MAT orelesning Mer ombinatori Dag Normann -. april (Sist oppdatert: -4-4:5) Kapittel 9: Mer ombinatori Oppsummering orrige ue startet vi på apitlet om ombinatori. Vi så på hvordan vi an finne antall måter å fordele n lie objeter på ulie beholdere på. Dette sal vi omme tilbae til. Vi så på inlusjons- og eslusjomsprinsippet: Videre så vi på multipliasjonsprinsippet. Det sal vi fortsette med i dag. A B + A B A + B Multipliasjonsprinsippet Etter dagens forelesning sal følgende oppgave være lett: Oppgave. a) Vi sal fordele syv lie hvite uler og ses lie røde uler på fire forsjellige boser. Hvor mange måter an dette gjøres på? b) Hvis vi rever at de hvite ulene sal ligge i de tre første bosene og de røde i de tre siste, hvor mange mulige fordelinger har vi da? c) Løs a) hvis vi i utgangspuntet bare hadde tre boser, og sammenlin svaret med svaret fra b). orlar det du observerer. Multipliasjonsprinsippet: Hvis vi sal treffe en serie uavhengige valg, vil det totale antall muligheter være produtet av antall muligheter ved hvert valg. A B A B Antall elementer i det artesise produtet A B er antall elementer i A multiplisert med antall elementer i B. Både inlusjons- og eslusjonsprinsippet og multipliasjonsprinsippet an generaliseres til flere enn to mengder.
eneraliseringen av inlusjons- og eslusjonsprinsippet til tre mengder ses ved hjelp av Venn-diagrammer. Det vil vi ie få bru for. eneraliseringen av multipliasjonsprinsippet blir Det vil vi få bru for. A A A n A A A n Esempel - det er n binære tall av lengde n Esempel - {a, b, c} {,, } {, } Multipliasjonsprinsippet gir oss følgende: a,, a,, {a, b, c} {,, } {, } {a, b, c} {,, } {, } 8 a b a,, a,, a,, a,, b,, b,, b,, b,, Vi an illustrere det sli: b,, b,, c c,, c,, c,, c,, c,, c,, Permutasjoner Det neste vi sal se på er hva vi mener med en permutasjon og på hvordan vi an telle opp antall permutasjoner av en ordnet mengde.
En permutasjon er en endring av en reefølge, eller en omstoing. Når vi stoer en ortsto er poenget at ortene sal ligge i en annen reefølge, og med et fremmedord an vi si at vi permuterer ortene. Vi sal se på noen esempler. Esempel. På hvor mange forsjellige måter an vi srive tallene, og i reefølge? Vi har tre valg for hvilet tall vi vil srive først:, eller. or hvert av disse valgene har vi to valg for hvilet som blir det neste tallet: Starter vi med må det neste tallet være eller, starter vi med må det neste tallet være eller og starter vi med må det neste tallet være eller. Har vi bestemt hvile to tall vi sriver først, gir det siste tallet seg av seg selv. Det fins altså 6 måter å srive disse tre tallene i reefølge på. Esempel. Hvis vi utvider esemplet vårt fra forrige side til å omfatte tallene,, og 4 vil antall permutasjoner vose til 4! 4 og tar vi med 5 i tillegg er antallet 5!. I det siste tilfellet har vi først fem valg for hvilet tall som sal srives først, deretter fire valg for tall nr., tre valg for tall nr. og to valg for tall nr. 4. Det siste tallet gir seg selv. enerelt fins det n! permutasjoner av tallene,..., n. Dette svarer også til hvor mange reefølger vi an sette n elementer i. Esempelvis an syv studenter ordnes på 7! 67 måter. Definisjon (Permutasjon). En permutasjon er en endring av reefølgen av elementene i en ordnet mengde. Vi sier også at en permutasjon av en mengde er en ordning av elementene i mengden. Her bruer vi ordet permutasjon sli boa tillater det, men det vanlige er å oppfatte en permutasjon som en omstoing, elementene bytter plass med hverandre. Esempel. Permutasjonene av {A, B, C} er ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Det er n! permutasjoner av en mengde med n elementer.
