen

MEK4510 p. 7/8 Likevektslikninger Newtons 2. lov; f = mü D Alemberts prinsipp Treghetskraft: f I = mü Likevektslikning: f + f I = 0 Virtuelt arbeids prinsipp (integrert versjon av D Alemberts prinsipp)

MEK4510 p. 8/8 Karakterisering Stivhetsegenskaper Masse Dempning Lastpåvirkning

Referansekonfigurasjon MEK4510 p. 9/8 Systemer med én frihetsgrad Typisk eksempel c k m Horisontal posisjon: u(t) Likevektslikning: f I + f D + f S + p(t) = 0 f I = mü er treghetskraft f D = c u er dempningskraft f S = ku er fjærkraft p(t) er ytre pålagt kraft Dette gir: mü + c u + ku = p(t) Annen ordens, lineær, inhomogen differensiallikning med konstante koeffisienter

MEK4510 p. 10/8 En-etasjes bygning u(t) m p(t) Tre frihetsgrader for det statiske problemet Vanlige forenklinger for det dynamiske problemet Vesentlig del av massen i horisontalt bjelkelag Søylenes stivhetsegenskaper av stor betydning Forskjellige antagelser om stivhetsegenskaper i bjelkelag Konstruksjonens bevegelse i retning av den ytre lasten Dynamisk problem kan analyseres v.h.a. én frihetsgrad

MEK4510 p. 11/8 roblemer med kontinuerlig fordelt masse Skal benytte virtuelle forskyvningers prinsipp (virtuelt arbeids prinsipp) Indre virtuelt arbeid = ytre virtuelt arbeid δɛ T σdv = δu T FdV + δu T TdS δu T ρüdv V V der F og T er hhv. volum- og flatekrefter Forutsetninger Indre spenninger i likevekt med ytre belastninger Virtuelle forskyvninger i overensstemmelse med kinematiske randbetingelser Virtuelle tøyninger kinematisk kompatible med virtuelle forskyvninger Eksempel med søyle S

MEK4510 p. 12/8 Kap. 2: Fri svingning Modellproblem: mü + c u + ku = p(t) Fri svingning, dvs. p(t) = 0 (gir homogen likning) Udempet system, dvs. c = 0 Differensiallikningen blir da mü + ku = 0 eller alternativt ü + ω 2 nu = 0 der ω n = k/m er naturlig vinkelfrekvens Generell løsning: u(t) = A cos ω n t + B sin ω n t A og B bestemmes fra initialbetingelser

MEK4510 p. 13/8 Initialbetingelser Antar følgende betingelser: I: u(t = 0) = u 0 II: u(t = 0) = u 0 Fra differensiallikningen får vi I: A 1 + B 0 = u 0 A = u 0 II: Aω n 0 + Bω n 1 = u 0 B = u 0 /ω n Løsningen blir da u(t) = u 0 cosω n t + u 0 ω n sin ω n t Noen definisjoner T n = ω 2π n naturlig svingeperiode (s) f n = T 1 n = ω n 2π naturlig frekvens (s 1, Hz) naturlig vinkelfrekvens (rad/s) ω n

MEK4510 p. 14/8 Alternativ skrivemåte Løsningen kan også skrives u(t) = R sin(ω n t φ), R er amplituden (læreboken bruker u 0, men vi benytter den som initialverdi) φ er fasevinkelen R og φ bestemmes fra trigonometriske relasjoner og sammenlikning av forskjellige uttrykk for løsningen Konkret benyttes R sin(ω n t φ) = R sin(ω n t) cos(φ) R sin(φ) cos(ω n t) R = ( A 2 + B 2) 1/2, φ = arctan( A/B)

MEK4510 p. 15/8 System med dempning Antar at vi har dempning, c 0 Likningen blir da mü + c u + ku = 0 Antar løsning på form u = Ae st Innsatt i likningen får vi mas 2 e st + case st + kae st = 0 Forkortet gir dette s 2 + c m s + ω2 n = 0 som kalles karakteristisk likning for ikke-triviell løsning

