Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Ny rammeplan for ingeniørfag Sannsynlighetsregning og statistikk: fra 5 til 10sp Overgangsordning: begge kursene blir forelest Undervisningen er felles i ukene fom. 2 tom. 10 Forelesningene i ÅMA110 er ferdige innen uke 10 Studenter på BMF100 har forelesninger videre i tiden fram til uke 17. Eksamen i begge kursene blir i ordinær eksamenstid (ca. mai); eksamen i ÅMA110 og BMF100 på samme dag (noen felles oppgaver). ÅMA110/BMF100, vår 2012 Prakstisk informasjon, s. 1
Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 2 Praktisk om kurset Foreleser og faglig ansvarlig: Bjørn H. Auestad (kontor: E-536). Undervisningstider: Mandager kl 08.15-10.00, rom G-001, forelesning. Mandager kl 10.15-12.00*, regneøvinger (ARs hus). Mandager kl 12.15-13.00, rom G-001, forelesning. Oppstart uke 3. Regneøvingene: Oppgaver til mandag 16/1 er lagt ut (its:learning). Jobb med dem fram til mandag. På forelesningen om morgenen 16/1, vil det bli gitt nærmere beskjed om lokaler mm. i forbindelse med gruppeøvingen. (Det er ingen påmelding til grupper eller inndeling i grupper dette ordner dere selv.) Obligatoriske aktiviteter To obligatoriske innleveringer. Begge må være bestått for å få adgang til avsluttende skriftlig eksamen. Nærmere informasjon, bl.a. tidspunkt, kommer seinere. ÅMA110/BMF100, vår 2012 Prakstisk informasjon, s. 2
Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 3 Pensum, ÅMA110: Pensumbok: Gunnar G. Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler, 2. utg.; Pensum: kp. 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Pensum, BMF100: Pensumbok: Gunnar G. Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler, Pensum: kp. 1 10. (Nærmere presisering reduksjon kommer seinere.) Opplegg for kurset (kan variere etter type kurs) Organisert undervisning Forelesning Felles regneøvinger / oppgavegjennomgang Eget arbeid med emnet Lese pensumlitteratur Arbeide med øvingsoppgaver Etterarbeid etter forelesning Tenke sjekke om teorien er forstått!... ÅMA110/BMF100, vår 2012 Prakstisk informasjon, s. 3
Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 4 SPØRSMÅL om... All informasjon blir gitt på it s learning / nett. Øvingsoppgaver, ev. løsninger datafiler, illustrasjoner, o.l. Resultater av obligatoriske tester gamle eksamensoppgaver, gamle obl.oppgaver,... forelesningsnotater... Faglige spørsmål på e-post er vanligvis ikke effektivt! Spørsmål om it s learning (teknisk), timeplaner, oppmelding, osv. (administrativt) rettes til fakultetsadm. / IT-kontoret. Streaming, opptak Forelesningene vil bli streamet, og opptak tilgjengelige også i ettertid. Informasjon fra NettOp/UiS om dette (med link til opptakene) nnes på its:learning. Alle spørsmål i forbindelse med dette må rettes til: Arne Thomas Nilsen NettOp/UiS (+47 51831046 / +47 97019331; epost: arne.t.nilsen@uis.no) ÅMA110/BMF100, vår 2012 Prakstisk informasjon, s. 4
Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 5 Oversikt over delene i pensumboken Kp. 16; ÅMA110-delen kp. 1: Bakgrunnssto; Hva er statistikk?... kp. 2: Beskrivende statistikk grask, numerisk litt om bruk av datamaskin kp. 3: Sannsynlghtesteori: grunnleggende begrep og denisjoner; sannsynlighetsregning kp. 4: Sannsynlghtesteori: sannsynlighetsfordelinger, tilfeldige (stokastiske) variable kp. 5: Sannsynlghtesteori: noen sentrale sannsynlighetsfordelinger kp. 6: Grunnleggende statistikk (Statistisk inferens): estimering, kon- densintervall go hypotesetesting. I dag: kp. 2: Beskrivende statistikk ÅMA110/BMF100, vår 2012 Prakstisk informasjon, s. 5
Beskrivende statistikk Grask beskrivelse, s. 6 kp. 2: Beskrivende statistikk Situasjon: Vi har et datasett og vil ha informasjon om egenskapene til dataene. Eksempel: Desembertemperaturen på Sola i årene 1957,..., 2006 (n=50 målinger). Desembertemp. i 2006: 7.2 Normal : 2.2 (gjennomsnitt for 1961-1990) Beskrivende statistikk er metoder for å få informasjon om egenskaper til datasett. Hvordan er 7.2 i forhold til normal variasjon? (Hva er normaltemperatur lik 2.2?) Hva er minimum hva er maksimum?... Grafiske- ognumeriske metoder ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grask beskrivelse, s. 6
Beskrivende statistikk Grask beskrivelse, s. 7 Graske beskrivelser Tidsrekkediagram Histogram,... Prikkdiagram Relativfrekvenshistogram areal = relativfrekvens høyde av søyle = rel.frk./bredde Tidsrekkediagram ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grask beskrivelse, s. 7
