UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Underveiseksamen i : BIO2150 Biostatistikk og studiedesign Eksamensdag: 8. oktober 2014 Tid for eksamen: kl. 10:00 13:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 16 sider Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Ingen Kandidatnummer: Oppgavene er flervalgsoppgaver hvor det skal krysses av for korrekt svar eller påstand. I noen tilfeller er flere svar korrekte. Det skal da krysses av for det alternativet som spesifiserer hvilke svar som er riktige. Det skal aldri krysses av for mer enn ett svaralternativ på hvert spørsmål. Alle oppgavene teller likt. Det blir ikke trukket for feil svar. Etter at du har besvart oppgavene, må de valgte svaralternativene overføres til den første siden av oppgavesettet (denne siden). Sjekk nøye at du krysser av riktig på svararket. Bare dette svararket (side 1-2) skal innleveres. Resten av oppgavesettet tar du med etter endt eksamen, slik at du kan sammenlikne dine svar med fasiten. Denne blir lagt ut på Fronter etter eksamensavslutning. Oppgave 1: Oppgave 8: Oppgave 2: Oppgave 9: Oppgave 3: Oppgave 10: Oppgave 4: Oppgave 11: Oppgave 5: Oppgave 12: Oppgave 6: Oppgave 13: Oppgave 7: Oppgave 14: 1

Oppgave 15: Oppgave 23: Oppgave 16: Oppgave 24: Oppgave 17: Oppgave 25: Oppgave 18: Oppgave 26: Oppgave 19: Oppgave 27: Oppgave 20: Oppgave 28: Oppgave 21: Oppgave 29: Oppgave 22: Oppgave 30: 2

1. Du har laget en variabel x med n=100 tall fra standard normalfordeling, x <- rnorm(n), som du sorterer fra de minste til de største, xs <- sort(x). Deretter lager du to plot: plot(1:n/n, xs) #A plot(xs, 1:n/n) #B Figur A og B viser det samme som du kunne ha laget med et plot av henholdsvis følgende to R- funksjoner: a) A: qnorm() og B: dnorm() b) A: qnorm() og B: rnorm() c) A: qf() og B: qchisq() d) A: qnorm() og B: pnorm() e) A: pnorm() og B: qt() 2. Du har følgende to mengder A = (2, 4, 6, 8, 10, 11) og B = (3, 6, 8, 9, 11, 12). Hva vil mengden A union B ( ), samt A snitt B ( ) innholde? a) = (2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12) og ( ) = (6, 8, 11) b) = (2, 4, 6, 8, 10, 12) og ( ) = (3, 6, 9, 11) c) d = (6, 8, 11) og ( ) = (2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12) d) d = (2, 3, 4, 6, 8, 9) og ( ) = (6, 8, 9, 10, 11, 12) e) = (6, 8, 11) og ( ) = (0) 3. Du kaster dartpiler på en blink og måler treffpunktene som (x,y)- koordinater i et aksesystem med origo midt i blinken. Etter å ha regnet om til standard normalfordeling bruker du pythagoras 3

setning og bestemmer den kvadrerte avstanden, r 2, fra origo til treffpunktet for alle kastene.. Et histogram av r 2 med en tilhørende teoretisk sannsynlighetstetthet (heltrukken linje) er vist på figuren nedenfor. Fra hvilken statistisk fordeling er denne sannsynlighetstettheten? a) F-fordelingen b) Students t-fordeling c) Poisson-fordelingen d) Binomial fordelingen e) Kjikvadratfordelingen 4. Volumet (V) av en kule med radius r er gitt ved formelen. Hvis man lager et plot av ln(v) på y-aksen og ln(r) på x-aksen blir dette en rett linje, men hva blir stigningstallet (slope, stigningskoeffisient) og skjæringspunktet (intercept) for denne linjen? a) Skjæringspunkt :3 og stigningstall: b) Skjæringspunkt: ( ) og stigningstall: 3 c) Skjæringspunkt: π og stigningstall: r 3 d) Skjæringspunkt: og stigningstall: π e) Skjæringspunkt: ln(π) og intercept: ln(3) 5. I et undersøkelse om cirkadiske rytmer og faseskift hos mennesker gjengitt læreboka får man følgende ANOVA-tabell: 4