MEK4510 p. 16/8 Karakteristisk polynom Løsningen av karakteristisk likning er ( s = m c ± c 2 m) 4ω 2 n 2 ( = ω n c ) 2 c ± 1 2mω n 2mω n Skal nå drøfte forskjellige tilfeller av denne

Kritisk dempning Antar kritisk dempning, dvs. c = c cr = 2mω n sammenfallende røtter i likningen s 1 = s 2 = ω n Løsningen av svingelikningen blir da u(t) = (A 1 + A 2 t)e ω nt der A 1 og A 2 bestemmes fra initialbetingelser c = c cr ingen svingninger, kun asymptotisk bevegelse mot statisk likevekt Virkelige systemer har (nesten) aldri så stor dempning Definerer dempningsforholdet ζ = c c cr = c 2mω n MEK4510 p. 17/8

MEK4510 p. 18/8 Overkritisk dempning Antar overkritisk dempning, dvs. c > c cr ζ > 1 Den karakteristiske likning får da to røtter s = ω n ( ζ ± ) ζ 2 1 Innfører ˆω n = ω n ζ 2 1 Løsningen av likningen kan da skrives u(t) = e ζω nt ( A 1 eˆω nt + A 2 e ˆω nt ) Ingen svingninger, men asymptotisk bevegelse mot statisk likevekt

MEK4510 p. 19/8 Underkritisk dempning Antar underkritisk dempning, dvs. c < c cr ζ < 1 Den karakteristiske likning får da løsningen s = ω n ( ζ ± ) ζ 2 1 = ζω n ± iω n 1 ζ 2 dvs. to komplekse røtter Innfører en dempet vinkelfrekvens ω D = ω n 1 ζ 2

MEK4510 p. 20/8 Underkritisk dempning, forts. Løsningen av likningen kan da skrives u(t) = e ζω nt ( A 1 e iω Dt + A 2 e iω Dt ) = e ζω nt (A cos ω D t + B sin ω D t) = e ζω nt R sin (ω D t φ) A 1 og A 2 må velges slik at uttrykket i parentesen blir reelt. A 1 og A 2 (eller A og B eller R og φ) bestemmes fra initialbetingelser

MEK4510 p. 21/8 Forløp av løsningen Løsningen kan typisk se ut som 1 0.5 0-0.5-1 0 5 10 15 20 25 30 dvs. dempede svingninger Dempet periode T D = 2π ω D Denne er større enn T for udempet system

MEK4510 p. 22/8 Alternative dempningsbetraktninger Betrakter forholdet mellom amplituden ved tidspunktene t i og t i + jt D u i u(t i ) = u i+j u(t i + jt D ) = e ζω nt i R sin (ω D t i φ) e ζω n(t i +jt D ) R sin (ω D (t i + jt D ) φ) = eζω njt D Dette forholdet kan måles eksperimentelt ( ) Det logaritmiske dekrement er definert ved δ = ln ui u i+1 Det logaritmiske dekrement kan uttrykkes ved ( ) ui 2π 2π δ = ln = ζω n T D = ζω n = ζ 2πζ, ζ << 1 ω D 1 ζ 2 u i+1

MEK4510 p. 23/8 Flere relasjoner Relasjon mellom δ og ζ kan også oppnås ved å betrakte u i og u i+j Fra tidligere uttrykk får vi nå ( ) ui ln = j(ζω n T D ) = jδ u i+j ζ 1 ( ) 2πj ln ui u i+j

MEK4510 p. 24/8 Kap. 3: Tvungen svingning Modellikning mü + c u + ku = p(t) Generell løsning av likningen u(t) = u c (t) + u p (t) u c (t) er generell løsning av det homogene problemet u p (t) er én løsning av det inhomogene problemet Form på homogenløsningen er diskutert tidligere Form på partikulærløsningen bestemmes (bl.a.) av p(t)

der (u st ) 0 er den statiske forskyvningen (relatert til p 0 ) β = ω/ω er frekvensforholdet MEK4510 p. 25/8 Udempet system c = 0 Antar harmonisk last, dvs. p(t) = p 0 sin (ωt) Differensiallikningen blir da mü + ku = p 0 sin (ωt) Antar u p (t) = C sin (ωt) Innsatt i likningen gir dette ( mω 2 + k)c sin (ωt) = p 0 sin (ωt) Løst m.h.p. C gir dette C = p 0 k mω 2 = p 0 k 1 1 ( ωωn ) 2 = (u st ) 0 1 1 β 2

