Cavendisheksperimentet Tobias Grøsfjeld, Benjamin Roaldssønn Hope, John Kåre Jansen 24. november 2010 Sammendrag Vi har målt den newtonske gravitasjonskonstanten via Cavendisheksperimentet, og forsøket resulterte i at den var av størrelsen (4.0±0.8) 10 11 Nm 2 /kg 2. Kontakt Tobias Grøsfjeld: Benjamin Hope: John Kåre: Tobiasg@stud.ntnu.no Benjamh@stud.ntnu.no Johnkaj@stud.ntnu.no +47 473 474 83 +47 938 719 37 +47 971 860 81 1 Innledning Som ledd i vår opplæring i mekanisk fysikk og vitenskapelig metode ved NTNU, målte vi den newtonske gravitasjonskonstanten via Cavendisheksperimentet. Hensikten med denne rapporten er å få trening i å dokumentere forskningsresultater og fremstille disse gjennom et faglig rapportarbeid. Det aktuelle forsøket ble utført på NTNU som en del av emnet Mekanisk Fysikk TFY41. Gravitasjon er i hovedsak tiltrekning mellom masser. Gravitasjonskreftene er svake krefter som kan være vanskelig å måle på små legmer. Det kan være vanskelig å forestille seg at det nnes tiltrekningskrefter mellom små gjenstander på jorda. Mot slutten av 1600-tallet samlet Isac Newton omfattende observasjoner og lover om tyngdekrafta i en ny syntese om universell gravitasjon. Cavendish' metode gir en enkel måte å estimere gravitasjonskonstanten på ved hjelp av enkle formler for torsjonsstivhet og roterende legmer. Metoden ble opprinnelig benyttet mot slutten av 1700-tallet for å nne jordens massetetthet., og resulterte i at den var av størrelsen (4.0 ± 0.8) 10 11 Nm 2 /kg 2. 1
2 Teori/Metode For å bestemme gravitasjonskonstanten ved hjelp av Cavendish' metode ble det brukt et oppsett som vist i??. Tekst til gur 1: Figur 1 er en sjematisk fremstilling av apparaturoppsettet, der (1) torsjonstråden står vinkelrett opp fra papirplanet. Videre viser guren (2) speil, (3) store blykuler i posisjon 1, (4) små blykuler i den første ytterposisjonen og (5) laserlys. De store stiplede sirkelene skal forestille de store blykulene i posisjon 2, mens de små stiplede sirklene skal forestille de små kulene i den andre ytterposisjonen. Figur 2 viser hele apparaturen sett ovenfra der (6) er måleskalaen og (7) er laserkilden. S1 og S2 er det minste og største trepunktet til laseren på måleskalaen som direkte konsekvens av retningen til speilet som igjen er avhengig av posisjonen til de små kulene. L er avstanden mellom speilet og skalaen og S er avstanden mellom S1 og S2. Figur 3 en illustrasjon av torsjon i vekten som følge av et dreiemoment 2F r Torsjonsvekten benner seg i et lukket kammer for å minimere forstyrreler fra omgivelsene som trekk og lignende. Vekten er festet til en av de små blykulene m 1 og m 2 i hver ende som vist i gur 1. Inn fra en skrå vinkel, blir det sendt en laser som reekteres av et lite speil som sitter bak torsjonstråden. Laseren sendt videre og treer et punkt på måleskalaen som vist i gur 1. til de store blykulene M 1 og M 2 og de små blykulene Hensikten med eksperimentet er å nne den Newtonske gravitasjonskonstanten, så vi tar utgangspunkt i Newton's gravitasjonslov, ligning (1) som gir oss ligning (2) F = G m 1m 2 b 2 (1) G = F b2 m 1 m 2 (2) Massen i ligningene og distansen b er lett å måle, men gravitasjonskraften F den svakeste fundamentalkraften vi kjenner til, og selv med utstyret man har tilgang på ved NTNU har man ikke sjanse til å måle den direkte. Vi utnytter derfor de elastiske egenskapene til en torsjonsvekt, som utøver et dreiemoment når den roteres, som gitt ved ligning. Det nnes to ulike kraftmomtent som virker på m 1 og m 2, den ene fra torsjonsvekten τ t på grunn av stivheten og den andre fra nã rmeste store kule M 1 eller M 2 τ g. Kraftmomentet som ble påfãrt av fjerden ble stor da avstanden mellom de små og store massene minsket, men veldig liten da avstanden ble stor. Da kraftmomentet fra fjerden ble liten, tok gravitasjonskraften mellom 2
