Forelesningsplan M 117 Innledning Kan du gi et eksempel på et fenomen eller en prosess som er lineær? Har du eksempel på ikke-lineære fenomen? Hva er henholdsvis en ordinær (ODL) og en partiell differensialligning (PDL)? Hva bestemmer ligningens orden? Hva er et system av differensialligninger? Hva er forskjellen på en lineær og en ikke-lineær differensialligning? Navngi noen sentrale personer fra differensialligningenes historie. Hva var deres bidrag? Hvorfor er differensialligninger det naturlige språk for fysiske lover? (Jmf. Newtons andre lov: Summen av kreftene = masse * akselerasjon.) Hva er typiske bruksområder for differensialligninger i dag? Hva er sammenhengen mellom retningsfeltet fra, og løsningen av, en 1. ordens ODL? Læreboken formulerer følgende fundamentale spørsmål som angår entydighet og eksistens av løsninger av initialverdiproblem: - Har initialverdiproblemet alltid en løsning? - Kan initialverdiproblemet ha flere løsninger? - Vil en løsning være gyldig for alle t, eller bare i et intervall omkring startpunktet? Hva er en separabel ligning? Kan du formulere et praktisk/fysisk problem v.hj.a. differensialligninger selv? 1. forelesning Kap. 2.8 Eksakte ligninger og integrerende faktorer. 1
Hva er definisjonen for en eksakt ligning? Er alle differensialligninger eksakte? Det står riktignok ingenting om det i pensumboken, men hvorfor er navnet eksakt ligning beskrivende? Hva er en integrerende faktor? 2. forelesning Kap. 2.9 Homogene ligninger. Kap. 2.11 Eksistens- og entydighetsteoremet. Kap. 3.1 Homogene ligninger med konstante koeffisienter. Hva er definisjonen (i kap. 2.9) på en homogen ligning? Hva er løsningsmetoden? Hva sier teoremet for eksistens- og entydighet? Hvorfor er dette teoremet viktig? Hva er Picard iterasjon? Hvorfor er en slik metode som skapt for en datamaskin? Hva er definisjonen (i kap. 3.1) på en homogen/inhomogen ligning? Hva er den karakteristiske ligningen (for en andre ordens ODL med konstante koeffisienter)? Hva er hensikten med initialkrav? Hva avgjør hvor mange slike krav vi må stille? Hvor mange, og hvilke, initialkrav må gis i et andre ordens initialverdiproblem? Hvorfor? 2
3. forelesning Kap. 3.2 Fundamentale løsninger av lineære homogene ligninger. Hva sier superposisjonsprinsippet? Hvorfor gjelder det ikke for en (lineær) inhomogen ligning? Hvorfor gjelder det ikke for en ikke-lineær ligning? Hva er Wronskien (Wronski-determinanten)? Hva er sammenhengen mellom Wronskien og den generelle løsningen? Hva inneholder den generelle løsningen av en ODL? Hva er et fundamentalt sett av løsninger? Hva er sammenhengen mellom et fundamentalsett av løsninger og den generelle løsningen av en ligning? 4. forelesning Kap. 3.3 Lineær uavhengighet og Wronskien. Kap. 3.4 Komplekse røtter av den karakteristiske ligningen. Kap. 3.5 Multiple røtter; reduksjon av orden. Hva betyr det at to funksjoner er lineært uavhengige? Hva er sammenhengen mellom lineær uavhengighet og Wronskien? Og hva er sammenhengen mellom de to begrepene over og det fundamentale løsningssettet for en 2. ordens homogen ODL? Kan du bestemme Wronskien til et løsningssett uten å kjenne løsningene? I følge algebraens fundamental teorem har en n-te grads ligning alltid n løsninger (røtter) 3