MEK4510 p. 26/8 Løsning Løsningen av likningen blir da u(t) = (A cosω n t + B sin ω n t) + (u st ) 0 1 1 β 2 sinωt Konstantene A og B bestemmes fra initialbetingelsene Eksempel: u(0) = u(0) = 0 gir løsningen u(t) = (u st ) 0 1 1 β 2 (sin ωt β sin ω nt) u c kalles transient del, vil alltid dempes u p kalles stasjonær del, vil vedvare

MEK4510 p. 27/8 Diskusjon av løsningen Respons for dynamisk og tilsvarende statisk problem Definerer dynamisk forstørrelsesfaktor R d u R d = p (t) maks (u st ) 0 = 1 1 β 2 Uttrykker forholdet mellom maksimalt dynamisk utslag og statisk utslag Diskusjon på tavle

MEK4510 p. 28/8 Fortsettelse av diskusjonen Studerer responsforholdet r(t) gitt ved r(t) = u(t) (u st ) 0 Antar at systemet starter fra ro, dvs. løsning gitt ved r(t) = (sin βω nt β sin ω n t) 1 β 2 Interessert i oppførsel når β 1

MEK4510 p. 29/8 Fortsettelse av diskusjonen Fra l Hopitals regel får vi lim r(t) = lim β 1 β 1 ω n t cosβω n t sin ω n t 2β = 1 2 sin ω nt 1 2 ω nt cos ω n t Første ledd representerer harmonisk svingning Andre ledd vokser med ω n t Fenomenet kalles resonans Energi pumpes inn i systemet når ω ω n Systemet vil bryte sammen etter et visst antall svingninger

MEK4510 p. 30/8 Resonans Figur av andre ledd i responsforholdet 6 4 2 0-2 -4-6 0 5 10 15 20 25 30

Dynamisk forstørrelsesfaktor MEK4510 p. 31/8

Fasevinkel MEK4510 p. 32/8

MEK4510 p. 33/8 Kap. 4: Respons p.g.a. impulslaster Lastens varighet begrenset - en enkelt puls last Kan skyldes bl.a. slag, støt eller eksplosjon Stasjonærtilstand (d.v.s. en vedvarende partikulærløsning) nås ikke Bevegelsen avhenger av initialbetingelser tid

MEK4510 p. 34/8 Løsningsmetoder generelt Generelle løsningsmetoder for impulsproblemer Vanlig løsning av differensiallikningen (analytisk eller numerisk) - læreboken fokuserer på denne Ved evaluering av Duhamel-integralet Ved å uttrykke impulslasten som en sum av to eller flere enklere uttrykk som hver har kjent eller (relativt) enkel løsning

MEK4510 p. 35/8 Løsningsstrategi Analyse av impulsproblemer ved å løse differensiallikningen Deler opp tidsforløpet i to faser p(t) u(t) t Fase 1 t d t t d Fase 2 t Fase 1: Lastens varighet Fase 2: Tiden etterpå Tvungen svingning (inhomogen differensiallikning) i fase 1 Fri svingning (homogen differensiallikning) i fase 2, med u(t d ) og u(t d ) som initialbetingelser i fase 2

du dt = 0 MEK4510 p. 36/8 Impulslaster Generelt interessert i bevegelse som følge av impulslaster Spesielt interessert i maksimalt utslag, d.v.s. u maks (læreboken benytter ofte u 0 ) Inntreffer vanligvis i første svingesyklus For lett dempede systemer gjør dempningen seg først gjeldende etter flere svingeperioder Dempningen kan ofte neglisjeres når u maks beregnes u maks vil inntreffe i fase 1 eller 2 u maks bestemmes fra betingelsen

MEK4510 p. 37/8 Lang impuls t d > 0.5T n Maksimal respons inntreffer i fase 1, dvs. t maks t d Dynamisk forstørrelsesfaktor i intervallet R d [1, 2]

