Gauss og konforme kartprojeksjoner Hvor kommer km-rutenettet på kartet fra? Harald Hanche-Olsen 12. januar 2004 Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10
En flat jord? Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 1
En konform avbildning Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 2
Gerardus Mercator (1512 1594) Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 3
Stereografisk projeksjon Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 4
Skrå stereografisk projeksjon Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 5
Ekvatoriell stereografisk projeksjon Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 6
Carl Friedrich Gauss (1777 1855) Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 7
Konforme avbildninger mellom flater ALS BEANTWORTUNG DER VON DER KÖNIGLICHEN SOCIETÄT DER WISSENSCHAFTEN IN COPENHAGEN FÜR MDCCCXXII AUFGEGEBNEN PREISFRAGE. (Werke, Vierter Band, 191 216.) Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 8
Lokale avstandsmål i flater Parametrisert flate i rommet: x, y, z gitte funksjoner av t, u. dx = a dt + a du dy = b dt + b du dz = c dt + c du Dette leder til et linje-element ds = q (aa + bb + cc)dt 2 + 2(aa + bb + cc )dt du + (a a + b b + c c )du 2 Kortere, og i moderne språkbruk: g = E dt 2 + 2F dt du + G du 2. (Riemann-metrikk, første fundamentalform.) Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 9
Isoterme koordinater Når er g = 0? Kun for dt = du = 0. Men om vi regner komplekst, blir det annerledes: Eg = E 2 dt 2 + 2EF dt du + EG du 2 = (E dt + F du) 2 + (EG F 2 ) du 2 = `E dt + (F + i p EG F 2 ) du `E dt + (F i p EG F 2 ) du Vi løser differensialligningen(e) E dt + (F ± i p EG F 2 ) du og finner en generell løsning p ± iq = konstant. [... ] und die Natur der Sache wird es mit sich bringen, dass (dp + i dq) (dp i dq) oder dp 2 + dq 2 ein Factor von g, oder g = n(dp 2 + dq 2 ) werden muss, [... ] Nullpunktene til et polynom bestemmer polynomet opp til en multiplikativ konstant. Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 10
Generelle konforme avbildninger To flater, parametrisert ved (t, u) og ( t, ũ); metrikker g, g, og isoterme koordinater (p, q) og ( p, q): En avbildning mellom flatene er konform dersom g = mg. Ekvivalent: d p 2 + d q 2 er et (variabelt) multiplum av dp 2 + dq 2. Alternativt: d p ± i d q er delbar med dp ± i dq eller d p ± i d q er delbar med dp i dq. I det første tilfellet: d p ± i d q = 0 når dp ± i dq = 0. Det vil si, p + i q er konstant der p + iq er konstant. Altså: hvor f er en vilkårlig [analytisk] funksjon. p + i q = f(p + iq), Hiedurch ist die vorgegebene Aufgabe ganz allgemein und vollständig aufgelöst. Kommentar: Når (p, q) er isoterme koordinater, er p + iq en konform avbildning til det komplekse plan. Og vi vet at de konforme avbildningene i det komplekse plan er presist de analytiske. Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 11
Eksempel: Kuleoverflate Vi ser på enhetssfæren. λ er lengdegrad, ϕ er breddegrad regnet fra nordpolen. x = cos λ sin ϕ, y = sin λ sin ϕ, z = cos ϕ, g = sin 2 ϕ dλ 2 + dϕ 2. Den ene av de to løsningene til g = 0 er gitt ved dλ i dϕ sin ϕ = 0. Løsningen blir λ + i ln cotg 1 2 ϕ = konstant. Alle konforme avbildninger av sfæren i planet er på formen z = x + iy = f(λ + i ln cotg 1 2 ϕ). Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 12
Eksempel: Kuleoverflate Alle konforme avbildninger av sfæren i planet er på formen z = x + iy = f(λ + i ln cotg 1 2 ϕ). Med f = identitetsavbildningen får vi Mercatorprojeksjonen λ + iq, q = ln cotg 1 2 ϕ. Med f(υ) = e iυ får vi stereografisk projeksjon exp`i(λ + i ln cotg 1 2 ϕ) = e iλ tg 1 2 ϕ. Men jorden er ingen kule. Den er flattrykt, med form som en rotasjonsellipsoide. Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 13
Litt geometri for en ellipsoide 1 ε 2 Ellipsoiden r 2 + z2 1 ε 2 = 1: r = sin ψ = ν sin ϕ ψ ϕ 1 z = p 1 ε 2 cos ψ = (1 ε 2 )ν cos ϕ ν = 1 1 ε 2 cos 2 ϕ. ψ kalles geosentrisk breddegrad. ϕ kalles geodetisk breddegrad, og er gitt ved vinkelen mellom den lokale vertikalen og polaksen (vanligvis ekvatorplanet). Det er den som brukes i praksis. 0 = r dr + z dz = ν(cos ϕ dr + sin ϕ dϕ) 1 ε2 p 1 ε2 tg ψ = tg ϕ Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 14
