Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og magnetisme TFY4155 Elektromagnetisme Våren 2009 Tillatte hjelpemidler: Midtsemesterprøve torsdag 7. mai 2009 kl 09.15 11.15. Oppgaver på side 5 10. Svartabell på side 11. Sett tydelige kryss. Husk å skrive på studentnummer på side 11. LEVE KUN SVTELLEN PÅ SIE 11. K. ottmann: Matematisk formelsamling. (Eller tilsvarende.) O. Øgrim og. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller. E. Lian og. ngell: Fysiske størrelser og enheter. Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (HP30S eller lignende.) Formelsamling er inkludert på sidene 2 4. Opplysninger: Prøven består av 25 oppgaver. Hver oppgave har ett riktig og tre gale svaralternativ. u skal krysse av for ett svaralternativ på hver oppgave. vkryssing for mer enn ett alternativ eller ingen alternativ betraktes som feil svar og gir i begge tilfelle null poeng. ersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt. ersom ikke annet er oppgitt, er potensial underforstått elektrostatisk potensial, og tilsvarende for potensiell energi. ersom ikke annet er oppgitt, er nullpunkt for potensial og potensiell energi valgt uendelig langt borte. Metall er synonymt med elektrisk leder. Isolator er synonymt med dielektrikum. Store plan er synonymt med tilnærmet uendelig store plan. Noen naturkonstanter: ε 0 = 8.85 10 12 F/m, µ 0 = 4π 10 7 H/m, 1/4πε 0 = 9 10 9 Nm 2 / 2, e = 1.6 10 19, m e = 9.11 10 31 kg, m p = 1.67 10 27 kg, g = 9.8 m/s 2, c = 3 10 8 m/s. Symboler angis i kursiv (f.eks V for potensial) mens enheter angis uten kursiv (f.eks V for volt). SI-prefikser: M (mega) = 10 6, k (kilo) = 10 3, c (centi) = 10 2, m (milli) = 10 3, µ (mikro) = 10 6, n (nano) = 10 9, p (piko) = 10 12. Omkrets av sirkel: 2πr. real av kuleflate: 4πr 2. Volum av kule: 4πr 3 /3. Gradient i kartesiske koordinater: f = ( f/ ) ˆ ( f/ y) ŷ ( f/ z) ẑ Gradient av kulesymmetrisk funksjon f(r): f = ( f/ r) ˆr 1
Formelsamling d angir flateintegral og dl angir linjeintegral. angir integral over lukket flate eller rundt lukket kurve. Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas forøvrig å være kjent. Elektrostatikk oulombs lov: Elektrisk felt og potensial: F = qq 4πε 0 r 2 ˆr E = V V = V V = E dl Elektrisk potensial fra punktladning: V = q 4πε 0 r Elektrisk fluks: φ E = E d Elektrostatisk felt er konservativt: E dl = 0 Gauss lov for elektrisk felt og elektrisk forskyvning: ε 0 E d = q d = q fri Elektrisk forskyvning: Elektrisk dipolmoment: ε 0 E P = ε r ε 0 E = εe p = qd 2
Elektrisk polarisering = elektrisk dipolmoment pr volumenhet: Kapasitans: P = p V = q V Energitetthet i elektrisk felt: u E = 1 2 ε 0E 2 Magnetostatikk Magnetisk fluks: φ m = d Magnetfeltet er divergensfritt (Gauss lov): d = 0 mpères lov for og H: dl = µ 0 I H dl = I fri Magnetfelt fra strømførende leder (iot Savarts lov): = µ 0 dl ˆr 4π I r 2 Magnetiserende felt H: Magnetisk dipolmoment: H 1 µ 0 M = 1 µ r µ 0 = 1 µ m = I Magnetisering = magnetisk dipolmoment pr volumenhet: M = m V 3
Magnetisk kraft på rett strømførende leder: F = IL Energitetthet i magnetfelt: u = 1 2µ 0 2 Elektrodynamikk og elektromagnetisk induksjon Faraday ( Henry)s lov: mpère Mawells lov: Selvinduktans: Gjensidig induktans: E = E dl = dφ m dt dl = µ 0 I µ 0 ε 0 dφ E dt L = φ m I M 12 = φ 1 I 2, M 21 = φ 2 I 1 Energitetthet i elektromagnetisk felt: u = 1 2 ε 0E 2 1 2µ 0 2, M 12 = M 21 = M 4