MEK4510 p. 38/8 Kort impuls t d < 0.25T n Dynamisk forstørrelsesfaktor, R d, proporsjonal med lastens varighet t d R d er proporsjonal med impulsens størrelse I, definert ved I = R d kan være mindre enn 1 td 0 p(t)dt Maksimal respons forekommer i fase 2 Forenklet beregningsmetode kan benyttes

MEK4510 p. 39/8 Kap. 5: Numeriske løsningsmetoder Tidsintegrasjon for problemer med én frihetsgrad Analytisk løsning av differensiallikningen for enkle problemer Fourier-analyse for generelle, periodiske laster Duhamelintegralet (analytisk eller numerisk evaluering) Numerisk løsning av differensiallikningen for generelle laster og ikke-lineære problemer Egenverdianalyse og/eller tidsintegrasjon av systemer med mange frihetsgrader

MEK4510 p. 40/8 Numeriske løsningsmetoder, forts. Likningssystemer kan ofte dekomponeres til sett av ukoblete likninger Skal nå studere numerisk tidsintegrasjon av problemer på formen mü + c u + ku = p(t), der u og u kjent ved t = 0 Mange av metodene fungerer også for systemer

MEK4510 p. 41/8 Kriterier og karakterisering Stabilitet Hva skjer med feil/perturbasjoner i løsningen Forskjell på løsninger der inngangsparametere varieres Avhenger (ofte) av t/t n (betinget/ubetinget stabile metoder) Konvergens Hva skjer med løsningen når t/t n blir stadig mindre Nøyaktighet Avvik mellom eksakt og approksimert løsning Kunstig, numerisk dempning og avvik i periode/fase Avhenger av t/t n Eksplisitte/implisitte metoder

MEK4510 p. 42/8 Evaluering av Duhamelintegralet Responsen u kan uttrykkes ved u(t) = 1 mω D t 0 p(τ)e ζω n(t τ) sin ω D (t τ)dτ Uttrykket omskrives til der u(t) = A(t) sin ω D t B(t) cosω D t A(t) = 1 mω D B(t) = 1 mω D t 0 t 0 p(τ) eζω nτ e ζω nt cosω Dτdτ p(τ) eζω nτ e ζω nt sin ω Dτdτ A og B velegnet for skrittvis numerisk integrasjon

MEK4510 p. 43/8 Duhamelintegralet, forts. Tidsskritt definert ved t = t i+1 t i ( t konst) Innfører notasjonen A i = A(t i ) Benytter trapesregelen A i+1 = A i e ζω n t + t 2mω D (y i e ζω n t + y i+1 ) der B i+1 = B i e ζω n t + t 2mω D (z i e ζω n t + z i+1 ) y i = p i cosω D t i z i = p i sinω D t i

MEK4510 p. 44/8 Differansemetoder Tar utgangspunkt i differensiallikningen Diskretiserer tidsderiverte ledd Nøyaktighet og stabilitet avhenger av diskretiseringen

MEK4510 p. 45/8 Den sentrale differansemetode Benytter følgende approksimasjoner: u i u i+1 u i 1 2 t ü i u i+1 2u i + u i 1 ( t) 2 Innsatt i differensiallikningen får vi ( m ( t) 2 + c ) ( ) 2m u i+1 = 2 t ( t) 2 k u i ( m ( t) 2 c ) 2 t u i 1 + p i Tilfellet i = 0 behandles separat

MEK4510 p. 46/8 Egenskaper for metoden Annen-ordens metode Betinget stabil, t T n < 1 π Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Generelt implisitt for systemer, men eksplisitt dersom masse- og dempningsmatrisen er diagonal

MEK4510 p. 47/8 Metoder basert på numerisk integrasjon Relasjoner mellom forskyvning, hastighet og akselerasjon d u = üdt du = udt Antar ü gitt over tidsskrittet t Relasjonen over kan da integreres u(τ) = u i + τ 0 ü( τ)d τ u(τ) = u i + τ 0 u( τ)d τ Valget av ü(τ) avgjør metodenes egenskaper

