54 Dnamiske sstemer Sperposisjonsprinsippet. For lineære differensiallikninger men ikke for lineære gjelder sperposisjonsprinsippet: Den totale responsen som skldes avhengige inngangssignaler, vil være den samme som smmen av de enkelte inngangssignalers respons. Eksempel: For (3.1), når vi antar at den er en LTI-differensiallikning, betr sperposisjonsprinsippet at den totale responsen i temperatren T er lik smmen av disse to (del)responsene: (1): Den (del)responsen som skldes P når samtidig T i settes lik nll. (2): Den (del)responsen som skldes T i når samtidig P settes lik nll. Dette skal vi se mer på i nderkapittel 3.3.9 der vi skal brke Laplacetransformasjonen for å beregne tidsresponser (løse differensiallikninger). 3.2.2 Tilstandsrommodeller En tilstandsrommodell (eng.: state-space model) er bare en strktrert måte å skrive differensiallikningene for et sstem på. 1 Tilstandsrommodeller er nttige i mange sammenhenger: Opptegning av blokkdiagrammer for modellen (jf. kap. 3.2.3); linearisering av lineære modeller (jf. kap. 3.2.8); beregningavtidsresponser både analtisk og nmerisk (jf. kap. 3.2.4 og 3.2.6); brk av simlatorprogrammer (jf. kap. 3.2.7); analse av dnamiske sstemer, som stabilitetsanalse (jf. kap. 6). Dessten er tilstandsrommodeller tgangspnktet for emner som strbarhets- og observerbarhetsanalse, design av regleringssstemer (som optimalreglering, modellbasert prediktiv reglering og lineær dekopling) og design av tilstandsestimatorer (Kalman-filter). Generelt består en n te ordens tilstandsrommodell av n stk. 1. ordens differensiallikninger kjennetegnet ved at de tidsderiverte står alene på venstre side. En generell n te ordens tilstandsrommodell ser slik t: ẋ 1 = f 1 () (3.6). ẋ n = f n () (3.7) der f 1 (),..., f n () er fnksjoner (som gitt av modellikningene, selvsagt). De variablene som inngår med sine deriverte i tilstandsrommodellen, er 1 Som vi skal se, er det nokså enkelt å sette opp en differensiallikningsmodell på tilstandsrommodellform. Denne modellformen er nttig i mange sammenhenger. Det kan imidlertid være ganske komplisert å tføre teoretisk analse av tilstandsrommodeller, siden analsen er basert på nokså avansert matematikk, nemlig lineær algebra (matrise- og vektorregning). Jeg vil nderstreke at en trenger ikke beherske slik analse bare for å knne sette opp tilstandsrommodeller.
Dnamiske sstemer 55 sstemets tilstandsvariable. 2 I modellen ovenfor er derfor -variablene tilstandsvariable. er et vanlig navn for tilstandsvariabel, men d kan gjerne brke andre navn. Sstemets initialtilstand (t =) angis med initialverdiene 1 (),..., n (). Noen ganger defineres tgangsvariablene for en tilstandsrommodell. er et vanlig navn for tgangsvariabel. En modell med m tgangsvariable kan skrives 1 = g 1 () (3.8). m = g m () (3.9) der g 1 (),..., g m () er fnksjoner. Vi kan brke betegnelsen tilstandsrommodell om bare (3.6) (3.7) eller om hele modellen (3.6) (3.9). Følgende eksempel viser et eksempel på en tilstandsrommodell. En opprinnelig 2. ordens differensiallikning (for et masse-fjær-demper-sstem) skrives der som en 2. ordens tilstandsrommodell. Prinsippet er at vi definerer en variabel for hver av de variable som inngås med sine tidsderiverte i differensiallikningen. Disse ne variablene blir tilstandsrommodellens tilstandsvariable. (Samme prinsipp benttes også for tvikling av tilstandsrommodeller t fra opprinnelige differensiallikninger av høere orden enn 2.) Eksempel 12 Masse-fjær-demper-modell skrevet som tilstandsrommodell I eksempel 4 side 28 ble modellen for et masse-fjær-demper-sstem tviklet. Modellen er gitt ved (2.33). Der er posisjonen. Det er nå best å brke et annet variabelnavn for posisjonen enn siden vi ovenfor har benttet som generelt navn for tgangsvariabel i tilstandsrommodeller. La oss her brke z for posisjon. Modellen kan da skrives m z = Dż K f z + F (3.1) som er en 2. ordens differensiallikning. Vi innfører følgende ne variable: 1 for posisjonen z, 2 for hastigheten ż og for kraften F.Vikannå 2 Bakgrnnen for betegnelsen tilstandsrommodell: Verdiene av tilstandsvariablene, 1(t),..., n(t), definerer tilstanden som sstemet til enhver tid befinner seg i. Disse verdiene kan betraktes som pnkter i tilstandsrommet.