Analysis of Variance Table Response: shift Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) treatment 2 7.2 A C 0.0044 ** Residuals 19 9.4 B Hvilke verdier finner du for A, B og C i tabellen? a) A: 3.6 B: 0.49 C: 7.3 b) A: 14.4 B: 178.6 C: 0.11 c) A: 16.6 B: 2.2 C: 14.4 d) A: 4.7 B: 0.379 C: 0.0022 e) A: 18.8 B: 3.6 C: 7.3 6. Du sammenligner F-verdien i tabellen fra oppgave 5 med den kritiske verdien for F-fordelingen. Hvilke tre parametere er det som bestemmer den kritiske F-verdien? a) λ, β, og 1-α b) α, β og df c) α, df 1 og df 2 d) α, μ og σ e) α, β og 1- α 7. Hva er definisjonen på en Type I feil i hypotesetesting? a) Feile i å forkaste en falsk nullhypotese, med signifikansnivå α for sannsynligheten å begå en Type I feil. b) Forkaste en sann nullhypotese, med signifikansnivå α for sannsynligheten å begå en Type I feil. c) Beholde en sann nullhypotese, med signifikansnivå β for sannsynligheten å begå en Type II feil. d) Beholde den sanne nullhypotesen og forkaste den alternative hypotesen med Type I feil og teststyrke 1-β. 5

e) Feil bruk av teststyrke 1-β i bestemmelse av antall frihetsgrader ved beregning av gjennomsnitt og varians. 8. Du har et normalfordelt datasett med x-verdier (x) med gjennomsnittsverdi mean(x) = 6 og standardavvik sd(x) = 0.5 (histogram A på figuren). Du ønsker å regne om x-verdiene til en standard normalfordeling med nye x-verdier (z-skår), vist som histogram B på figuren. Hvilken kommando i R vil du benytte for å finne de nye x-verdiene (z) som inngår i histogram B? a) z <-(x - mean(x)) b) z <- (x + mean(x))/sd(x) c) z <-(x - mean(x))/sd(x) d) z <- x - sqrt(sd(x)) e) z <- (x - var(x))/sd(x) 9. Fra figuren i oppgave 8 ser man at både toppen på histogram B har blitt lavere og bredden har blitt større sammenlignet med histogram A. Dette skyldes at a) histogram B er satt sammen av færre stolper i histogrammet (angitt ved,breaks= ) enn histogram A. b) standardavviket = 0.5 for histogram A og standardavvik = 1 for histogram B 6

c) ved omregningen vil gjennomsnittsverdien forflytte seg til 0, og siden gjennomsnittet inngår i formelen for standard normalfordeling vil histogrammet endre form. d) bredden på stolpene er større i histogram B enn i histogram A e) y-aksen har måleenhet «Density» i stedet for «Frequency». Hadde man brukt sistnevnte måleenhet så ville de ha blitt like. 10. Vi har 4 histogram med tilhørende QQ-plot. Hvilket histogram (A D) hører sammen med hvilket QQ-plot (1 4)? 7

a) A-2; B-1; C-4; D-3 b) A-3; B-2; C-1; D-4 c) A-4; B-3; C-1; D-2 d) A-2; B-3; C-1; D-4 e) A-1; B-4; C-2; D-3 11. Hva kalles frekvensfordelingen for histogram C i oppgave 10? 8

a) Bimodal b) Uniform c) Klokkeformet d) Skjev («skew») e) Uniform 12. Mode, gjennomsnittsverdi (mean) og medianverdi (median) blir brukt til å beskrive sentraltendensen i en frekvensfordeling. Hva blir rekkefølgen av mode, mean og median for de tre frekvensfordelingene i histogram A, B og D i oppgave 10? a) A:mode > median = mean; B: mode > mean > mean; D:median < mean >mode b) A:mode > median = mean; B: median < mode < mean; D:median < mean >mode c) A:mode = median = mean; B: mode < median < mean; D:mean < median <mode d) A:mode = median = mean; B: mean < mode = median; D:median < mean >mode e) A:mode <median = mean; B: median = mode < mean; D:median < mean =mode 13. I et eksempel i læreboka ble løpshastigheten til hannedderkopper i slekten Tidarren målt før en pedipalpe ble fjernet. Hastighetene (cm/s) i sortert rekkefølge var: 1.25 1.64 1.91 2.31 2.37 2.38 2.84 2.87 2.93 2.94 2.98 3.00 3.09 3.22 3.41 3.55 Hva blir verdien for første kvartil (1st Qu), median og tredje kvartil (3rd Qu) for disse tallene? a) 1st Qu= 2.31; median=2.87; 3rd Qu=3.02 b) 1st Qu= 2.36; median=2.90; 3rd Qu=3.02 c) 1st Qu= 2.37; median=2.93; 3rd Qu=3.02 d) 1st Qu= 2.36; median=2.86; 3rd Qu=3.00 e) 1st Qu= 2.31; median=2.87; 3rd Qu=3.02 9