MEK4510 p. 48/8 Konstant initiell akselerasjon Enkel metode - ikke gjennomgått i læreboken (orienteringsstoff) Antar ü(τ) = ü i Vi får da u i+1 = u i + tü i u i+1 = u i + t u i + ( t)2 2 ü i Fra likevektslikningen har vi nå mü i = p i c u i ku i

MEK4510 p. 49/8 Egenskaper for metoden Første-ordens metode Betinget stabil Sekvensiell algoritme Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Generelt implisitt for systemer, men eksplisitt hvis massematrisen er diagonal Anbefales ikke

MEK4510 p. 50/8 Konstant gjennomsnittsakselerasjon Antar ü(τ) = 1 2 (ü i + ü i+1 ) Ved integrasjon får vi u i+1 = u i + t 2 (ü i + ü i+1 ) u i+1 = u i + t u i + ( t)2 4 Omskriving av likningene over gir (ü i + ü i+1 ) ü i+1 = 4 ( t) 2 (u i+1 u i t u i ) ü i u i+1 = 2 t (u i+1 u i ) u i

MEK4510 p. 51/8 Egenskaper for metoden Innsatt i likevektslikningen (ved t i+1 ) får vi nå ( 4 ( t) 2m + 2 ) ( 4 t c + k u i+1 = ( t) 2m + 2 ) t c ( ) 4 + t m + c u i + mü i + p i+1 u i Annen-ordens metode Ubetinget stabil Sekvensiell algoritme Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Implisitt for systemer Svært mye benyttet

MEK4510 p. 52/8 Lineær akselerasjon Antar ü(τ) = ü i + τ t (ü i+1 ü i ) Integrert gir dette u i+1 = u i + t 2 (ü i + ü i+1 ) u i+1 = u i + t u i + ( t)2 3 Vi skriver om likningene over ü i+1 = ü i + ( t)2 6 ü i+1 6 ( t) 2 (u i+1 u i t u i ) 2ü i u i+1 = 3 t (u i+1 u i ) 2 u i t 2 üi

Egenskaper for metoden Innsatt i likevektslikningen (ved t i+1 ) får vi nå ( 6 ( t) 2m + 3 ) ( 6 t c + k u i+1 = ( t) 2m + 3 ) t c u i ( ) ( 6 + t m + 2c u i + 2m + t ) 2 c ü i + p i+1 Mer nøyaktig enn metoden med konstant gjennomsnittsakselerasjon (kontinuitet i akselerasjon, hastighet og forskyvning) Betinget stabil, t T n < 0.551 Sekvensiell algoritme Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Implisitt for systemer MEK4510 p. 53/8

MEK4510 p. 54/8 Newmarks metode Hastighet og forskyvning uttrykkes ved u i+1 = u i + (1 γ) tü i + γ tü i+1 ( ) 1 u i+1 = u i + t u i + 2 β ( t) 2 ü i + β( t) 2 ü i+1 Den siste likningen over omskrives til ü i+1 = 1 β( t) 2 (u i+1 u i t u i ) ( ) 1 2β 1 ü i

MEK4510 p. 55/8 Fortsettelse Innsatt i likevektslikningen (ved t i+1 ) får vi ( 1 β( t) 2m + γ ) ( 1 β t c + k u i+1 = β( t) 2m + γ ) β t c u i ( ( ) ) 1 γ + β t m + β 1 c u i + p i+1 (( ) ( ) ) 1 γ + 2β 1 m + 2β 1 tc ü i

Egenskaper for metoden γ kontrollerer numerisk dempning γ = 2 1 gir ingen numerisk dempning γ > 1 2 gir positiv numerisk dempning γ < 1 2 gir negativ numerisk dempning Ubetinget stabil dersom γ 1 ( 2, β 4 γ + 1 ) 2 2 Sekvensiell algoritme Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Implisitt for systemer Forskjellige valg av γ og β gjenskaper andre kjente metoder MEK4510 p. 56/8