56 Dnamiske sstemer skrive modellen (3.1) som følgende ekvivalente sett av to stk. 1. ordens differensiallikninger: ẋ 1 = 2 (3.11) mẋ 2 = D 2 K f 1 + (3.12) som kan skrives på standardformen (3.6), (3.7): ẋ 1 = 2 {z} f 1 (3.13) ẋ 2 = 1 m ( D 2 K f 1 + ) {z } f 2 (3.14) La oss videre definere modellens tgangsvariabel som posisjonen 1 : = 1 {z} g (3.15) Intitialposisjonen 1 () og initialhastigheten 2 () tgjør sstemets initialtilstand. (3.13) og (3.14) samt (3.15) tgjør en 2. ordens tilstandsrommodell som er ekvivalent med den opprinnelige 2. ordens differensiallikningen (3.1). [Sltt på eksempel 12] Lineære tilstandsrommodeller Lineære tilstandsrommodeller er spesialtilfeller av den generelle tilstandsrommodellformen (3.6) (3.7). Mange metoder for analse av differensiallikningsmodeller (som stabilitetsanalse, responsberegning, modelltransformasjoner, simleringsfnksjoner) er basert på lineære tilstandsrommodeller. Vi nøer oss med å se på en generell 2. ordens lineær tilstandsrommodell med 2 tilstandsvariable, 1 og 2,og2 inngangsvariable, 1 og 2 (ttrkkene blir prinsipielt de samme ansett orden): ẋ 1 = a 11 1 + a 12 2 + b 11 1 + b 12 2 (3.16) ẋ 2 = a 21 1 + a 22 2 + b 21 1 + b 22 2 (3.17) der a ene og b ene er parametre (konstanter).
Dnamiske sstemer 57 (3.16), (3.17) kan skrives på matrise-vektor-form slik: a 11 a 12 b 11 b 12 ẋ1 = 1 + 1 ẋ 2 {z } a 21 a 2 22 {z } b 21 b 2 22 {z } ẋ {z } {z } A B (3.18) eller kompakt: ẋ = A + B (3.19) der er tilstandsvektoren og er inngangsvektoren. En tilsvarende generell lineær tgangsfnksjon med 2 tgangsvariable er 1 = c 11 1 + c 12 2 + d 11 1 + d 12 2 (3.2) 2 = c 21 1 + c 22 2 + d 21 1 + d 22 2 (3.21) som kan skrives på matrise-vektor-form slik: c 11 c 12 d 11 d 12 1 = 1 + 1 2 {z } c 21 c 2 22 {z } d 21 d 2 22 {z } {z } {z } C B (3.22) eller kompakt: = C + D (3.23) Eksempel 13 Masse-fjær-demper-modell skrevet som tilstandsrommodell Tilstandsrommodellen (3.13), (3.14), (3.15) er lineær. Vi får: 1 ẋ1 = 1 + (3.24) ẋ 2 {z } K f m m D 2 1 {z } m ẋ {z } A {z } B = 1 1 + (3.25) {z } 2 {z } C {z } D [Sltt på eksempel 13]
58 Dnamiske sstemer Generell tilstandsrommodell på matrise-vektor-form (3.6) (3.7) kan skrives ẋ = f() (3.26) der ẋ =[ẋ 1, ẋ 2,...,ẋ n ] T og f =[f 1,f 2,...,f n ] T. Tilsvarende kan (3.8) (3.9) skrives = g() (3.27) Disse matrise-vektor-ttrkkene er hensiktsmessige ved tledning eller beskrivelse av formler for nmerisk beregning av tidsresponser og linearisering for differensiallikningsmodeller som er på tilstandsromform. 3.2.3 Blokkdiagram for differensiallikningsmodeller Et matematisk blokkdiagram gir en grafisk representasjon av en matematisk modell. Blokkdiagrammet i seg selv kan gi god informasjon om modellens strktr, bl.a. om hvordan delsstemer er sammenkoplet, og blokkdiagrammodeller kan simleres i SIMULINK og i LabVIEW. Figr 3.1 viser de mest brkte enkeltblokkene, som vi kan kalle elementærblokkene, for opptegning av blokkdiagrammer. De er beskrevet nedenfor. Integratorblokk: Utgangen er lik integralet av inngangen, plss initialverdien av tgangen, (t =): (t) =() + (θ) dθ (3.28) Forsterkningsblokk: Sammenhengen mellom inngangssignalet og tgangssignalet er (t) =K(t) (3.29) der K er et hvilket som helst tall. Betegnelsen forsterkning brkes selv om K har (absoltt)verdi mindre enn 1, dvs. selv om det faktisk er en forminskning som tføres. Smmasjonsblokk: Utgangssignalet er smmen av inngangssignalene, med evt. negativ fortegn ved en eller flere signalpiler for angivelse av sbtraksjon: (t) = 1 (t)+ 2 (t) 3 (t) (3.3) Plsstegn eller intet fortegn angir at signaler går inn positivt på blokken. Antall innganger på smmasjonsblokken er valgfritt.