Oppgaver 1) Potensialet i et område er V () = 50 V (15 V/m) et elektriske feltet i dette området er da 50 V ˆ (15 V/m) ˆ (15 V/m) ˆ (15 V/m) ˆ 2) Hvilken av grafene i figuren representerer potensialet V i nærheten av et uendelig stort uniformt og positivt ladet plan, lokalisert i yz-planet? V 1 V 2 1 2 3 4 V 3 V 4 3) To ladete metallkuler er forbundet med en metalltråd. Kule 1 er større enn kule 2. Potensialet på kule 1 er mindre enn potensialet på kule 2. er like stort som potensialet på kule 2. er større enn potensialet på kule 2. 1 2 kan være større eller mindre enn på kule 2, avhengig av forholdet mellom kulenes radier. 4) u bringer en positivt ladet glass-stav nesten inntil den ene (den til venstre) av to nøytrale metallkuler som er i innbyrdes kontakt. eretter fjerner du de to metallkulene fra hverandre. a har metallkula til venstre fått negativ ladning. positiv ladning. null netto ladning. samme ladning som kula til høyre.? 5
5) Hvis potensialet V som funksjon av avstanden r fra en ladningsfordeling er som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet E som funksjon av avstanden r? V 1 E 2 E 3 2 3 4 5 E r 4 E 5 r r r r 6) En parallellplatekondensator består av to tilnærmet uendelig store parallelle metallplater i innbyrdes avstand d. e to metallplatene har ladning henholdsvis q og q. Med vakuum i hele rommet mellom platene er kapasitansen 0. En metallskive med tykkelse d/3, og med samme areal som de to opprinnelige metallplatene, settes inn mellom platene som vist i figuren. a blir kondensatorens kapasitans 1 lik 1 = 2 0 /3 q 1 = 0 d/3 metallskive d V 1 = 3 0 /2 1 = 3 q 0 7) En metallkule med (positiv) ladning q er belagt med et lag elektrisk nøytral plast. Pilene i figuren angir da feltlinjer for elektrisk forskyvning elektrisk felt E polarisering P både og E metallkule ladning q plast lag luft (vakuum) 8) u bringer en positivt og uniformt ladet glass-stav (isolator) nesten inntil et elektrisk nøytralt metall, som vist i figuren. Vi får da indusert overflateladning på det nøytrale metallet, som vist i figuren. anger potensialet V i de angitte punktene 1, 2 og 3 i metallet. V 1 > V 2 > V 3 V 1 = V 2 = V 3 V 1 < V 2 < V 3 V 1 = V 3 > V 3 ladet glass stav nøytralt metall 1 2 3 6
9) Fire punktladninger, to positive og to negative (q = 9 µ), er plassert i hjørnene på et kvadrat med sidekanter 5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi? 5 cm 19 J Null -7 J -38 J q q 5 cm q q 10) Figuren viser tre hule konsentriske metallkuler med netto ladning Q (på innerste kule), 2Q (på midterste kule) og Q (på ytterste kule). lle de tre kuleskallene har en viss tykkelse. Hvor mye ladning er samlet på ytre overflate av den midterste kula? Q 2Q Q 0 Q 2Q Q metall vakuum 11) Ei kvadratisk ledersløyfe fører en strøm I og kan rotere omkring y-aksen. en er plassert i et uniformt magnetfelt rettet langs z-aksen. I figurene nedenfor betrakter vi ledersløyfa i henholdsvis y-planet (til venstre) og z-planet (til høyre). Ledersløyfas plan danner en vinkel θ med y-planet, som vist i figuren til høyre. Hvilket av kraftparene nummerert fra 1 til 4 i figuren til høyre virker da på de to lengdene av ledersløyfa som ligger parallelt med y-aksen? 1 2 3 4 I y 1 2 4 z 3 I θ 3 4 2 1 (z aksen ut av planet) (y aksen inn i planet) 12) Partikler, alle med ladning forskjellig fra null, med ulike masser og hastigheter (men alle med hastighet i positiv -retning) kommer inn i et område der det elektriske feltet er E = E 0 ŷ (nedover i figuren) mens magnetfeltet er = 0 ẑ (inn i planet). Hvis E 0 = 10 kv/m og 0 = 50 mt, må de partiklene som passerer gjennom området med elektrisk felt og magnetfelt uten å avbøyes være elektroner. være protoner. ha hastighet 500 m/s. ha hastighet 200 km/s. v E, y 7
