Sammensetningen av to funksjoner. Gitt mengdene A, B og C. La f og g være funksjonene der g: A -> B f: B -> C Da kan vi lage sammensetningen h av f og g. Den betegnes som h = f g (lese som «f ring g»). Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f Eksempel. La A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3} og C = {x, y} La g: A-> B være definert ved g(a) = 2, g(b) = 3, g(c) = 1. 1
La f: B -> C være definert ved: f(1) = x, f(2) = y, f(3) = x. La h = f g. Vi får: h(a) = f(g(a)) = f(2) = y h(b) = f(g(b)) = f(3) = x h(c) = f(g(c)) = f(1) = x Inverse funksjoner: La f: A - > B. Den inverse funksjonen til f er den funksjonen g: B -> A som er slik at g(f(a)) = a. Den inverse funksjonen betegnes med f -1. Eksempel. A = {a, b, c, d } og B = {1, 2, 3, 4} 2
La f være definert ved: f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 1, f(d) = 3. Den inverse funksjonen g til f er gitt ved g(1) = c, g(2) = a, g(3) = d, g(4) = b. Vi ser også at f er den inverse funksjonen til g. f(g(2)) = f(a) = 2 Mer om funksjoner En generell funksjon er på formen f: A B. Hvis både A og B er tallmengder, kaller vi f for en tallfunksjon. Følgende tallfunksjoner vil en kunne få bruk for i ulike datafag: 3
De to nederste funksjonene i tabellen er avrundingsfunksjoner. Funksjonen tak (eng. ceiling) La x være et desimaltall, dvs. x R. Funksjonen f: R Z (R er de reelle tallene og Z er de hele tallene) lik f(x) = x, er definert som avrundingen av x oppover til nærmeste heltall. Hvis x er et heltall så er x = x Symbolet kalles for tak (eng. ceiling). Eksempler. La f(x) = x. Da blir f(3,14) = 3,14 = 4 f(0,0001) = 0,0001 = 1 f(-1,1) = 1,1 = -1 f(-3) = 3 = -3 4
I Java har vi en tilsvarende funksjon: NB! I Java blir resultatet egentlig ikke et heltall, men et desimaltall der desimalene er «tatt vekk». Funksjonen gulv (eng. floor) Funksjonen f: R Z lik f(x) = x, er definert som avrundingen av x nedover til nærmeste heltall. Hvis x er et heltall så er x = x. Eksempler La f(x) = x. Da blir f(3,14) = 3,14 = 3 f(0,0001) = 0,0001 = 0 f(-1,1) = 1,1 = -2 f(-3) = 3 = -3 Grafen til en funksjon. Gitt funksjonen f: A B. Grafen til f er den delmengden 1 av AxB som er gitt ved G f = { (a,b) a A, b = f(a) }. 2 Grafen er med andre ord en mengde av par. Dette kan også illustreres ved et koordinatsystem. 1 G f AxB. 2 Husk: AxB = { (a, b) a A og b B} 5
Eksempel. La A = {a, b, c, d, e} og B = {1, 2, 3} La f være definert ved f(a) = 3, f(b) = 1, f(c) = 2, f(d) = 3. Koordinatsystem: Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen 0 (også kalt nr. 0 eller indeks 0). 3 Tallene i en følge kalles ledd. (eng. term) En generell endelig følge kan settes opp slik: 3 Enkelte ganger er det mer aktuelt å si at det første tallet har posisjonen/indeks/nr 1. 6
Denne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik: En følge kan også skrives opp på kortform: {a n }, n 0 eller eventuelt {a n }, n 1 Andre bokstaver enn n kan også brukes. Eksempler. OBS! La alle a n være tall fra en tallmengde S. Da kan følgen {a n }, n 0 sees på som en funksjon f: N S (fra de naturlige tallene til S) der f(n) = a n. Geometriske følger. En geometrisk følge er en følge der forholdet (brøken) mellom et vilkårlig ledd og det foregående er en konstant. Hvis a n er det generelle leddet, betyr det at a n /a n-1 er en konstant for alle n 1. Eksempel 1. Gitt følgen 1, 2, 4, 8, 16, Vi ser at 7
Siden forholdet mellom et tall og det foregående tallet i følgen er en konstant, er dette en geometrisk følge. Eksempel 2. Gitt følgen Vi ser at Følgelig er dette en geometrisk følge. Eksempel 3. Gitt følgen 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, Vi ser at Siden vi i får forskjellige svar er forholdet mellom leddene ikke en konstant og følgen er derfor ikke en geometrisk følge. Generell formel. Det generelle leddet a n i en geometrisk følge er alltid på formen 8
a n = ar n, n 0 Forelesningsnotat i Diskret matematikk, torsdag 22. september 2016 Her er a det første leddet i følgen. (dvs. a 0 = a) og r det faste forholdet mellom et ledd og det foregående leddet, dvs. r = a n /a n+1, n 1 Eksempler La a = 1 og r = 2. Da blir a n = 2 n, og vi får følgen 1, 2, 4, 8, 16, 32, La a = 2 og r = 3. Da blir a n = 2 3 n og vi får følgen 2, 6, 18, 54, La a = 3 og r = -2. Da blir a n = 3 (-2) n. Det gir følgen 3, -6, 12, -24, 4 Aritmetiske følger. En følge kalles en aritmetisk følge hvis differensen mellom et vilkårlig ledd og det foregående leddet er en konstant. Det betyr at hvis a n er det generelle leddet, så er a n a n+1 fast for alle n 1. Avstanden mellom leddene er konstant. Eksempel 1 Gitt følgen 2, 4, 6, 8, 10,. (partallene) Vi ser at 4 2 = 2, 6 4 = 2, 8 6 = 2 osv. Siden differensen er den samme er dette en aritmetisk følge. Generell formel. 4 NB! Når fortegnet til leddene i følgen skifter mellom positiv og negativ annenhver gang er må r være negativ! 9
Det generelle leddet an i en aritmetisk følge har formen: a n = a + dn, n 0 Her er a det første leddet (dvs. a 0 = a) og d den faste differensen mellom et ledd og det foregående leddet. d = a n a n-1, n 1 I eksempelet over (følgen 2, 4, 6, 8, 10,.) er a = 2 og d = 2. Dermed blir a n = 2 + 2n. Eksempel 2. La a = 5 og d = 3. Da blir a n = 5 + 3n og vi får den aritmetiske følgen 5, 8, 11, 14, 17, 20,. Differensligninger. En spesiell type følger får vi ved hjelp av en differensligning (eng. reccurence relation) Da kan f.eks. an være gitt slik: a n = 2a n-1 + 3a n-2, a 0 = 1, a 1 = 2 Dermed kan vi bestemme leddene I følgen: a 2 = 2 2 + 3 1 = 7, a 3 = 2 7 + 3 2 = 20, osv. Slike følger skal vi studere nærmere i kapittel 8. Det er mange typer følger som er av interesse i ulike datafag. Det er aritmetiske følger, geometriske følger og andre typer følger. Her er noen av de viktigste: 10
11