Plasticity Theory 6 YILD CRITRIA Introduction hva er flytekriterium? lastisk deformasjon t belastet legeme går tilbake til original konfigurasjon All spenning forårsaker elastisk tøyning Plastisk deformasjon t bestemt spenningsnivå må nås for åoppnåplastisk deformasjon flytespenning Flytekriterium Matematisk uttrykk for spenningstilstander som vil forårsake flyt = begynnelse av plastisk deformasjon Det finnes mange flytekriterier, de fleste er empiriske formler AR 6
Plasticity Theory 6 Traction vectors y, e y σ y t y yx yz xy Traction vectors t z zy xz σ z zx tx σ x x, e x σx yx zx tx = xy ; ty = y ; σ tz = zy xz yz σz z, e z Moment equilibrium xy =yx, xz =zx, yz =zy Stress tensor The stress tensor in the Cartesian coordinate system (x, y, z) T t x σx xy xz T σ = t y = yx σy yz T tz zx zy σz or owing to symmetry σx xy xz σ = xy σy yz xz yz σz 4 AR 6
Plasticity Theory 6 Principal stresses Three orthogonal planes, defined by unit normal vectors (n, n, n ), can always be found through a particle where the shear stresses vanish. The normal stresses on these planes are called principal stresses. (hovedspenninger) The stress tensor expressed in the coordinate system (x*, y*, z*), defined by the base vectors (n, n, n ) reads σ σ = σ σ y*, n σ σ where σ σ σ. σ x*, n z*, n 5 xtreme values of stress The principal stresses are extreme values of the normal stresses σ max =σ, σ min =σ Maximum shear stresses act on planes bisecting (halverer) the angles between the principal planes. The maximum shear stress is given in terms of the extreme values of the normal stresses by y*, n σ max = ( σmax σmin ) max σ σ z*, n x*, n 6 AR 6
Plasticity Theory 6 Hydrostatic stress In a hydrostatic stress state (hydrostatisk spenningstilstand), the stress tensor reads σm σ = m σ σ m y σ m where the mean stress σ m is defined by σ m σ = m ( ) ( x y z) σ +σ +σ = σ +σ +σ x σ m z Note: The mean stress σ m is independent of the choice of the coordinate system; it is always the arithmetic mean of the normal stresses 7 Deviatoric stress The deviatoric stress tensor is defined by σx σm xy xz σ = σ σ mi = yx σy σm yz zx zy σz σm while the principal deviatoric stresses are defined by σ =σ σm σ =σ σm σ =σ σm 8 AR 6
Plasticity Theory 6 Hooke s law () lasticity Fundamental assumptions Isotropic material lastic material Reversible deformations Path-independent response xistence of a strain energy density Small deformations Proportionality between stress and strain σ= ε for uniaxial loading 9 Hooke s law () Tøyning i en retning er avhengig av spenninger i tre retninger General form of Hooke s law Normal strains and stresses ν ε = σ σ +σ ε = σ ν σ +σ ε = σ ν σ +σ ( ν( )) x x y z ( ( )) y y z x ( ( )) z z x y Strain Stress, σ x ε x = σ x / - ε y = - ε z = νσ x / se Irgens ε = ε y x Shear strains and stresses xy yz zx γ xy =, γ yz =, γ zx = ; G = G G G (+ ν) AR 6
Plasticity Theory 6 Hooke s law () Hooke s lov for hovedretninger ε = σ ν σ +σ ε = σ ν σ +σ ε = σ ν σ +σ ( ( )) ( ( )) ( ( )) Hooke s lov for hydrostatiske spenningstilstander V dv V ε = = ln( ) =ε +ε +ε V V V V = ( σ( ν ) +σ( ν ) +σ( ν) ) ( ν) σ ( ) m = σ +σ +σ = ; K = K ( ν) Hooke s law (4) På samme måte som vi har deviatoriske spenninger, kan vi sette opp uttrykk for deviatoriske tøyninger Hooke s law uttrykt ved deviatoriske spenninger og tøyninger εv ( + ν) σ ε =ε = σ = G εv ( +ν) σ ε =ε = σ = G εv ( +ν) σ ε =ε = σ = G Bemerkning Hydrostatiske spenninger gir utvidelse (volumforandring) av det elastiske materialet Deviatoriske spenninger fører til geometriforandring av det elastiske materialet, men ingen volumforandring, da σ +σ +σ = AR 6
