REALNE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE. Neka je f() = ln 4e 3 e. Odredite a) f b) D(f) i R(f) c) Odredite min f, inf f, ma f, sup f. 2. Odredite prirodnu domenu funkcije f() = ln (3e e 3 ) + 5 log 5 +3 + ( cos (π)). 3. Neka je f() = ln 3e e +2. Odredite a) f b) D(f) i R(f) c) Odredite min f, inf f, ma f, sup f. 4. Odredite prirodnu domenu funkcije f() = 3 log 3 5 + ln (e3 2e ) + ( sin (π)). 5. a) Odredite domenu funkcije f() = ( + 4 ) +. b) Odredite sve asimptote grafa te funkcije. 6. a) Odredite domenu funkcije f() = ( + 3 ) +2. b) Odredite sve asimptote grafa te funkcije. 7. Ako je f() = ln (e + 2), odredite D(f), R(f), D (f ), R (f ). 8. Odredite prirodnu domenu funkcije f() = arcsin ln + tg (2π). 9. Ako je f() = 5 3 2, odredite inf f, min f, sup f, ma f. 0. Ako je f() = 3 5 2, odredite inf f, min f, sup f, ma f.. Ako je f() = e 3 2, odredite min f, inf f, ma f, sup f. 2. Odredite prirodnu domenu funkcije f() = (e 3) 3 + 3 ln 2 +. 3. Odredite min f, inf f, ma f, sup f, ako je f() = e 5 2. 4. Odredite prirodnu domenu funkcije f() = 5 ln 2+ + (e 2) 2. 5. Odredite prirodnu domenu funkcije f() = 4 log /5 log 5 + cos (π). 6. Ako je f() = 2+5, odredite D(f) R(f), D (f ), R (f ) 7. Odredite prirodnu domenu funkcije f() = sin (π) + 6 log /4 log 4. 8. Ako je f() = + 3+4, odredite D(f), R(f), D (f ), R (f ). 9. Neka je f() = 3 2 e 2. a) Odredite D(f), R(f). b) Odredite (ako postoje) min f, inf f, ma f, sup f. 20. Odredite D(f), ako je f() = log /3 log 3 log 9 ( + 2 ) + 5 (ako se može) f( ), f(0), f(3), f(7/2). 2. Odredite D(f), ako je f() = log /2 log 2 log 4 ( 2 + ) + 3 (ako se može) f( ), f(0), f(3), f(7/2). arccos 3 5 arcsin 3 4 + e / sin π. Izračunajte + e / cos π. Izračunajte 22. Neka je f() = 5 e 2 3. a) Odredite D(f), R(f). b) Odredite (ako postoje) min f, inf f, ma f, sup f.
2 GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE JEDNE VA- RIJABLE. Neka je f() = ( ) ctg (π). a) Izračunajte lim 3/2 f() b) Izračunajte lim 2 f() c) Izračunajte lim 3 f(). 2. Izračunajte a) k = lim 3 5 3 +3 2 +2 b) lim ( 3 53 + 3 2 + 2 k ). 3. Neka je f() = (2) tg (π). a) Izračunajte lim /4 f() b) Izračunajte lim /2 f() c) Izračunajte lim 3/2 f(). 4. Izračunajte a) k = lim 3 4 3 +2 2 +5 b) lim ( 3 43 + 2 2 + 5 k ). 5. Neka je f() = 6. Izračunajte a) lim /2 ( ) + 3 3 3 2 ++ 3. Izračunajte a) lim f() b) lim 8 f(). 4 2 ln ( 2 + 5/4) b) lim c) lim e 2 /2 2 + /4 /2 e 3 2 + 2/9 7. Izračunajte a) lim b) lim c) lim /3 9 2 /3 ln ( 2 + /9) /3 8. Neka je f() = 3 3 4 2 2 + /4 2 + 2/9 9 2 ( ) 4 4 4 3 ++ + 4. Izračunajte a) lim f() b) lim 6 f(). ln ( 2 + 5/4). e 2 e 3 ln ( 2 + /9). 3 DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJE JEDNE VA- RIJABLE. a) Skicirajte graf funkcije f() = (+) 2. b) Po definiciji derivacije izračunajte f (2). c) Tabličnim deriviranjem izračunajte f (2). d) Je li funkcija f u 0 = 2 rastuća ili padajuća? Obrazložite! 2. a) Skicirajte graf funkcije f() = (+2) 2. b) Po definiciji derivacije izračunajte f (). c) Tabličnim deriviranjem izračunajte f (). d) Je li funkcija f u 0 = rastuća ili padajuća? Obrazložite! 3. a) Skicirajte graf funkcije f() = ln (3 ). b) Izračunajte f () i f (). c) Izračunajte f() df() 2! d2 f() za = 0.2. d) Je li funkcija f za 0 = rastuća ili padajuća? Obrazložite! 4. a) Skicirajte graf funkcije f() = ln (4 ). b) Izračunajte f (2) i f (2). c) Izračunajte f(2) df(2) 2! d2 f(2) za = 0.3. d) Je li funkcija f za 0 = 2 rastuća ili padajuća?