MEK4510 p. 57/8 Runge-Kutta-metoder Ikke presentert i læreboken - orienteringsstoff Hastighet og forskyvning uttrykkes ved u i+1 = u i + tφ 1 (t i,u i, u i, t) u i+1 = u i + tφ 2 (t i,u i, u i, t) φ 1 og φ 2 representerer gjennomsnittsverdier for ü(τ) og u(τ) Fjerde-ordens metode gitt ved u i+1 = u i + t 6 (a 1 + 2a 2 + 2a 3 + a 4 ) u i+1 = u i + t 6 (b 1 + 2b 2 + 2b 3 + b 4 )

MEK4510 p. 58/8 Egenskaper for metoden 4 hastigheter (b i ) og akselerasjoner (a i ) må beregnes for hvert tidsskritt Eksplisitt for problemer med én frihetsgrad Generelt implisitt for systemer, men eksplisitt dersom massematrisen er diagonal

MEK4510 p. 59/8 Rayleighs metode Enkleste approksimasjonsmetoden for å finne egenfrekvensen Forutsetter Fri svingning Udempet bevegelse Svingning om spenningsfri referansetilstand Total energi konstant (E S + E K = C) For system med enkel svingeform gjelder E So = E Ko

MEK4510 p. 60/8 Rayleighs metode, fortsettelse Forskyvningen beskrives ved der v T = [u,v,w] v(x,y,z,t) = ψ(x,y,z)z(t) ψ er en formfunksjon som må antas på forhånd ψ må oppfylle kinematiske randbetingelser, men ikke naturlige/mekaniske betingelser Fri, udempet svingning av lineært elastisk system gir harmonisk tidsfunksjon z(t) = z 0 sin ω n t Metoden best egnet til å finne første egenfrekvens Approksimert frekvens alltid større enn eller lik virkelig

MEK4510 p. 61/8 Tverrsvingninger av bjelke Forskyvning v(x,t) = ψ(x)z 0 sin ω n t Maksimal forskyvning v maks (x) = ψ(x)z 0 Maksimal hastighet v maks (x) = ω n ψ(x)z 0

MEK4510 p. 62/8 Tverrsvingninger av bjelke, forts. Maksimal tøyningsenergi E So = 1 EI(x) ( v 2,xx(x) 2 ) maks dx l = 1 2 z2 0 EI(x)ψ,xx(x)dx 2 Maksimal kinetisk energi E Ko = 1 m(x) ( v 2 (x) ) 2 maks dx l = 1 2 ω2 nz0 2 m(x)ψ 2 (x)dx l l

MEK4510 p. 63/8 Tverrsvingninger av bjelke, forts. Definerer generalisert stivhet og masse ved K = EI(x)ψ,xx(x)dx 2 og Vi får M = l l m(x)ψ 2 (x)dx ω 2 n = K M som kalles Rayleigh-kvotienten

gir 76% for høy egenfrekvens MEK4510 p. 64/8 Eksempel med bjelke Antar formfunksjonen ψ(x) = x 2 (l x) 2 ψ(x) m, EI Dette gir l K = 4 5 EIl5 og M = 1.5873 10 3 ml 9 Vinkelfrekvensen blir 0.4% for høy Annet valg av formfunksjon ψ(x) = 1 ( 1 cos 2πx ) 2 l

MEK4510 p. 65/8 Mer kompliserte problemer Bjelke med konsentrerte/diskrete fjærer og masser Må modifisere generalisert stivhet og masse Generalisert stivhet K = l EI(x)ψ 2,xx(x)dx + M m=1 k m ψ 2 (x m ) Generalisert masse M = m(x)ψ 2 (x)dx + l N n=1 M n ψ 2 (x n )

MEK4510 p. 66/8 Mer kompliserte problemer, forts. Konstruksjoner der stivhets- og massematrise (K og M) er kjent Egenfrekvensen gitt ved Rayleigh-kvotienten ω 2 n = K M = rt Kr r T Mr, hvor r er en antatt forskyvningsvektor

MEK4510 p. 67/8 Oppsummering Rayleighs metode Egner seg til å finne laveste svingefrekvens Viktig å finne god formfunksjon som oppfyller kinematiske randbetingelser Vanskelig å finne høyere egenfrekvenser