kulene overhånd siden dette er en kraft som virker på relativt store avstander. Rotasjonsaksellerasjonen snur. Kraftmomentet fra torsjonsvekten og fra gravitasjonsonskraften er dermed motsatt rettet og når systemet benner seg i likevektsposisjonen har man at (3) τ = Dθ (3) Der D er en skjærkonstant. Merk at i likhet med hookske fjærer, gjelder dette bare for små vinkler θ. Hvis vi setter opp en dierentialligning basert på Newton's andre lov for rotasjon τ = Iα, og ser bort fra demping, får vi ligning (4) d 2 θ dt = D 2 I θ = ω2 θ (4) D Som har en generell løsning på formen θ(t) = θ 0 sin ( t), som sier oss at vi I kan forvente en periodisk svingning. Vi har relasjonen D/I = ω 2, som vi kan løse for D og substituere vinkelhastigheten omega for svingetiden, slik at vi ender opp med ligning (5) D = 4π2 I T 2 = 2π2 m 1 r 2 T 2 (5) Her er r er de små massenes distanse fra massesenteret på torsjonspendelen, se gur (oppsett). I dette eksperimentet har vi to ytre dreiemoment på grunn av gravitasjon. Likevekten som dannes etter hvert som svingningen vår dempes, vil ha form som i ligning (6) 2F r = Dθ (6) Siden θ er så liten, vil vi projisjere den ut på en meterstokk med laser. Merk at reeksjonsloven sier at den direkte målte vinkelen er dobbel av torsjonspendelens vinkel. Derfor vil vi approksimere vinkelen som ved ligning (7) θ = S 4L (7) Her er S distansen mellom likevektsposisjonene når vi gjentar eksperimentet med krefter som virker motsatt vei av første eksperiment, og L er distansen fra torsjonspendeles massesenter til projisjeringsområdet. Setter vi ligning (7) forenklingen sammen med ligning (5) inn i ligning (6) får vi uttrykk (8) F = 8π2 m 1 r 2 S T 2 8rL = π2 m 1 Sr LT 2 (8) 3
Siden vi nå har et uttrykk for F, kan vi sette den inn i ligning (2) slik at vi ender opp med ligning (9), der alle verdiene er relativt enkle å måle. Korrigering av interferens G = π2 Srb 2 LM 2 T 2 (9) Siden systemet vårt er så lite, vil det vært en stor systematisk feil å ikke se på den mindre gravitasjonelle kraften f som trekker oppsettet vårt tilbake. Den målte kraften er nemlig i relasjon for den virkelige kraften ved ligning (10) F = F f sin α = F G m 1m 2 b 2 + 4r b 2 b2 + 4r = F F b 3 2 F (1 β) b2 + 4r23/2 (10) Dette gir oss F korr = F 1 β G korr = G 1 β (11) Andre ligninger av betydning: S = S 1 S 2 (12) T = T 1 + T 2 2 + T 1 + T 2 2 (13) ( G G )2 = ( S S )2 + ( 2 b b )2 + ( r r )2 + ( 2 T T )2 + ( L L )2 + ( M M )2 (14) Eksperimentelt oppsett og utførelse Før man starter med selve forsøket, bør man måle avstanden fra speilet til meterstaven, tyngden på de store kulene og avstanden fra de små kulenes massesentrum til enden på kammeret. De to store kulene blir så plassert i posisjon 1. Deretter venter man et par minutter før man starter målingene slik at eventuelle vibrasjoner kan få tid til å roe seg. Ved hjelp av en stoppeklokke og lasterstrålemerkene på meterstokken, gjør man 61 målinger med et 4
Figur 1: Måleserie 1 og 2. intervall på 30 sekunder mellom hver. Man utfører 2 serier, en med kulene i posisjon 1 og en med kulene i posisjon 2. Kulene blir satt i mellom posisjon 1 og posisjon 2 mellom målingene, slik at torsjonsvekten får roet seg litt ned. Om ikke, kan det føre til forstyrrelser i systemet og dermed forstyrrelser i målingene. Resultater Uheldigvis var vi plaget av lineær drift i målingsresultatene våre, som betyr at usikkerheten vår er meget stor når det kommer til den numeriske verdien. Vi bruker formel 12 for å beregne S. Setter inn verdiene 674, 8616 for S 1 og 642, 8754 for S 2, og får at S = 31, 9862mm Løser formel 13 og får at T = 599.2655 ± 0.00005s Setter verdiene for S, b, L T og M inn i formel 9 for å beregne G, og får at G = 2.98456 10 11 Løser formel 14 med hensyn på G og får 7.539 10 4 5