5. a) Skicirajte graf funkcije f() = 3 e. b) Izračunajte f ( 2) i f ( 2). c) Je li funkcija f za 0 = 2 rastuća ili padajuća? Obrazložite? d) Nalazi li se graf funkcije f iznad ili ispod svoje tangente za 0 = 2? Obrazložite. e) Što je graf funkcije g() = f( 2) + f ( 2)( + 2) grafu funkcije f? 6. Neka je f() = 2+e. a) Odredite asimptote krivulje y = f (). b) Odredite u kojoj točki graf funkcije ima najveći pad, a gdje najveći rast? Kako zovemo tu točku? 7. a) Skicirajte graf funkcije f() = e 2. b) Izračunajte f ( 3) i f ( 3). c) Je li funkcija f za 0 = 3 rastuća ili padajuća? Obrazložite? d) Nalazi li se graf funkcije f iznad ili ispod svoje tangente za 0 = 3? Obrazložite. e) Što je graf funkcije g() = f( 3) + f ( 3)( + 3) grafu funkcije f? 8. a) Skicirajte graf funkcije f() = 4 2. b) Izračunajte f () i f (). c) Je li graf funkcije f za 0 = konkavan ili konveksan? Obrazložite! d) Je li funkcija f za 0 = padajuća ili rastuća? Obrazložite! 9. a) Skicirajte graf funkcije f() = 9 2. b) Izračunajte f (2) i f (2). c) Je li graf funkcije f za 0 = 2 konkavan ili konveksan? Obrazložite! d) Je li funkcija f za 0 = 2 padajuća ili rastuća? Obrazložite! 0. Po definiciji derivacije izračunajte f (3) ako je f() = 4 + 2 + 5.. Izračunajte f ( ), f ( ) ako je f() = + ln 2009. 3+2 2. Po definiciji derivacije izračunajte f (2) ako je f() = 5 + 3 + 4. 3. Izračunajte f ( 2), f ( 2) ako je f() = + arctg 2009. 2+5 4. Po definiciji derivacije izračunajte f (3) ako je f() = +. 5. Izračunajte f ( ), f ( ) ako je f() = 3 + 5 + 2008 2009. 6. Izračunajte f ( 2), f ( 2) ako je f() = 2 + 7 + 2009 2008. 7. Po definiciji derivacije izračunajte f (2) ako je f() = +3. 8. Po definiciji derivacije izračunajte f () ako je f() = (3 + ) 2. 9. Izračunajte f ( ), f ( ) ako je f() = ln (2 + 3) + log 2008 2009. 20. Po definiciji derivacije izračunajte f (2) ako je f() = (2 + ) 2. 2. Izračunajte f ( 2), f ( 2) ako je f() = ln (3 + 7) + log 2009 2008.
4 PRIMJENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA FUNK- CIJE JEDNE VARIJABLE. Odredite kvalitativni graf funkcije f() = ( + )e 3. 2. Odredite jednadžbe asimptota krivulje y = ( + ) ln ( + ) 2. Izračunajte y( 0 2 ), y( 2 0 2 ), y(0 2 ), y(0 2 ). 3. Izradujemo prozorski okvir prozora površine 4m 2 s dvije vertikalne prečke i jednom horizontalnom. Odredite omjer visine i širine prozora u izradu kojeg smo utrošili minimum materijala. 4. Odredite presječne točke krivulje y = 3 e 2 s koordinatnim Nalazi li se u tim točkama ta krivulja ispod ili iznad svojih tangenata? Odredite kutove koje ta krivulja zatvara s koordinatnim 5. Izračunajte površinu trokuta kojeg čine točka A(0, 3) i dirališta tangenata spuštenih iz točke A na krivulju y = 2. 6. Odredite jednadžbe asimptota krivulje y = ( + 2) ln ( + ) 3. Izračunajte y( 0 2 ), y( 3 0 2 ), y(0 2 ), y(0 2 ). 7. Izračunajte površinu trokuta kojeg čine točka A(0, 8) i dirališta tangenata spuštenih iz točke A na krivulju y = 2. 8. Odredite kvalitativni graf funkcije f() = ( + 3)e 2. 9. Izradujemo prozorski okvir prozora površine 6m 2 s jednom vertikalnom prečkom i dvije horizontalne. Odredite omjer visine i širine prozora u izradu kojeg smo utrošili minimum materijala. 0. Odredite presječne točke krivulje y = e 3 2 s koordinatnim Nalazi li se u tim točkama ta krivulja ispod ili iznad svojih tangenata? Odredite kutove koje ta krivulja zatvara s koordinatnim. Odredite kvalitativni graf funkcije f() = e 2 3e. Izračunajte f( 0), f(0). Što zaključujete? 2. U lik odreden krivuljama y = + 9, + y = 3, y = 0 upisujemo pravokutnike sa stranicama paralelnim koordinatnim Odredite omjer osnovice i visine pravokutnika najveće površine. 3. Odredite jednadžbe tangenata krivulje y = 3 4 paralelne sa sekantom te krivulje kroz točke A(0, y 0 ), B(3, y ). Da li se te tangente u svojim dirališnim točkama nalaze ispod ili iznad te krivulje?