14. En dihybrid krysning med Mendels erter ga følgende antall fenotyper: Form Farge Rund Rynket Gul 315 101 Grønn 108 32 Dataene er presentert i følgende plot: Hva kalles denne type plot? a) Stolpediagram b) Histogram c) Søylediagram d) Kakediagram e) Mosaikkplott 15. Det ikke-parametriske alternativet til å bruke en to-utvalgs t-test for å sammenligne to grupper kalles a) Tukey-Kramer test b) Kruskal Wallis test c) Sign test d) Mann-Whitney U-test e) Bonferroni 16. Hvilke metoder kan anvendes i statistisk analyse av følgende kombinasjoner av kontinuerlige eller kategoriske (diskrete) variable 10

Uavhengig variabel Avhengig variabel Kontinuerlig Kategorisk (diskret) Kontinuerlig A B Kategorisk (diskret) C D a) A:ANOVA ; B:Logistisk regresjon; C: Kontingenstabell, D:Regresjon b) A:Regresjon; B:Kontingenstabell; C: Logistisk regresjon, D:ANOVA c) A:Logistisk regresjon; B:ANOVA; C: Regresjon, D:Kontingenstabell d) A:Regresjon; B:ANOVA; C: Logistisk regresjon, D:Kontingenstabell e) A:Kontingetabell; B:Regresjon ; C: Logistisk regresjon, D:ANOVA 17. Du ønsker å simulere sum av to terninger i n = 10000 kast, og lagrer dette i objektet sum.to.kast ved å skrive følgende R-kommando: sum.to.kast <- replicate(n,?) Hva skal det stå ved?? a) sum(sample(1:6,2)) b) sum(sample(1:6,2, replace = TRUE)) c) apply(sum(2),1:6)) d) sum(sample(2,1:6, replace = TRUE)) e) tapply(sum(1:6, 2, replace = TRUE) 18. Du velger ut mange tilfeldige prøver fra en populasjon som har den skjeve sannsynlighetsfordelingen (positiv skew) vist i figur A. Hvis du regner gjennomsnitt av hvert av disse utvalgene fra denne skjeve fordelingen og lager et histogram av dem får du en fordeling som vist i figur B og som viser seg å følge en fordeling som vist i figur B. Hva skyldes dette fenomenet? 11

a) Sentralgrenseteoremet b) Regresjon mot gjennomsnittet c) Binomialfordelingen d) Nullhypotesen e) Alternativ hypotese 19. Du gjør et eksperiment hvor du måler skuddlengden (variabelnavn lengde med måleenhet cm) av 6 forskjellige hvetesorter, variabelnavn type med kategoriene W1-W6, samlet som kolonner datasettet w. I analysen av eksperimentet lager du en lineær modell og får følgende koeffisienttabell modell <- lm(lengde ~ type, data = w) summary(modell) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 11.1909 0.2908 38.489 < 2e-16 *** typew2 0.2818 0.4112 0.685 0.4958 typew3 0.8182 0.4112 1.990 0.0512. typew4 1.7818 0.4112 4.333 5.69e-05 *** typew5 9.1727 0.4112 22.308 < 2e-16 *** typew6 4.8000 0.4112 11.673 < 2e-16 *** Hvorfor finner du ikke hvetesort W1 i tabellen? a) W1 inneholder mange NA verdier b) W1 er nullhypotesen c) Det er gjort en type I feil 12

d) Verdien β for type I feil er > 0.2 e) Den brukes som referanse 20. I eksperimentet du har utført i oppgave 19 lager du en nullmodell: nullmodell <- lm(lengde ~ 1, data = w) summary (nullmodell) og får følgende utskrift av koeffisienttabellen: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 14.0000 0.4201 33.33 <2e-16 *** Hvilken verdi representerer estimatet av (Intercept)? a) Varians (Var(X)) av alle skuddlengdene b) Gjennomsnittslengde av skuddene for hvetetype W1 c) Stormiddeltallet («grand mean»), gjennomsnittet av alle skuddlengdene i forsøket d) Standardavviket til alle skuddlengdene e) Standardfeilen til alle skuddlengdene 21. Hvilket av følgende utsagn beskriver en sann relasjon mellom en standard normalfordeling og en t-fordeling med n = 8 frihetsgrader? a) Normalfordelingen har forventning 0 mens t-fordelingen har forventning n-1 b) Forskjellen mellom fordelingene øker med antall frihetsgrader (n) c) Standard normalfordeling er bare et annet navn på t-fordeling d) Normalfordelingen har større varians enn t-fordelingen e) Normalfordelingen har mindre varians enn t-fordelingen 22. I hvilket tilfelle ville du heller bruke en test basert på standard normalfordeling (z-test) enn en basert på t-fordelingen (t-test) for å undersøke en hypotese om forventningen til en populasjon? a) Hvis forventningen til populasjonen er ukjent b) Hvis variansen til populasjonen er kjent 13