MEK4510 p. 68/8 Kap. 16: Kontinuerlige systemer Har betraktet systemer med én frihetsgrad (avhengig av tiden) Partikler (med føringer) Stive legemer (med føringer) Ordinære differensiallikninger (ODE) Deformerbare legemer Diskretisert (endelig antall frihetsgrader) System av endelig antall ODEer Generelt uendelig mange frihetsgrader (avhengig av tid og rom) Partielle differensiallikninger Likevektslikninger utledes nesten som i statiske tilfeller, men treghetskrefter må inkluderes

MEK4510 p. 69/8 Tverrsvingninger av bjelker Figuren viser en bjelke med bøyestivhet EI(x) u m(x) EI(x) x dx Søker nedbøyningen u = u(x,t)

MEK4510 p. 70/8 Infinitesimalt element Differensiallikningen fås fra likevektsbetraktning av infinitesimalt element p(x,t) u M V df I α M+dM V+dV u dx ds u+du x df I = müdx er treghetskrefter for elementet

MEK4510 p. 71/8 Forutsetninger Teknisk (vanlig) bjelketeori Spenninger: Normalspenninger på plan parallelle med bjelkeaksen neglisjeres Deformasjoner: Basert på Naviers hypotese, dvs. plane tverrsnitt forblir plane Materlov: Lineært elastisk materiale Dette innebærer bl.a. sin α α u, cos α 1, ds dx x

MEK4510 p. 72/8 Likevektsbetraktninger Kraftlikevekt i vertikalretningen p(x,t)dx + V ( V + V x dx) müdx = 0 V x = p(x,t) mü Momentlikevekt mhp. flaten ved x + dx M + ( M + M ) x dx V dx p dx2 2 + müdx2 2 = 0

MEK4510 p. 73/8 Likevektsbetraktninger, forts. Dividerer momentlikevektslikningen med dx og lar dx 0 M x V = 0 V = M x Innsatt i kraftlikevektslikningen gir dette 2 M = p(x,t) mü x2

MEK4510 p. 74/8 Differensiallikning Fra bjelketeorien vet vi at momentet kan relateres til krumningen M = EI(x) 2 u x 2 Innsatt i siste likning på forrige side gir dette 2 x 2 ( ) EI(x) 2 u x 2 + mü = p(x,t) som beskriver tvungne tverrsvingninger av bjelker.

MEK4510 p. 75/8 Forenklede likninger For konstant bøyestivhet EI forenkles likningen til 4 u x 4 + m EI ü = p(x,t) EI Likningen for fri svingning (og konstant EI) blir nå 4 u x 4 + m EI ü = 0 NB! Bidrag fra treghetsmomentet som skyldes rotasjon av tverrsnittet om et punkt på referanseaksen er neglisjert under utledningen

MEK4510 p. 76/8 Løsningsmetode Løser likningen for fri svingning Separasjon av variable Antar løsning på form u(x,t) = φ(x)q(t) Innsatt i likningen for fri svingning gir dette φ xxxx (x)q(t) + m EI φ(x) q(t) = 0 Videre får vi EI m der ω er konstant φ xxxx (x) φ(x) = q(t) q(t) = ω2

MEK4510 p. 77/8 Løsningsmetode, forts. Dette gir opphav til to ordinære differensiallikninger q(t) + ω 2 q(t) = 0 og φ xxxx (x) β 4 φ(x) = 0 der β er gitt ved β = ( ω 2 m )1 4 EI Likningen for q(t) har løsning på form q(t) = A sinωt + B cosωt

MEK4510 p. 78/8 Løsningsmetode, forts. For φ(x) antar vi løsning på form φ(x) = Ce sx Innsatt i likningen får vi ( s 4 β 4) Ce sx = 0 Denne likningen har følgende løsninger for s s 1 = iβ, s 2 = iβ, s 3 = β, s 4 = β Dermed kan φ(x) uttrykkes ved φ(x) = C 1 sin βx + C 2 cos βx + C 3 sinh βx + C 4 cosh βx