i det komplekse plan når vi teller multiple røtter. Hva kan du i tillegg si om komplekse røtter dersom en ligning har reelle koeffisienter? Hva er Eulers formel? Hvordan brukes formelen (i forbindelse med den karakteristiske ligningen)? Gitt komplekse røtter av den karakteristiske ligningen. Hvorfor har demping/forsterking av samme styrke samme virkning på svingefrekvensen? Hvor mange lineært uavhengige løsninger gir den karakteristiske ligningen når den har multiple røtter? Hva menes med reduksjon av orden? Hvordan brukes denne metoden? 5. forelesning Kap. 3.6 Inhomogene ligninger; Metoden med ubestemte koeffisienter. Hva er henholdsvis en homogen og en partikulær løsning? Hva er metoden med ubestemte koeffisienter? Hvilken type løsning (generell, homogen eller partikulær) finner en ved hjelp av den? Når kan vi forvente at metoden fungerer? Hva tror du ligger i å bruke intelligent gjetning for å bestemme løsningen av en differensialligning? 6. forelesning Kap. 3.7 Variasjon av parametre. (Alternativ til metoden i kap. 3.6.) Kap. 5.1 Potensrekker. 4
Hva er metoden med variasjon av parametre? Hva er likhetene/forskjellene med metoden med ubestemte koeffisienter? Dersom du får gitt et problem hvor du kan bruke metoden med variasjon av parametre, bør du da først forsøke å løse problemet med intelligent gjetning? Gitt en potensrekke. Hva betyr det at rekken - divergerer/konvergerer/konvergerer absolutt? - har konvergensradius L? Hva er definisjonen på Taylorrekken til en funksjon f(x)? I M100 har du lært ulike metoder for å avgjøre om en bestemt rekke konvergerer, for eksempel forholdstesten. Hvilke andre metoder har du lært å bruke? (Hvis svart er ingen, bør du gå tilbake og friske opp M100 pensum!) 7. forelesning Kap. 5.2 Rekkeløsninger nær et ordinært punkt, del I. Kap. 5.3 Rekkeløsninger nær et ordinært punkt, del II. Definer et ordinært/singulært punkt. Hva er en rekursjonsligning? Hva er matematisk induksjon? For en n te ordens ODL, hvor mange ukjente koeffisienter a 0, a 1,... vil det være i rekursjonsligningen? Hva bestemmer verdien av disse koeffisientene? Hva betyr det at en funksjon er analytisk i et punkt? Når dette begrepet er innført, hva er definisjonen på et ordinært/singulært punkt? 5
8. forelesning Kap. 5.4 Regulære singulære punkt. Kap. 6.1 Definisjon av Laplace-transformasjonen. Gi definisjonen av et uekte integral og forklar hva det vil si at integralet konverger? Definer et regulært/irregulært singulært punkt. Definer Laplace-transformen til f(t). Hva er motivasjonen for å løse differensialligninger ved hjelp av en slik metode? 9. forelesning Kap. 6.2 Løsning av initialverdiproblem. Kap. 6.3 Heaviside-funksjonen. Laplace-transformasjon av en ODL gir hvilken type ligning? Når en har funnet løsningen av den transformerte ligningen, hvordan finner en løsningen av den opprinnelige ODL en? Hva er det prinsipielt største problemet med å bruke Laplacetransformasjoner og hvordan kan vi omgå problemet? Hvorfor kan u 2 (t) (Heaviside-funksjonen) forstås som en bryter som er av for t < 2, og på for t 2? Hva er sammenhengen mellom funksjonen f(t), og translasjonen g(t) = u 2 (t)f(t 2)? 6
10. forelesning 6.4 Differensialligninger med diskontinuerlig driv. 6.5 Dirac delta-funksjonen. Gå tilbake til eksemplet på resonans. Hva blir den resulterende svingningen (løsningen) hvis drivet forandres fra F (t) = 1 cos t til F (t) = (1 u π 9π/2(t)) 1 cos t? π Definer Dirac delta-funksjonen. Når u 2 (t) kan forstås som en bryter som er av for t < 2, og på for t 2, hva er det tilsvarende bildet for δ(t 2)? 11. forelesning 6.6 Konvolusjonsintegralet. 7.1 Innledning (System av 1. ordens lineære ligninger). Hva er et konvolusjonsintegral? Kan du gi en tolkning av det? Hvorfor er det av spesiell interesse i forbindelse med (invers) Laplace-transformasjon? En n te ordens differensialligning kan skrives som et system av hvor mange første ordens differensialligninger? Hvorfor? 7