c) Hvis populasjonen ikke er normalfordelt d) Hvis utvalgsstørrelsen er mindre enn 10 e) Hvis gjennomsnittet er større enn standardavviket 23. En undersøkelse for 10 år siden fant at det var gjennomsnittlig 4.8 egg per rødstrupereir i et skogområde. Du har nå gjort en undersøkelse for å teste hypotesen om at kullstørrelsen for rødstrupe har gått ned i dette området ved å telle antall egg i 20 tilfeldig utvalgte reir. Hva slags statistisk test vil du bruke for å teste hypotesen? a) Z-test med kjent varians b) Parret to-utvalgs t-test c) To-utvalgs t-test med ulik varians (Welch t-test) d) To-utvalgs t-test med felles varians e) Ett-utvalgs ensidig t-test 24. En kontinuerlig stokastisk variabel x har en triangulær sannsynlighetstetthet som vist på figuren under. Hva er sannsynligheten for at x > 1 (Pr(x > 1))? a) 0.25 b) 1 c) 0 d) 0.75 e) 0.5 14

25. Du vil undersøke sammenhengen mellom alder og lengde for en fiskeart. Uheldigvis kjenner du bare denne informasjonen for to individer av arten (n = 2). Hvilke størrelser kan du ikke beregne ut fra denne informasjonen? a) Total kvadratsum b) Korrelasjonskoeffisient og residual kvadratsum c) Konfidensintervallet for stigningstallet d) Middelverdi av lengde e) Korrelasjonskoeffisient og stigningstall 26. Det er 3 barn i rommet, med alder 3, 4, og 5 år. Hva skjer når det i tillegg kommer enda en 4- åring inn i rommet? a) Gjennomsnittsalderen øker men standardavviket blir uforandret b) Både gjennomsnittsalder og standardavvik øker c) Standardavviket øker men gjennomsnittet blir uforandret d) Standardavviket avtar men gjennomsnittet blir uforandret e) Både gjennomsnitt og standardavvik blir uforandret 27. Hvis signifikanssannsynligheten for en lineær regresjon basert på et utvalg med to kontinuerlige variable er mindre enn 0.001, er det da naturlig å slutte at: a) Sammenhengen mellom disse to variablene er viktig b) Det er en sammenheng mellom disse to variablene i populasjonen c) Sammenhengen i utvalget er framkommet ved ren tilfeldighet d) De to variablene er ikke relatert når vi ser på hele populasjonen e) Et utvalg kan aldri si noe om den underliggende populasjonen 28. Når man har gjort en lineær regresjon y = a + b x kan man bruke regresjonslikningen til å: a) Identifiserte utliggere (outliers) i den uavhengige variabelen (x) b) Estimere et konfidensintervall for den uavhengige variabelen (x) c) Avgjøre om en endring i y fører til en endring i x 15

d) Finne interkvartilavstanden til y e) Estimere hvor mye y endres i gjennomsnitt når x øker med 1 enhet 29. Hvilke av de følgende egenskaper kan lede deg til å slutte at et utvalg fra en stokastisk variabel ikke er normalfordelt? a) Variasjonsbredden er større enn interkvartilavstanden b) Gjennomsnittet er lik 0 c) Variasjonsbredden er 5 ganger større enn standardavviket d) Gjennomsnittet er mye større enn medianen e) Variansen er større enn gjennomsnittet 30. I en lineær regresjonsmodell er den totale (middelverdisentrerte) variasjonen SST = 200 og den residuale variasjonen SSE = 50. Hvor stor andel av den totale variasjonen forklares av modellen? a) R 2 = (200 50) / 200 = 0.75 b) R 2 = 50 / 200 = 0.25 c) R 2 = (50 / 200) 2 = 0.0625 d) R 2 = sqrt((200 50) / 200 ) = 0.866 e) R 2 = ((200 50) / 200) 1 = -0.25 16