13) Hva blir strømstyrken I angitt i kretsen til høyre? V 0 / V 0 /3 2V 0 /3 3V 0 /2 V 0 I 14) Hva blir ladningen Q angitt i kretsen til høyre? V 0 2V 0 3V 0 4V 0 V 0 2 Q 15) Hva blir ladningen Q angitt i kretsen til høyre? 3V 0 /2 V 0 3V 0 /5 Q V 0 /3 V 0 3 16) En spenningskilde V 0 = 3 V kobles ved tidspunktet t = 0 til en seriekobling av en motstand = 10 Ω og en kondensator med kapasitans = 1 mf. (Før t = 0 har kondensatorplatene null ladning.) Ved hvilket tidspunkt har kondensatorladningen Q nådd 95% av sin maksimale verdi Q ma = V 0? t = 2.7 µs t = 30 ms t = 1.5 s t = 49 s V 0 t=0 Q Q 17) Hvor stor strøm I går i kretsen i oppgave 16 umiddelbart etter at spenningskilden er koblet til? (vs ved et tidspunkt t τ, der τ er kretsens tidskonstant.) I = 0 I = 0.30 I = 3.33 I 8
18) Et tilnærmet uendelig langt sylinderformet rør med radius, og med sylinderaksen sammenfallende med y-aksen, har konstant positiv ladning σ pr flateenhet på øvre halvdel ( 2 z 2 = 2, z > 0) og konstant negativ ladning σ pr flateenhet på nedre halvdel ( 2 z 2 = 2, z < 0). Hva blir elektrisk dipolmoment pr lengdeenhet, p/l, for et slik rør? z z p/l = 8 2 σ ẑ p/l = 4 2 σ ẑ p/l = 2 2 σ ẑ p/l = 2 σ ẑ σ σ L 19) En hul sylinder har lengde L, indre radius a og ytre radius b. Materialet som fyller området mellom r = a og r = b har elektrisk ledningsevne (konduktivitet) σ. Hva blir konduktansen G mellom sylinderens indre og ytre overflate? (Konduktans er den inverse resistansen, G = 1/. Her tenker vi oss at strømmen I går radielt utover fra indre mot ytre overflate av sylinderen.) L G = Lσ G = (b 2 a 2 )σ/l G = ablσ/(a 2 b 2 ) G = 2πLσ/ ln(b/a) b σ a I 20) Et elektron med masse m e og ladning e befinner seg i et uniformt magnetfelt = 0 ẑ. Ved tidspunktet t = 0 har elektronet hastighet v = v 0 ˆ v 0 ŷ. Hva slags bevegelse får elektronet? Sirkelbevegelse med radius m e v 0 /e 0 Sirkelbevegelse med radius 2m e v 0 /e 0 Sirkelbevegelse med radius 2e 0 /m e Sirkelbevegelse med radius e 0 /m e 9
21) Hva er magnetisk feltstyrke inne i en luftfylt spole med lengde 31.42 cm, 2000 viklinger, spolestrøm 2.0 og tverrsnitt 1 cm 2? 16 µt 16 mt 16 T 16 kt 22) Hva er magnetisk dipolmoment for en ledersløyfe formet som en regulær sekskant med sidekanter 1.0 cm og strømstyrke 1.0 i ledertråden? 0.2 cm 2 1.4 cm 2 2.6 cm 2 3.8 cm 2 23) Hva er impedansen til en kondensator med kapasitans 200 nf når den er koblet til en vekselspenningskilde med vinkelfrekvens 10 6 s 1? 0.2 Ω 1.8 Ω 3.4 Ω 5.0 Ω 24) Hva er impedansen til en spole med selvinduktans 200 ph når den er koblet til en vekselspenningskilde med vinkelfrekvens 10 6 s 1? 0.2 mω 1.8 mω 3.4 mω 5.0 mω 25) Ved tidspunktet t = 0 kobles en likespenningskilde V 0 til en seriekobling av en resistans = 1.0 mω og en induktans L = 1.0 µh. Ved hvilket tidspunkt har strømmen i kretsen nådd 80 % av sin maksimale verdi V 0 /? 0.9 ms 1.6 ms 2.3 ms 4.6 ms 10
Institutt for fysikk, NTNU FY1003/TFY4155 Elektrisitet og magnetisme/elektromagnetisme Midtsemesterprøve torsdag 7. mai 2009 kl 09.15 11.15. Emnekode: Studentnummer: Svartabell Oppgave Oppgave 1 14 2 15 3 16 4 17 5 18 6 19 7 20 8 21 9 22 10 23 11 24 12 25 13 N: Kontroller at du har satt ETT KYSS for hver av de 25 oppgavene. 11