Hva sikrer eksistens og entydighet for et første ordens system? Definer et - lineært/ikke-lineært - homogent/inhomogent system. På hvilke måter er eksistens- og entydighetsteoremet for et lineært system sterkere enn for et ikke-lineært? 12. forelesning 7.4 Grunnleggende teori for første ordens lineære system. Hva er det karakteristiske polynomet til en matrise? Hvordan finner du egenverdier og egenvektorer til en matrise? Hva forstås med et fundamentalt sett av løsninger og en generell løsning for første ordens lineære system? Hvilke likheter er det mellom et slikt system og en enkelt første ordens differensialligning (jmf. lineært uavhengige løsninger, generell løsning, Wronskien)? 13. forelesning 7.5 Homogene lineære system med konstante koeffisienter. Hvor kommer egenverdier og egenvektorer inn i forbindelse med løsning av homogene lineære system med konstante koeffisienter? Hva forstås med faseplan og -portrett? Definer et hermittisk system. 8
Hva kan du si om egenverdier og -vektorer for et slikt system? Hva er et sadelpunkt og en node i faseplanet? Hvilke tre tilfeller av egenverdier kan en ha for et ikke-hermittisk system? 14. forelesning 7.6 Komplekse egenverdier. Hvis et system har totalt to komplekse egenverdier, hva vet du om disse, og de tilhørende egenvektorene? Når en løsning er gitt ved to slike komplekse egenverdier og egenvektorer, hva blir løsningen på reell form? Hva er et spiralpunkt i faseplanet, og hva er et senter? 15. forelesning 7.7 Multiple egenverdier. Hva betyr det at en egenverdi har multiplisitet k? Hvordan finner man en løsning nummer to når en egenverdi med multiplisitet 2, og den tilhørende egenvektoren, er kjent? Hva er en uegentlig node? 9
16. forelesning 7.8 Fundmental matriser. Hva er en fundamental matrise? Hva er den spesielle fundamental matrisen? Hvorfor kan det være ønskelig å transformere koblede til ukoblede system? Hvordan gjøres det? Hva er matrise-eksponensialen? 17. forelesning 7.9 Inhomogene lineære system. Hvordan brukes metodene med ubestemte koeffisienter og variasjon av parametre for system av ligninger? 18. forelesning 9.1 Faseplanet: Lineære system. 10
Hva er et kritisk punkt? Hvilke typer kritiske punkt er det for et andre ordens lineært homogent system? Hvorfor kan ikke to ulike trajektorier i faseplanet krysse/tangere hverandre? Hvorfor må et andre ordens lineært homogent system, hvis kritiske punkt er en egentlig node, være ukoblet? 19. forelesning 9.2 Autonome system og stabilitet. Hva er en autonom ligning/et autonomt system? Hvorfor er det et godt navn? Gjør rede for definisjonen av stabilitet/instabilitet i dette avsnittet. 20. forelesning 9.3 Nesten-lineære system. Hva er et isolert kritisk punkt? Definer et nesten-lineært system. Hvordan kan et hvert kritisk punkt (x 0, y 0 ) transformeres til origo? Forklar sammenhengen mellom kritiske punkt og stabilitetsegenskaper for nesten lineære system relativt lineære system. 11