4. Odredite kvalitativni graf funkcije f() = 5e e 2. Izračunajte f( 0), f(0). 5. U lik odreden krivuljama y = + 4, + y = 2, y = 0 upisujemo pravokutnike sa stranicama paralelnim koordinatnim Odredite omjer osnovice i visine pravokutnika najveće površine. 6. Odredite jednadžbe tangenata krivulje y = 3 2 paralelne sa sekantom te krivulje kroz točke A(0, y 0 ), B(2, y ). Da li se te tangente u svojim dirališnim točkama nalaze ispod ili iznad te krivulje? 7. Odredite kvalitativni graf funkcije f() = ( + ) 2 ln ( + ). 8. Odredite omjer stranica pravokutnika s stranicama paralelnim koordinatnim osima maksimalne površine upisanog u lik odreden krivuljama + y = 20, y = 3, y = 0. 9. Odredite kvalitativni graf funkcije f() = ( ) 2 ln ( ). 20. Odredite omjer stranica pravokutnika s stranicama paralelnim koordinatnim osima maksimalne površine upisanog u lik odreden krivuljama y = 2, + y = 30, y = 0. 2. Odredite b R za koji je sustav + 3 + 4 = 4, 2 + 3 + 4 = 2, + 2 + 3 = 3, + 2 + b 4 = 0 a) odreden b) neodreden c) nesuglasan. U slučaju kada je neodreden riješite ga. 22. Neka je f() = 3+e. a) Odredite asimptote krivulje y = f (). b) Odredite u kojoj točki graf funkcije ima najveći pad, a gdje najveći rast? Kako zovemo tu točku? 23. Izradujemo prozorske okvire s dvije vertikalne prečke za prozore površine 4m 2. Koliko puta je horizontalna stranica dulja od vertikalne stranice prozora ako izradujemo okvire uz minimalan utrošak materijala? 24. Neka je f() = ln 2 3 ln. a) Izračunajte f (0 0 ), f (0 0 ). b) Odredite kvalitativni graf funkcije f. 25. a) Korištenjem kalkulatora izračunajte 3 720. b) Korištenjem linearne aproksimacije izračunajte približnu vrijednost od 3 720. c) Korištenjem kvadratne aproksimacije izračunajte približnu vrijednost od 3 720. 26. a) Korištenjem kalkulatora izračunajte 3 500. b) Korištenjem linearne aproksimacije izračunajte približnu vrijednost od 3 500. c) Korištenjem kvadratne aproksimacije izračunajte približnu vrijednost od 3 500. 27. Izradujemo prozorske okvire s četiri vertikalne prečke za prozore površine 5m 2. Koliko puta je horizontalna stranica dulja od vertikalne stranice prozora ako izradujemo okvire uz minimalan utrošak materijala?
28. Neka je f() = 2 ln ln 2. a) Izračunajte f (0 0 ), f (0 0 ). b) Odredite kvalitativni graf funkcije f. 29. Odredite jednadžbu tangente na krivulju 2 + y 2 = 4 paralelnu s pravcem y = 2. 30. Odredite jednadžbu tangente na krivulju 2 + y 2 = 6 paralelnu s pravcem y =. 3. Odredite jednadžbu tangente na krivulju y = + koja prolazi točkom A(2, 8). 32. Odredite jednadžbu tangente na krivulju y = ( + ) koja prolazi točkom A(2, 9). 33. Izračunajte kutove (u stupnjevima i radijanima) koje krivulja y = ln (4 ) zatvara s koordinatnim 34. Odredite (globalne) ekstreme funkcije f() = 2 + na intervalu [0, 3]. 35. Koristeći linearnu aproksimaciju izračunajte približnu vrijednost od 3 720. 36. Koristeći linearnu aproksimaciju izračunajte približnu vrijednost od 4 620. 37. Izračunajte kutove (u stupnjevima i radijanima) koje krivulja y = 5 e zatvara s koordinatnim 38. Odredite (globalne) ekstreme funkcije f() = 3 +2 na intervalu [0, 2]. 39. Ima li krivulja y = ( + ) ln ( + 2 ) horizontalnih asimptota? 40. Izračunajte kutove izmedu krivulja 2 + y 2 = 4, =. 4. Koristeći kvadratnu aproksimaciju izračunajte sin.5. 42. Koristeći kvadratnu aproksimaciju izračunajte cos.5. 43. Ima li krivulja y = ( + 3) ln ( + ) horizontalnih asimptota? 44. Izračunajte kutove izmedu krivulja y 2 = 4, =. 45. Ima li krivulja y = ( + ) ln ( + ) vertikalnih asimptota? 46. Izračunajte kutove (u stupmjevima i radijanima) koje krivulja y = 2 zatvara s koordinatnim + 47. Odredite (globalne) ekstreme funkcije f() = e +2 na intervalu [0, ]. 48. Ima li krivulja y = ( + 3) ln (3 + ) vertikalnih asimptota? 49. Izračunajte kutove (u stupmjevima i radijanima) koje krivulja y = 3 zatvara s koordinatnim 50. Odredite (globalne) ekstreme funkcije f() = e + na intervalu [0, 2].