EMNE 4. Determinanter Gitt en kvadratisk matrise, A = ( n n ). determinant som angis som: Til alle kvadratiske matriser kan vi knytte en det Determinanten er i utgangspunktet bare en tallstørrelse (skalar), men vi kan gi den en fysisk tolkning i tilfelle ( 2 2 ) eller ( 3 3 ) matriser. For ( 2 2 ) matriser: det Jamfør kryssproduktet: Selv om det(a) er en skalar og n en vektor, er tallverdien den samme og tilsvarer arealet av parallellogrammet utspent av u og v. På samme vil for ( 3 3 ) matriser: det Sistnevnte produkt regnet vi ut i Vektoralgebra, del 1. Determinanten til en ( 3 3 ) matrise har altså samme verdi som volumet av parallellepipedet utspent av vektorene u, v og w 1
Beregne determinanter med cofaktormetoden Som nevnt: Determinanter kan knyttes til alle kvadratiske matriser. Om vi starter med A = ( n n ), men deretter stryker én rad og én kolonne sitter vi igjen med en kvadratisk undermatrise, (n 1) (n 1) Vi sier at denne matrisen har en underdeterminant (engelsk: minor), M ij. Eksempel: A ( 3 3) Om vi stryker f.eks. rad 2 og kolonne 1, sitter vi igjen med en (2 2) matrise og følgelig underdeterminanten: M Vi kan stryke hvilken som helst rad eller kolonne. Til hvert element a ij i A matrisen kan vi derfor knytte en tilhørende underdeterminant, M ij Cofaktorer, A ij A 1 M M, i j partall M, i j oddetall En cofaktor har altså samme absoluttverdi som tilsvarende underdeterminant, men fortegnet endres vekselvis, + /. Det betyr for eksempel at: A M, A M, A M Fortegnet er kanskje enklere å huske ut i fra sjakkmønsteret: 2
Sammenhengen mellom det(a) og cofaktorer er gitt som: det Hvor: i = vilkårlig valgt rad Alternativt: det Hvor: j = vilkårlig valgt kolonne Med andre ord: Vi har en kvadratisk matrise A. For å regne ut det(a) velger vi først ut en vilkårlig rad i ( eller kolonne j ). Hvert element i denne raden, { a i1, a i2, a i3,, a in }, multipliseres med tilhørende cofaktorer, { A i1, A i2, A i3,, A in }, og resultatet summeres. Om vi derimot kopler elementene i én rad eller kolonne med cofaktorene fra en annen rad/kolonne, blir resultatet alltid 0. Dvs.: 0, (Dette får vi også bruk for senere) 3
Talleksempel 1 A1 2 0 Det gir underdeterminantene og cofaktorene: M 1 2 0 2 4 0 0 8, A M 8 M 1 2 0 1 4 0 3 4, A M 4 M 1 2 0 1 0 2 3 6, A M 6 Videre: Og dermed: M 2 3 0 4 8, M 1 3 3 4 5, M 1 2 3 0 6 M 2 3 2 0 6, M 1 3 1 0 3, M 1 2 1 2 4 A 8, A 5, A 6, A 6, A 3, A 4 Vi behøver bare 3 cofaktorer for å bestemme det(a), men alle 9 når vi senere skal finne inversmatrisen A 1. For eksempel med utgangspunkt i rad 1: Eller ut i fra kolonne 2: det 1 82 43 62 det 2 42 50 32 Det er altså som tidligere nevnt vilkårlig hvilken rad eller kolonne vi tar utgangspunkt i. Derimot vil for eksempel elementene i rad 1 koplet med cofaktorene i rad 2 gi 0 som resultat: 1 8 2 53 60 4
Kommentar: Cofaktormetoden er forholdsvis enkel, men egner seg kun for små matriser eller når matrisen inneholder mange 0 elementer. Talleksempel 2 2 1 0 3 0 2 1 3 0 1 2 2 1 1 2 1 3 0 4 0 3 A 0 4 0 0 32 2 3 3 0 1 4 0 2 3 0 0 1 0 4 0 0 2 0 3 0 1 0 4 0 2 0 2 3 1 3 1 6 3 2 1 4 6 2 12 4 2 For litt større matriser kreves det alt for mye regnearbeid (selv for en datamaskin!). Det skyldes at en underdeterminant må splittes opp i stadig mindre enheter. Med for eksempel en ( 10 10 ) matrise må vi først finne 10 stykk underdeterminanter av størrelse ( 9 9 ). Hver av disse må så splittes opp i ( 8 8 ) størrelse, deretter ( 7 7 ), osv. Determinanten til triangulærmatrise: Dersom vi har en ( n n ) triangulærmatrise får vi: det Vi behøver altså bare gange sammen elementene på hoveddiagonalen. Dette følger naturlig av cofaktormetoden, f.eks: 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
Determinanten til et matriseprodukt: Dersom A og B begge er ( n n ) matriser vil: det det det Talleksempel 3 A 1 2 2 1, B 3 4 7 3 1 2 2 1 16 214 3 4 7 3 628 312 12 5 22 9 det A1 42 32, det B2 31 71 det det B 21 2 det 12 9 5 22 108 110 2 6
Adjungert ( engelsk: adjoint ) Gitt en kvadratisk matrise, f. eks. A Vi kan samle tilhørende cofaktorer i en matrise C: C Transponering av C gir den adjungerte av A, dvs.: Multipliserer vi A med adj(a) får vi: adja C A 0 0 1 0 0 0 A 0 0 1 0 0 0 A 0 0 1 Dette følger av likningene på side 3 Med andre ord: det Determinanten til dette igjen gir: det deta detdet Og dermed: det det 7
Finne inversmatrisen til A vha. cofaktormetoden Vi vet fra tidligere (EMNE 3. Matrisealgebra) at : å å : det : det det det : det Merk! Inversmatrisen eksisterer bare dersom det(a) 0 Talleksempel 4 Finn inversmatrisen til A 1 2 0 Vi har allerede funnet determinanten og alle cofaktorene til denne i talleksempel 1. 8 4 6 Dvs: det 2 C 8 5 6 6 3 4 Dermed: det det 1 8 8 6 4 4 3 2 4 5 32 6 6 4 3 3 2 1 Som eventuell kontrollregning finner vi at 1 1 8