Setter verdiene for b, r og G inn i formel?? for å beregne G korr, og får at 11 m3 korr = 3.193 10 kgs 2 Feilmargin dersom vi ekskluderer S fra 14, får vi: G = 0.013 10 11, noe som er mye mer akseptabelt. Tabell 1: Tabell over alle resultatverdiene Størrelse Målt/beregnet verdi Usikkerhet b(mm) 47.15 0.05 S(mm) 32.0 8.3 T(s) 599.2655 0.00005 L(cm) 225.0 0.5 M1(g) 1500.0 0.05 M2(g) 1500.4 0.05 M(g) 1500.2 0.05 r(mm) 50 0.025 G( m3 ) kgs 2 2.89456 0.38 G korr ( m3 ) kgs 2 3.19 0.38 Diskusjon Man kan se av graf 2 at målepunktene ikke følger de teoretiske verdiene. Likevektspunktene driver oppover i forhold til den gjennomsnittlige likevektslinja. Dette tyder på at noe har forstyrret systemet slik at verdiene blir systematisk gale. Dette ødelegger verdien for S og dermed G fordi likevektspunktet til graf 2, S2, er blitt alt for stor. Graf 1 ser imidlertid bra ut og følger de teoretiske verdiene. Denne drivingen hos graf 2 har dessuten blitt svært stor her, noe som har ført til veldig stor usikkerhet ved måling av S2 og dermed også S. deltas ble dermed urimelig stor og overskygger usikkerheten til resten av måleresultatene for radius, avstander, osv. Dermed får man at S G er tilnærmet lik S G Stor usikkherhet hos G retter imidlertidig ikke opp det store avviket fra den virkelige G. Dersom man studerer formelen for G, formel1, er det ikke S som er viktigst å måle nøyaktig. De verdiene som kvadreres vil gi større utslag på resultatet fordi små endringer i verdi vil forsterkes. Siden enorm usikkerhet i S, blir disse verdiene likevel ubetydelige. Siden systemet man har brukt til å regne ut G består av ere bestanddeler enn de teoretiske brukt i utregningene, kan man tro at siden gravitasjonskraf- 6
ten (de indre kreftene) i systemet ikke ville være de eneste gravitasjonskreftene som virket, at det altså i tillegg fantes ytre krefter. Gravitasjonskrafta fra jorda er et eksempel på en slik kraft, men denne neglisjeres fordi den står vinkelrett på kreftene inne i systemet. Andre slike krefter er menneskene og tingene inne i rommet. Sannsynligvis vil dog disse tingene ikke ha særlig innvirkning pga. store avstander ( relativt) og små krefter. Gjenstander som er nærme systemet, som kan tenkes å ha mulig betydelig eekt på systemet, er kammeret rundt torsjonstråden og oppsettet rundt. Når vi regner ut G, nner vi at verdien er uavhengig av massene til de små kulene og dermed også uavhengig av massen til kammeret rundt. De store kulene vil trekke like mye på kulene som kammeret rundt. De små kulene vil trekke like mye på kulene som kammeret rundt. De små kulene sammen med kammeret vil trekke på de store kulene mer enn de små kulene alene, men dette vil ikke ha noe å si så lenge de store kulene ikke beveger seg. Det viktige å passe på for at kammeret rundt de små kulene ikke skal påvirke resultatet, er at massesenteret til kammeret og m1/m2 blir det samme i forhold til nærmeste store kule, slik at b i systemet blir den samme. Konklusjon Den største feilkilden i dette forsøket er altså ved målingen av S. Serie2 ødelegger forsøket litt, både utregningen av G og usikkerhetsrelasjonen til G. Grunnen til dette kan være mange, men mye tyder på en systematisk feil dersom man studerer graf 2. Trolig har ikke torsjonsvekta vært heilt i ro ved starten av måling nr. 2. Disse vibrasjonene stammer enten fra den første serien eller da de store kulene ble skjøvet over i posisjon 2. Slike små vibrasjoner kan ha skapt små svingninger som har lagt seg oppå de nye svingningene da systemet ble satt i gang. Disse gamlesvingningene har trolig vært svake og med veldig lang bølgelengde, noe som har ført til den svake stigningen man ser i graf2. Dette er altså en grov feil som har ført til en systematisk feil. Denne stigningen er altså årsak til den lave verdi av G. Det kan også være mange andre kilder til feil. Menneskene i rommet, luftstrømninger og gravitasjon fra andre gjenstander kan påvirke systemet. Torsjonsfjæra er veldig følsom og man må derfor være tilsvarende forsiktig. Slike feil kan påvirke resultatet begge veier. Målefeil ved stoppeklokke og avlesningsfeil er også en kilde til feil i dette forsøket som kan virke begge veier, men ved å studere grafen ser man at måleverdiene samsvarer med hverandre, noe som tyder på en systematisk feil, ikke grove feil. Der er derfor sikkert å anta at dette ikke var skyld i de dårlige resultatene i serie 2. Dessuten kunne det observeres under det andre forsøket at det lille speilet inne i kammeret stod og vibrerte. 7
Det var altså vibrasjon i systemet, noe som underbygger påstanden om at systemet kanskje ikke var helt i ro. 8