Og vi vet (selvfølgelig) at n! n (n ) (n ) I esempelet har vi elementer og! 6 permutasjoner. Esempel. Et jent problem i litteraturen er Den handelsreisendes problem (The traveling salesman). Hvis vi har gitt n byer som sal besøes, og vi jenner avstanden mellom to og to av byene, hva er da den orteste veien gjennom alle byene? Det er ennå ingen som har ommet opp med et program som løser dette problemet når antall byer er stort, som for esempel alle tettsteder i Norge med mer enn innbyggere. Vi sal se på hva dette problemet an ha med antall permutasjoner å gjøre. Esempel (ortsatt). Hvis antall byer som sal besøes er mindre, blir selvfølgelig oppgaven gjennomførbar. Anta at vi har fått i oppdrag å srive et program som finner den orteste reiseruten fra by A til by B, og som går gjennom ti andre byer C,...,C i en eller annen reefølge. Igjen an vi anta at alle avstander er jent. En måte å gjøre dette på er å liste opp alle mulige reefølger vi an besøe byene C,...,C i, regne ut alle reiselengdene og så velge ut den orteste. Problemet er at det fins!.68.8 forsjellige reefølger vi an velge mellom. Esempel (ortsatt). Det betyr altså at det fins over tre og en halv million måter å reise fra Oslo til Kirenes på, når reisen sal gå via Kristiansand Stavanger Bergen Molde Kristiansund Trondheim Bodø Narvi Tromsø Alta 4
Esempel (ortsatt). Øer vi antall byer som sal besøes til, hvis vi for esempel vil besøe Haugesund og Levanger i tillegg, vil vi være i nærheten av 4.. eneltruter, og da begynner de rase masinene å slite. Det vil gå flere generasjoner masiner mellom hver gang vi an øe antall byer med hvis vi bruer denne naive måten. Esempel (ortsatt). Det man i prasis gjør er å aseptere at det er dumt å brue år på å finne ut av om man an spare noen få ilometers reise, og utviler rase algoritmer som gir effetive reiseruter, uten å garantere at den finner den mest effetive. Det fins eletronise reiseplanleggere som må forene hensynet til ort regnetid og et godt resultat. Tilsvarende optimeringsproblemer finner man for effetiv utnyttelse av lagerplass, effetiv organisering av produsjonsleddene i en bedrift og linende. Esempel. Dette esemplet er stjålet fra en tidligere lærebo i disret matemati, den gang det het MA 8. Hvor mange ord an vi srive ved hjelp av bostavene i MISSISSIPPI? Det er bostaver, og har vi en blytype for hver bostav, an vi sette disse i! forsjellige reefølger. Det gir oss 9 96 8 forsjellige reefølger. Esempel (ortsatt). Reefølgen vi setter de to P ene i, betyr imidlertid ie noe for resultatet. Det alene halverer antall ord vi an srive. Det er fire I er og fire S er. Den innbyrdes reefølgen blant I ene og blant S ene betyr heller ie noe for hvordan det ferdige ordet ser ut. Det er 4! 4 måter å trye de fire S ene og 4! 4 måter å trye de fire I ene på. Det betyr at antall forsjellige ord vi an srive er! 4! 4!! 465. 5
Oppgave. Hvor mange forsjellige ord an vi srive ved å stoe om på bostavene i ordet Regn ut svaret fullstendig. PUSLESPILL Ordnet utvalg Vi sal nå se på det som alles ordnet utvalg fra en mengde. Esempel. Oppgave: I et barnesirenn er det med barn. Det er lov til å opplyse om hvem som to de tre første plassene, mens resten ie sal rangeres. Hvor mange forsjellige resultatlister an man få? Esempel (ortsatt). Løsning: Det fins mulige vinnere, deretter 9 mulige andreplasser og til sist 8 mulige tredjeplasser. Det fins altså 9 8 684 forsjellige resultatlister. Legg mere til at 9 8 9 8 7 6 7 6! ( )! Vi sal nå definere dette mer generelt og brue notasjonen P for dette tallet. Definisjon. La r og n være naturlige tall sli at r n. Med n n! P r mener vi (n r)! 6
Mer. n P r forteller oss hvor mange måter vi an tree r elementer i reefølge ut fra en mengde med n elementer på. Når n r bruer vi at!. Da får vi n P n n! (n n)! n!! n! n! Det er som forventet, siden det er n! permutasjoner av en mengde med n elementer i. Esempel. En idrettsleder har syv løpere i stallen sin, og sal velge ut fire av dem til å delta i en stafett. I et stafettlag spiller reefølgen stor rolle, især om idrettsgrenen er langrenn og det er to etapper i lassis og to i fristil. Da er det 7 P 4 7!! 7 6 5 4 84 forsjellige mulige lagutta. Kombinasjoner angir hvor mange delmengder med elementer det finnes av en mengde med n elementer Vi har tidligere vist dette ved indusjon. Det er også mulig å vise dette rent ombinatoris, som vi sal gjøre snart. Slie tall alles blant annet for binomialoeffisienter. [fragile] Anta at vi sal fordele tre oransje hatter, 4 5,på fem barn. Hver ombinasjon svarer til en delmengde av {,,, 4, 5}. Antall måter å velge tre barn på i reefølge er 5 P 5 4 6. Her vil hver ombinasjon av hatter, f.es. {,, 4}, bli talt! 6 ganger, som 4, 4, 4, 4, 4, og 4. Hvis vi sal ta høyde for dette, så må vi dele på 6. Antall måter å fordele hattene er derfor 6/6, som er ( 5 ). 7