Dnamiske sstemer 59 Integrator: Forsterkning: K 1 Smmasjon (inkl. sbtraksjon): 2 3 Tidsforsinkelse: Figr 3.1: Elementærblokker for opptegning av blokkdiagrammer Tidsforsinkelsesblokk, som ttrkker at tgangen er lik inngangen tidsforsinket med tiden τ: (t) =(t τ) (3.31) Vi skal nå arbeide oss igjennom et enkelt eksempel for å bli kjent med framgangsmåten for tvikling av blokkdiagrammer. Alle blokkene beskrevet ovenfor vil da bli brkt. (Deretter følger et eksempel som viser hvordan blokkdiagram for en 2. ordens differensiallikning kan tegnes.) La oss ta tgangspnkt i modellen a 1 ẋ(t)+a (t) =b(t τ) (3.32) som er en 1. ordens lineær differensiallikning for. Initialtilstanden er ()., som inngår tidsforsinket i modellen, er inngangsvariabel, mens er tgangsvariabel. (t) skal vises (med en variabel- eller signalpil) i blokkdiagrammet. Med andre ord skal blokkdiagrammet vise løsningen (t) av differensiallikningen (3.32). Det er derfor hensiktmessig å starte
6 Dnamiske sstemer tviklingen av blokkdiagrammet med å ttrkke (t) som løsning til (3.32): Fra (3.32) fås ẋ(t) = 1 a 1 [ a (t)+b(t τ)] (3.33) som vi så integrerer (på begge sider) fra tid til t (θ er innført som integrasjonsvariabel): som gir {ẋ(θ)} dθ = (t) () = 1 a 1 [ a (θ)+b(θ τ)] dθ (3.34) 1 (t) =() + [ a (θ)+b(θ τ)] dθ (3.35) a 1 {z } ẋ(θ) Det er (3.35) vi skal brke som tgangspnkt for tegning av blokkdiagrammet. For opptegningen trenger vi følgende blokker: En integrator (inkl. angivelse av initialtilstanden ()), tre forsterkningsblokker (for hhv. a, b(t τ) og mltiplikasjonen av parentesen med faktoren 1/a 1 ), en tidsforsinkelsesblokk for tidsforsinkelsen av, samt en smmasjonsblokk for smmeleddene i integranden. Vi begnner med å tegne inn integratoren, og deretter tegner vi resten blokkdiagrammet ihht. ttrkket for (t) gitt ved (3.35). Resltatet blir som vist i figr 3.2. (t-τ) b Smmasjon 1/a 1 Initialtilstand () ẋ Inngangsvariabel Utgangsvariabel Tidsforsinkelse Forsterkning Integrator a Forsterkning Figr 3.2: Blokkdiagram tilsvarende likn. (3.35). Nå følger et eksempel som viser hvordan vi kan tegne blokkdiagram for en 2. ordens differensiallikning ved først å skrive differensiallikningen som en tilstandsrommodell.
Dnamiske sstemer 61 Eksempel 14 Blokkdiagram for en 2. ordens differensiallikning Gitt differensiallikningen mÿ = Dẏ K f + F (3.36) (som tgjør modellen for et masse-fjær-demper-sstem, jf. eksempel 4 side 28). Vi skal tegne blokkdiagram for denne differensiallikningen. En sstematisk framgangsmåte er å starte med å skrive differensiallikningen som en tilstandsrommodell og så tegne blokkdiagram for tilstandsrommodellen. Vi fant en tilstandsrommodell i eksempel 13, nemlig (3.13), (3.14). Vi skriver nå tilstandsrommodellen på formen ẋ 1 = 2 (3.37) ẋ 2 = 1 m ( K f 1 D 2 + ) (3.38) Fra denne tilstandsrommodellen får vi, ved å integrere, følgende ttrkk (løsninger) for tilstandsvariablene 1 (t) og 2 (t): 1 (t) = 1 () + 2 (t) = 2 () + [ 2 (θ)] dθ (3.39) 1 m [ K f 1 (θ) D 2 (θ)+(θ)] dθ (3.4) som vi brker som tgangspnkt for tegning av blokkdiagrammet. Vi kan først tegne en integrator for 1 og en integrator for 2, og deretter tegner vi resten av blokkdiagrammet ihht. modellen. Blokkdiagrammet blir da som vist i figr 3.3. 2 () 1 () 2 1/m 1 D K f Figr 3.3: Blokkdiagram for (3.39), (3.4). [Sltt på eksempel 14]
62 Dnamiske sstemer Andre (lineære) blokker D kan brke andre blokker enn elementærblokkene vist i figr 3.2 for å representere f.eks. lineære fnksjoner. Figr 3.4 viser noen mlige slike blokker, men d kan (selvsagt) bestemme blokkenes tseende og innhold selv. For noen av blokkene må d angi parametre for å definere blokkens fnksjon presist, f.eks. metningsgrensene for metningselementet. Parametrene kan skrives ved siden av den aktelle blokken. Metning: Stigningsbegrensning: Dødsone: Relé: Svitsj: Mltiplikasjon: 1 MULT 2 Figr 3.4: Blokker for lineære fnksjoner