Beskrivende statistikk Grask beskrivelse, s. 8 Histogram klasser frekvenser (-6,-2]: 1 (-2, 0]: 4 ( 0, 2]: 15 (2, 4]: 18 (4, 6]: 11 (6, 8]: 1 13 Relativfrekvenshistogram klasser frekvenser relativfrekvens (-6,-2]: 1 1/50 (-2, 0]: 4 4/50 ( 0, 2]: 15 15/50 (2, 4]: 18 18/50 (4, 6]: 11 11/50 (6, 8]: 1 1/50 areal = relativfrekvens => høyde av søyle = rel.frk. / bredde Gir visuelt bedre framstilling ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grask beskrivelse, s. 8
Beskrivende statistikk Grask beskrivelse, s. 9 Prikkdiagram ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grask beskrivelse, s. 9
Beskrivende statistikk Numerisk beskrivelse, s. 10 Numeriske beskrivelser (numeriske mål) Sentrumsmål (beliggenhetsmål): gjennomsnitt empirisk median empirisk prosentil (Q 1 og Q 3 : nedre- og øvre kvartil) Notasjon generelt: n data: x 1, x 2,..., x n Gjennomsnitt 1 x x n 1 x 2 x n x 1 50 2.8 1.6 7.2 2. 49 Viser: typisk verdi, beliggenhet på tallinjen, sentrum i datafordelingen, normalverdi,... ÅMA110/BMF100, vår 2012 Numerisk beskrivelse, s. 10
Beskrivende statistikk Numerisk beskrivelse, s. 11 Median: Den verdien der 50% av målingene er mindre og 50% er større. Temperaturdata (n=50): (2.7+2.8)/2 = 2.75 ÅMA110/BMF100, vår 2012 Numerisk beskrivelse, s. 11
Beskrivende statistikk Numerisk beskrivelse, s. 12 Første kvartil, Q 1 : Den verdien der 25% av målingene er mindre og 75% er større. Temperaturdata: 1.4 Tredje kvartil, Q 3 : Den verdien der 75% av målingene er mindre og 25% er større. Temperaturdata: 4.0 ÅMA110/BMF100, vår 2012 Numerisk beskrivelse, s. 12
Beskrivende statistikk Numerisk beskrivelse, s. 13 Spredningsmål Svært viktig å ta hensyn til i praksis! variasjonsbredde største - minste = 7.2 - (-4.1) = 11.3 kvartilbredde (kvartilavvik, kvartildieranse,...) Q 3 Q 1 = 4.0 1.4 = 2.6 empirisk varians, empirisk standardavvik oftest brukt; deneres nedfor Empirisk varians (utvalgsvarians): s 2 = = 1 n (x i x) 2 n 1 i=1 1 n 1 {(x 1 x) 2 + (x 2 x) 2 + + (x n x) 2 } For temperaturdataene: s 2 = 1 49 {(2.8 2.49)2 + (1.6 2.49) 2 + + (7.2 2.49) 2 } ÅMA110/BMF100, vår 2012 Numerisk beskrivelse, s. 13
Beskrivende statistikk Numerisk beskrivelse, s. 14 Empirisk standardavvik, s: s = s 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2 For temperaturdataene: s = 4.49 = 2.12 EXCEL-demo; (010111-TE199-Demo-beskrivende.xls) ÅMA110/BMF100, vår 2012 Numerisk beskrivelse, s. 14
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 15 Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallene av et stokastisk forsøk Utfallsrom: samling av alle mulige utfall Eks.: et terningkast; utfallsrommet kan bestå av de seks enkeltutfallene 1, 2, 3, 4, 5, og 6 (Andre utfallsrom er mulige) Sannsynligheten for et utfall Utafallsrom: S = {e 1, e 2,...} Sannsynligheten for utfallet e: P (e) Vi denerer: 0 P (e) 1, og P (e 1 ) + P (e 2 ) + = 1 Hvert utfall har en sannsynlighet, kjent eller ukjent Summen av alle sannsynligheter i utfallsrommet er lik 1 Tilordningen av sannsynlighet baseres på bl.a. erfaring og egenskaper ved det stokastiske forsøket God/realistisk tilordning: overensstemmelse mellom relativfrekvenser og sannsynligheter ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 15
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 16 Sannsynlighet og relativfrekvens La n være antall gjentakelser av et stokastisk forsøk (f.eks. n kast med en terning) La n e være antall ganger utfallet e forkommer blant de n forøkene (f.eks. antall seksere blant alle de n kastene) Relativfrekvensen til e, er forholdet mellom n e og n: n e n EXCEL-simulering (010116-TE199-Demo-relativfrk) Sannsynlighetsmodell Utfallsrommet med sannsynligheter tilordnet alle enkeltutfall, kalles en sannsynlighetsmodell. Uniform sannsynlighetsmodell: For et stokastisk forsøk med k (endelig) antall utfall, der alle utfall har like stor mulighet for å inntree, deneres sannsynligheten til å være den samme for alle utfallene, 1 k. Denne modellen kalles en uniform sannsynlighetsmodell. k: antall mulige Eks. 1: kast med pengestykke; {mynt, kron} Eks. 2: kast med terning; {1, 2, 3, 4, 5, 6} ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 16
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 17 Eks. 3: trekke en rekke i LOTTO (7 av tallene 1, 2,..., 34); k = 5379616 Uniform modell? (JA!) Sannsynligheten for en bestemt rekke: P(en bestemt rekke trekkes) = 1/ 5 379 616 = 0.0000002 Eks. 4: kast med to terninger; betrakter summen av resultatene med de to terningene: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, (k = 11) P(sum = 7) = 1/11, (v/uniform sannsynlighetsmodell)......... Uniform modell 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Virkeligheten 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 17