Plasticity Theory 6 Strain energy density () Tøyningsenergi-tetthet er lik den elastiske energien lagret i materialet pr volumenhet U = ( σε +σε +σε) eller uttrykt ved hovedspenninger (ved bruk av U Hooke s lov) U = ( ) σ +σ +σ ν σσ +σ σ +σ σ Strain, ε Dilatation (utvidelse) energy σ ν U ( ) K 6 hyd m = σmε V = = σ +σ +σ Distortion (deformasjon) energy dev hyd U = U U +ν = σ +σ +σ σσ σ σ σ σ Uniaxial stress, σ Mean stress, σ m hyd U Volume strain, ε V Yield criteria for metals Grunnleggende antakelser (for de fleste duktile metaller) Isotropisk materiale Ingen innflytelse av hydrostatisk spenning Ren spenningstilstand Superponert på eksisterende tilstand Ingen Bauschinger effekt Samme flytespenning i strekk og trykk Disse restriksjonene betyr at de følgende kriteriene ikke er universalt akseptable for alle legemer/last betingelser To viktige flytekriterier Max-skjærspennings kriterium (eller Tresca kriterium) Deformasjonsenergi kriterium (eller von Mises kriterium) 4 AR 6
Plasticity Theory 6 Tresca criterion Flytekriteriet antar at flyt inntreffer når max skjærspenning når verdien av skjærspenning ved flyt i en enakset strekk test Max skjærspenning er gitt ved σ σ max = I enakset strekk test, max skjærspenning ved flyt er ( σ =σ, σ =σ = ) Y max = σ Y Følgelig, max skjærspenning kriteriet kan skrives σ σ =σy 5 von Mises criterion () Flyt i en fleraksiell spenningstilstand inntreffer når deformasjonstøyningsenergien når verdien ved flyt i enakset strekk dev + ν +ν σ >, σ =σ = ( U ) = σ Y = σy For generell spenningstilstand er von Mises flytekriterium definert ved +ν +ν = σ +σ +σ σσ σ σ σ σ = σ ( U ) ( ) dev Y Y σ +σ +σ σσ σσ σσ =σy eller ( σ σ ) +σ ( σ ) +σ σ ( ) = σ Y På mer generell form kan von Mises flytekriterium skrives som ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) + 6( + + ) = σ x y y z z x xy yz zx Y 6 AR 6
Plasticity Theory 6 von Mises criterion () I plan spenningstilstand, definert ved σ z = zx = yz =, reduseres von Mises kriterium til σ +σ σ σ + =σ x y x y xy Y Bemerkning Denne formen av von Mises brukes i skallanalyse hvor plan spenning er antatt. 7 Tresca vs. von Mises yield loci σ Plane stress: σ σ Y -σ Y σ Y σ -σ Y von Mises Tresca 8 AR 6
Plasticity Theory 6 ffective stress 9 Alternativ tolkning ~ flyt inntreffer når effektivspenningen blir lik flytespenningen ved enakset strekk σ =σ e Y hvor von Mises effektivspenning er definert ved σ = e ( x y) ( y z) ( z x) 6( xy yz zx) σ σ + σ σ + σ σ + + + eller ved hovedspenninger σ = e ( ) ( ) ( ) σ σ + σ σ + σ σ nakset strekk σ >, σ =σ = For enakset strekk er effektivspenningen lik sann spenning σ = e ( ) ( ) ( ) σ σ + σ σ + σ σ =σ Bemerkning tter necking/innsnøring i enakset strekk er spenningstilstanden ikke lenger enakset på grunn av hydrostatiske strekkspenninger i innsnøringen, og effektivspenningen er ikke lik sann lengdespenning (kfr. Bridgman analyse). High exponent, isotropic yield criterion () t generalisert isotropisk flytekriterium foreslått av Hersey (954) og Hosford (97) ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) = σ k k k k Y hvor k er en integer som bestemmer kurvaturen på flyteflata. ffektiv spenning k k k k σ = ( ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ) =σ e Y Bemerkning k = von Mises flytekriterium k Tresca s flytekriterium AR 6
Plasticity Theory 6 High exponent, isotropic yield criterion () Barlat & Richmond [987] Bibliography Barlat, F., Richmond, O., 987. Prediction of Tricomponent Plane Stress Yield Surfaces and Associated Flow and Failure Behavior of Strongly Textured F.C.C. Polycrystalline Sheets. Materials Science and ngineering 95, 5-9. Dieter, G.., 988. Mechanical Metallurgy. McGraw Hill, Singapore. Hershey, A.V., 954. The Plasticity of an Isotropic Aggregate of Anisotropic Face-Centered Cubic Crystals. Journal of Applied Mechanics, Transactions ASM, 4-49. Hosford, W.F., 97. A generalized isotropic yield criterion. Journal of Applied Mechanics, Transactions ASM 9, 67-69. Irgens, F., 99. Fasthetslære 4. utgave. Tapir, Khan, A.S., Huang, S., 995. Continuum Theory of Plasticity. John Wiley & Sons Inc., New York. AR 6