Teorem. La A være en mengde med n elementer, og la n. Da finnes det forsjellige delmengder B av A. Bevis (Nytt, og fritt for indusjon). Antall måter å velge elementer i reefølge fra A på er n P n! (n )! or hver delmengde B med elementer, så fins det! forsjellige ordnede utvalg fra A som gir oss B. Da må antall mengder B med elementer være n P! n! (n )!! Legg mere til at Hvorfor det? ( ) ( ) n n n or esempel, hvis vi har en mengde med elementer, så er det ( 8) delmengder med 8 elementer. or hver sli mengde, så har vi også en mengde med elementer. Vi an f.es. lage en funsjon som til enhver delmengde av størrelse 8 gir en delmengde av størrelse. Denne funsjonen vil være både surjetiv og injetiv. Derfor har vi at ( ( 8) ) 9 9. Antall delmengder av størrelse må være li antall delmengder av størrelse n. Det er lie mange måter å velge n elementer på som det er åmåter å velge bort n elementer på. Binomialoeffisientene Tallene ( n ) alles blant annet for binomialoeffisienter. ølgende (reursive) sammenheng var utgangspuntet for et tidligere indusjonsbevis: ( n ) ( n ) + 8
Hvorfor er det sli? La oss se på et esempel. Tre,, av fem hatter,, sal være oransje. Hvor mange måter an dette gjøres på? ( ) 5 ( ) 4 + ( ) 4 Hvis den første hatten er oransje, så må to av de fire resterende hattene være oransje.det er ( 4 ) 6 måter å gjøre dette på. Hvis den første hatten er svart, så må tre av de fire resterende hattene være oransje. Det er ( 4 ) 4 måter å gjøre dette på. Dette forteller oss at det er to evivalente måter å definere binomialoeffisientene på: Ved hjelp av faultetsfunsjonen og brø: n! (n )!! Ved reursjon: Pascals treant + Pascals treant er en måte å srive opp alle binomialoeffisientene på ved hjelp av formelen ( ) ( ) ( ) n n n + Hus at Vi får følgende bilde. ( 6 n ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 4) 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 4 5) 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 4 5 6) 9
Vi finner igjen mange jente tallreer i Pascals treant De naturlige tallene:,,,4,5,6,... De såalte triangulære tallene:,,6,,5,,... Toerpotensene:,,4,8,6,,... Kvadrattallene:,4,9,6,5,... ibonacci-tallene (selv om de er godt gjemt):,,,,5,8,,,... Og mange flere...
464 5 5 6 5 5 6 7 5 5 7 8 8 56 7 56 8 8 9 6 84 6 6 84 6 9 45 5 45 55 65 46 46 65 55 66 495 79 94 79 495 66 78 86 75 87 76 76 87 75 86 78 4 9 64 4 64 9 4 5 5 455 65 55 645 645 55 65 455 5 5 Tilbae til binomialoeffisientene Nesten alle vet at (a + b). Alle vet at (a + b) a + b. Mange vet at (a + b) a + ab + b. De fleste an regne ut at (a + b) a + a b + ab + b. Noen greier til og med å regne ut at (a + b) 4 a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4. Noen bør begynne å ane at det er en sammenheng med Pascals treant. Siden (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + a b + a b + 5ab 4 + b 5 blir den anelsen bereftet. Teorem (eneralisering av. vadratsetning). or alle tall a og b og alle hele tall n har vi (a + b) n a n + a n b + a n b + + n ( n n a n b ( n ) ab n + b n ) a n b + Bevis. (a + b) n (a + b) (a + b) (a + b) }{{} n foreomster
Hvis vi multipliserer dette ut, så får vi n ledd. Hvert ledd består av n fatorer, hvor hver fator er enten a eller b, f.es. abaa b. Hvis B A {,..., n}, så lar vi B svare til leddet hvor fator nummer i er b hvis i B og a ellers..es. vil {, 4, 5} svare til leddet b a a b 4 b 5 a 6 a n Hvert ledd ommer fra en og bare en mengde B; det vi har besrevet er en surjetiv og injetiv funsjon fra potensmengden av A til leddene vi får når vi regner ut (a + b) n. Bevis (ortsatt). Det fins ( n ) delmengder av A med elementer. Da fins det ( n ) ledd med b er og n a er. Disse leddene ordnes til a n b Dette er nøyatig leddet med indes i teoremet. Siden er vilårlig må formelen i teoremet gi oss verdien på (a + b) n. Dette avslutter beviset. Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Hvor mange binære tall av lengde 5 fins det? Det er 5. Ordnet utvalg uten repetisjon: n P r På hvor mange måter an vi tree to ort fra en ortsto? Det er 5 P 5 5 65. Permutasjoner: n! På hvor mange måter an vi stoe om ordet LAKS? Det er 4! 4 4. Kombinasjoner: ( ) n Hvor mange delmengder av {a, b, c, d, e} har to elementer? Det er ( ) 5 5 4 Vi sal se på noen flere esempler. ørst en liten digresjon om store tall I ombinatori ommer vi fort opp i veldig store tall.
Bredden til et hårstrå: 6 atomer. Atomer i en vanndråpe: atomer. Atomer i universet: 8 atomer. Antall forfedre 65 generasjoner tilbae antall atomer i universet. Og disse tallene er ganse små... Allievel an vi representere dem og regne på dem uten store problemer. rafteori Neste gang begynner vi med grafteori. En graf består av noder og anter: Oppgave: larer dere å tegne denne på et ar uten å løfte blyanten og uten ågå over en ant to ganger?