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 18 Blå: uniform; rød: virkeligheten 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Nytt forslag til utfallsrom: { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1),..., (2,6),... (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }; k=36 (f.eks. betyr (3,5): rød terning=3 og blå terning=5) Her er alle utfall like mulige!! (=> uniform modell) ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 18
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 19 Hendelser, begivenheter Sannsynlighetsteorien er matematisk formulert. Utfallsrom, utfall og hendelser (begivenheter) beskrives med mengdelære fra matematikken. En hendelse representeres ved en samling av de utfallene som beskriver hendelsen. Eks : minst fem: { 5, 6 } partall: { 2, 4, 6 } Generelt: En hendelse, A, representeres ved en delmengde av utfallsrommet, S. (A S). Vi sier at en hendelse, A, inntreer dersom et av utfallene som A består av, inntreer. Sannsynligheten for A = P (A) = summen av sannsynlighetene til enkeltutfallene i A. Eksempel: Terningkast; A = minst fem = {5, 6} P (A) = P ({5, 6}) = P ({5}) + P ({6}) = 1 6 + 1 6 = 2 6 = 1 3 ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 19
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 20 Generelle formuleringer og implikasjoner: P (A) = e A P (e) 0 P (A) 1 P (S) = 1 (Obs.: Hele utfallsrommet, S, er en hendelse. Den inntreer ALLTID siden vi har at den består av alle mulige utfall, S = {e 1, e 2,...}, og vi har denert at summen av sannsynlighetene for alle utfallene skal være 1.) Operasjoner med hendelser Vi har ofte behov for å utrykke og nne sannsynligheten for sammensatte hendelser; A eller B, A eller B eller C, B og C, osv. Snitt, union og komplement fra mengdelæren brukes. ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 20
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 21 Referanseeks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). { KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM } = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } A: kron minst to ganger, B: mynt i første Da: A = {e 1, e 2, e 3, e 4 } og A = {e 4, e 6, e 7, e 8 } Venndiagram A e 4 B e 5 Veldig nyttig hjelpemiddel i en del situasjoner. ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 21
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 22 Union Operasjon: Skrivemåte: Inntreer Unionen mellom A og B A B A eller B (eller begge) inntreer A e 4 B e 5 Snitt Operasjon: Skrivemåte: Inntreer Snittet mellom A og B A B, AB A og B inntreer A e 4 B e 5 ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 22
Sannsynlighetsteori Grunnleggende denisjoner, s. 23 Komplement Operasjon: Skrivemåte: Inntreer Komplementet til A A C, A A ikke inntreer A A C Disjunkte hendelser To begivenheter sies å være disjunkte hvis og bare hvis begivenhetene ikke kan inntree samtidig. Disjunkte mengder har ingen felles element. C D C ÅMA110/BMF100, vår 2012 Grunnleggende denisjoner, s. 23
Sannsynlighetsteori Regneregler for sannsynlighet, s. 24 Regneregler for sannsynlighet 1. Komplementsetningen: P (A) = 1 P (A) A A C og P (S) = 1, og A A = S. Da, siden P (A A) = P (S) = 1 og P (A A) = P (A) + P (A), får vi at P (A A) = 1. 2. Addisjonssetningen (generell): P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) A B ÅMA110/BMF100, vår 2012 Regneregler for sannsynlighet, s. 24
Sannsynlighetsteori Regneregler for sannsynlighet, s. 25 Er addisjonssetningen gyldig for to disjunkte begivenheter? P( C D) P( C) P( D) P( C D) C D Oppgave: P( A) 1P( A) P( AB) P( A) P( B) P( AB) Tokomponentsystem, parallellkoplet System ok når minst en av komponentene er ok. Antaat: P(Aok) 0.9 P(Bok) og P(begge ok) a) Hva er sannsynligheten for at systemet er ok? A B 0.85 b) Hva er sannsynligheten for at ingen av komponentene er ok? ÅMA110/BMF100, vår 2012 Regneregler for sannsynlighet, s. 25
Sannsynlighetsteori Regneregler for sannsynlighet, s. 26 Regneregler og denisjoner oppsummert P (A) = e A P (e) Komplementsetningen: P (A) = 1 P (A) Addisjonssetningen: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Disjunkt hendelser: C D = ϕ (den tomme mengden); C og D har ingen felles element/utfall. ÅMA110/BMF100, vår 2012 Regneregler for sannsynlighet, s. 26