Eksempel: Ellipsoide x = cos λ sin ψ, y = sin λ sin ψ, z = p 1 ε 2 cos ψ, g = sin 2 ψ dλ 2 + (1 ε 2 sin 2 ψ) dψ 2. Den ene av de to løsningene til g = 0 er gitt ved p 1 ε2 sin 2 ψ dλ = i dψ sin ψ = i 1 ε 2 (1 ε 2 cos 2 ϕ) sin ϕ dϕ Løsningen blir 1 ε cos ϕ ε/2 «λ + i ln cotg 1 2 ϕ 1 + ε cos ϕ = konstant. Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 15
Eksempel: Ellipsoide Alle konforme avbildninger av ellipsoiden i planet er på formen z = x + iy = f 1 ε cos ϕ ε/2 «! λ + i ln cotg 1 2 ϕ. 1 + ε cos ϕ Med f = identitetsavbildningen får vi Mercatorprojeksjonen λ + i ln cotg 1 2 ϕ 1 ε cos ϕ 1 + ε cos ϕ ε/2 «. Med f(υ) = e iυ får vi stereografisk projeksjon 1 ε cos ϕ ε/2. e iλ tg 1 2 ϕ 1 + ε cos ϕ Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 16
Transversal Mercator Vi kan uttrykke buelengden langs en meridian på ellipsoiden ved s(ϕ) = (1 ε 2 ) Z π/2 ϕ dϕ (1 ε 2 cos 2 ϕ) 3/2. s er et elliptisk integral, og har en naturlig analytisk utvidelse. Vi skriver opp Mercatorprojeksjonen på ny: m(λ, ϕ) = λ + iµ(ϕ), µ(ϕ) = ln Vi kan også oppfatte µ som en analytisk funksjon. cotg 1 2 ϕ 1 ε cos ϕ 1 + ε cos ϕ ε/2 «. Den transversale mercatorprojeksjonen basert på nullmeridianen kan nå skrives som is µ 1` im(λ, ϕ) = is µ 1`µ(ϕ) iλ. Den er en sammensetning av konforme avbildninger, og er således konform. For λ = 0 reduseres den til is(ϕ), så nullmeridianen avbildes på den imaginære aksen, og buelengden er bevart. Dette sammen med konformiteten karakteriserer den transversale Mercatorprojeksjonen. Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 17
Litt historikk Carl Friedrich Gauss, Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodaesie. Erste Abhandlung (1843). (Transversal Mercator på ellipsoiden?) Louis Krüger, to arbeider 1912 og 1922: Gjør denne projeksjonen mer praktisk tilgjengelig. Norges geografiske oppmåling har brukt transversal Mercator under navnet Gauss Krüger, med åtte forskjellige sentermeridianer for forskjellige deler av landet (NGO1948). Disse koordinatene er fortsatt i bruk i mange eldre kartdata. Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 18
UTM: Universal Transverse Mercator Brukes over hele jordkloden unntatt i polområdene. 60 UTM-soner dekker 6 hver, starter ved datolinjen. Vi befinner oss i sone 32, som går fra 6 øst til 12 øst, og med sentermeridian 9 øst. Projeksjonen skaleres med en faktor 0.9996 langs nullmeridianen. Skalafaktoren blir omtrent 1.0004 i ytterkantene av UTM-sonen. Den første koordinaten kalles easting. Den skulle vært null på nullmeridianen, men man legger til 500 km for å unngå negative tall. Den andre koordinaten kalles northing. Den er null på ekvator, og vokser mot nord. For sørlige halvkule legger man til 10 000 km. Min GPS-mottager gir denne posisjonen for hotellet: 32 V 0538131 6846789. Det er sone 32; V-en angir en ytterligere sone i en inndeling som går i nord-sør-retning, men denne informasjonen er redundant. Easting er 0538131, så vi er rundt 38 131 meter øst for nullmeridianen. Om denne målingen hadde vært gjort på nullmeridianen, var vi 6 846 789/0.996 meter nord for ekvator. Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 19
Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 20
MGRS Military Grid Reference System Dette er en alternativ notasjon for UTM. Hver UTM-sone deles inn i kvadrater med sidekant 100 km. Hver undersone tildeles en tobokstavskode etter et nokså komplisert system. Vi befinner oss her: 32 V NP 38131 46789 Det vil si, i MGRS-sone NP, 38131 m fra vestre kant og 46789 m fra sydkanten. Dette er de siste fem sifrene i easting og northing fra UTM-koordinatene. MGRS lar en oppgi posisjoner med presijon på 1 m (som over), eller 10 m, 100 m etc., ved å trunkere like mange siffer fra easting og northing: 32 V NP 381 468 ville passe bra om vi hadde lest av posisjonen fra kartet. Siden easting og northing alltid har like mange siffer, er det trygt å slå alt sammen til 32V NP381468. Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 21
WGS-84 World Geodetic System 1984 WGS-84 er et eksempel på et datum: En referanse-ellipsoide som kartdata forholder seg til. Bruk av feil datum kan lett føre til posisjonsfeil på flere hundre meter. Alle nyere norske kart er laget etter WGS-84. Ekvatorradius (store halvakse): a = 6 378 137.0 m. Flattrykningen f = 1 1 ε 2 = 1/298.257223563. Polradien er b = (1 f)a = 6 356 752.3 m. (Og nullmeridianen er nå nesten 100 m øst for sin opprinnelige posisjon i Greenwich.) Gauss / Ski og matematikk 2004 01 10 22