Hva er en separatrise? Hva er et tiltrekningsområde? 21. forelesning 9.4 Konkurrerende arter. Hva bestemmer stabile/ustabile bestander i en modell for konkurrerende arter? 22. forelesning 9.5 Rovdyr-byttedyr ligninger. Hva er forskjellen på rovdyr-byttedyr modellen i dette avsnittet og modellen for konkurrerende arter i forrige avsnitt? Sammenlign de matematiske uttrykkene og gjør rede for effektene og vekselvirkningene som er til stede mellom artene. La oss si at vi har som en modell som beskriver dynamikken mellom reve- og musebestand. Hva blir resultatet hvis en tillater intens revejakt i en periode der begge bestander er økende? 12
23. forelesning 10.1 Separasjonsmetoden; Varmeledning. Forklar hvorfor varmeligningen gir en rimelig beskrivelse av temperaturutvikling ved varmeledning. Hva er forskjellen på en initial- og en randbetingelse? Hvor mange betingelser av hver sort kreves for å løse en varmeligning? Hvorfor? Er varmeligningen lineær/ikke-lineær homogen/inhomogen? Hvilke to typer ordinære differensialligninger får en ved å bruke separasjonsmetoden på varmeligningen (som er en partiell differensialligning)? Hvilken form får generelt løsningen? Hva forstås med egenverdier og egenfunksjoner i den forbindelse? 24. forelesning 10.2 Fourier-rekker. Hva er den generelle formen til en Fourier-rekke? Hvorfor forutsetter en slik utvikling at funksjonen som skal representeres er periodisk? Definer indreprodukt og ortogonalitet. Hvordan bestemmes koeffisientene a 0, a 1,... og b 0, b 1,... i Fourier-rekken til en funksjon f(x) med periode 2L? 13
25. forelesning 10.3 Fourier konvergensteoremet. 10.4 Jamne og odde funksjoner. Definer stykkevis kontinuerlig. Hvorfor er konvergensteoremet fundamentalt når en representerer en løsning ved hjelp av en Fourier-rekke? Hva konvergerer Fourier-rekken til funksjonen f(x) mot i punkt der funksjonen er diskontinuerlig? Hva er Gibbs fenomen? Hva er en odde og hva er en jamn funksjon? Hvorfor er egenskapene odde/jamn av spesiell interesse i forbindelse med Fourier-rekker? Hva kan du si om en funksjon som er beskrevet ved en ren sinus- eller ren cosinus-rekke? 26. forelesning 10.5 Andre varmeledningsproblem. Hvorfor holder det ofte å ta med bare de par-tre første leddene i (den uendelige) Fourierrekken som representerer løsningen av et varmeledningsproblem? Hvordan kan en redusere et problem med inhomogene randverdier til et med homogene? Hvorfor svarer randbetingelsen u x (0, t) = 0 til at endepunktet x = 0 er isolert? 14
27. forelesning 10.6 Bølgeligningen. Forklar hvorfor bølgeligningen gir en rimelig beskrivelse av svingning av en elastisk streng. Hvor mange initial- og randbetingelser kreves for å løse en bølgeligning? Hvorfor? Er bølgeligningen lineær/ikke-lineær homogen/inhomogen? Hvilke to typer ordinære differensialligninger får en ved å bruke separasjonsmetoden på bølgeligningen (som er en partiell differensialligning)? Hvilken form får generelt løsningen? Hva er en naturlig frekvens, en naturlig mode og en bølgelengde? 28. forelesning 10.7 Laplace-ligningen. Hvorfor kan Laplace-ligningen (pålagt randkrav) sies å beskrive tidsuavhengige løsninger av varme- og bølgeligningen? Hva er et Dirichlet og et Neumann krav? Hvor mange randbetingelser kreves for å løse en Laplace ligning? Hvorfor? Og hvorfor snakker en ikke om initialbetingelser her (virkelig på siden av pensum)? Er Laplace ligningen lineær/ikke-lineær homogen/inhomogen? Hvilke to typer ordinære differensialligninger får en ved å bruke separasjonsmetoden på Laplace ligningen (som er en partiell differensialligning)? Hvilken form får generelt løsningen? 15