MEK4510 p. 79/8 Bestemmelse av konstanter Konstantene A, B, C 1, C 2, C 3, C 4 og ω (eller β) bestemmes fra (to) initial- og (fire) randbetingelser Initialbetingelser av typen u og u gitt ved t = t 0 Randbetingelser ved bjelkeendene (x = 0, L) Kinematiske: u og/eller u/ x gitt Mekaniske: M = EI 2 u/ x 2 og/eller V = EI 3 u/ x 3 gitt Eksempel

MEK4510 p. 80/8 Skjærdeformasjon og rotasjonstreghet Antar fortsatt små deformasjoner og at plane tverrsnitt forblir plane (tar hensyn til skjærdeformasjoner) Tverrsnitt (generelt) ikke normalt på bjelkeaksen Rotasjonsbevegelse gir opphav til treghetskrefter moment m I pr. lengdeenhet

Infinitesimalt element Differensiallikningen fås fra likevektsbetraktning av infinitesimalt element p(x,t) u γ β α M V dm I df I α M+dM V+dV positiv rotasjon u dx u+du x der β er rotasjonsvinkelen for endeflaten, γ er skjærvinkelen (β = α γ) og dm I = m I dx er rotasjonstreghetsmomentet for elementet MEK4510 p. 81/8

MEK4510 p. 82/8 Differensiallikning Kraftlikevekt i vertikalretningen blir som tidligere V x = p(x,t) mü Likningen for momentlikevekt blir modifisert V = M x + m I Innsatt i likningen øverst gir dette 2 M x 2 + m I x + mü = p(x,t) Søker nå M og m I uttrykt ved u og dens deriverte

MEK4510 p. 83/8 Uttrykk for momentet Neglisjerer p(x, t) Innfører i tillegg følgende antagelser Tverrsnittet konstant i lengderetningen x-aksen legges gjennom arealsenteret for tverrsnittet u x (y = 0) = u x0 = 0 Forskyvningen langs x-aksen kan da uttrykkes ved ( ) u u x = u x0 yβ = y x γ

MEK4510 p. 84/8 Uttrykk for momentet, forts. Tilsvarende aksialspenning σ x = Eɛ x = E u x x ( 2 u = Ey x 2 γ ) x Momentet blir nå M = = EI A σ x yda = ( 2 u x 2 γ x A ) ( Ey 2 2 u x 2 γ ) da x

Dette kan nå settes inn i differensiallikningen MEK4510 p. 85/8 Uttrykk for skjærkvinkelen Relasjon mellom skjærkraft og skjærvinkel V = GĀγ der G er skjærmodul og Ā = Aκ er effektivt skjærareal Herfra får vi γ x = 1 GĀ V x = 1 GĀmü der kraftlikevektslikningen (langs y aksen) med p = 0 er benyttet i den siste overgangen Uttrykket for momentet blir da M = EI ( 2 u x 2 1 ) GĀmü

MEK4510 p. 86/8 Uttrykk for rotasjonstreghetsmomentet Søker treghetsmomentet (pr. lengdeenhet) m I pga. rotasjon av tverrsnittet Treghetskraften (pr. volumenhet) f xi for en partikkel i avstand y fra x-aksen blir ( ) ü f xi = ρü x = ρy x γ Momentet pr. lengdeenhet fås fra ( ) ü m I = f xi yda = mr 2 x γ A der m = ρa er masse pr. lengdeenhet og r = I/A er treghetsradius

MEK4510 p. 87/8 Rotasjonstreghetsmoment, forts Fra likningen for kraftlikevekt langs y aksen, samt uttrykkene for bøyemoment og (tverrsnittets) rotasjonsmoment får vi likevektslikningen 4 u x 4 + m ( m EI ü GĀ + m ) 2ü EA x 2 + m2 EAGĀ ü = 0

der første faktor er identisk med løsningen for svingeproblemer der bidrag fra skjær og rotasjon neglisjeres MEK4510 p. 88/8 Eksempel Fri svingning av fritt opplagret bjelke y, u Antar løsning på form u(x,t) = C sin ( nπx ) L sin ω n t x Innsatt i differensiallikningen gir dette ω n n 2 π 2 EI ml 4 ( 1 1 2 ( nrπ L ) ( 2 1 + EA )) GĀ