Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys- Kvantemekanikk Dato: 7. juni 16 Klokkeslett: 9: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Rottman - Matematisk formelsamling Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Linje 11 Marius Kadek Telefon/mobil: 4 95 158 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen Postboks 65 Langnes, N-937 Tromsø / 77 64 4 / postmottak@uit.no / uit.no
UNVERSTETET Eksamen i Fys- kvantemekanikk Vår 16 V Viktig bemerkning: Alle oppgaver har eksplisitt numerisk poeng. Sammenlagt er det 1 poeng. Endelig evalueringen skal regnes ut av maksimum 1 poeng. Det vil si, studenter som samler mer enn 1 poeng da blir evalueringen for dem basert på 1 poeng. De andre blir evaluert etter faktiske samlet poeng. Oppgave 1 Oppgave 1.1 Kvantemekanisk harmonisk oscillator (KHO) 19p Det kan vises at KHOs Hamiltonoperatoren er: [( β H = hω X i P ) ( X + i P ) + 1β ] mω mω β = mω h ω = K m a = β ( X + i P ) mω a = β ( X i P ) mω (1.1.1) karakteristisk bølgetall (1.1.) resonansfrekvens (1.1.3) nedgående operator (1.1.4) oppgående operator (1.1.5) N = a a tall operator (1.1.6) (i p) Vis: H = hω (N + 1 ) (1.1.7) (ii p) Med utgangspunkt i tidsuavhengig Schrödingers likningen (energi egenverdiproblemet) og felles egenketene n av H og N H n = E n n (1.1.8) N n = n n (1.1.9) vis at energi egenverdiene er: E n = hω (n + 1 ) (1.1.1) Det kan vises at n er ikke-negativ heltall n og at: a n = C n n 1 (1.1.11) a n = C n+1 n + 1 (1.1.1) (iii p) Bruk ortonormaliserings betingelsen n m = δ nm for å vise at normaliseringskonstantene er: C n = n (1.1.13) C n+1 = n + 1 (1.1.14) Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.1 of 1
UNVERSTETET [Hint: Form n a a n med bruk av begge sider av (1.1.11) og tilsvarende for det andre tilfellet]. (iv p) Med bruk av forrige oppgavedel vis: [a, a ] = 1 (1.1.15) Betingelsene E og H fører til n =, 1,,..., dvs heltall n. Neste oppgaven er å finne egenketene n eller egenfunksjonene x n. For å unngå forvirring definerer vi ϕ n = n, ϕ n (x) = x n (1.1.16) H ϕ n = hω (n + 1 ) ϕ n (1.1.17) E = 1 hω (1.1.18) E n = E + n hω (1.1.19) (v p) klassisk fysikk kan energien av en oscillator være null. Forklar hvorfor grunnenergien av en kvantemekanisk oscillator kan aldri være null, dvs oscillator kan aldri være i ro. Med bruk av dimensjonsløse mengder (vi 3p) Vis at de to første bølgefunksjonene er ϵ = βx, β = mω h (1.1.) a = 1 (ϵ + ϵ ) (1.1.1) a = 1 (ϵ ϵ ) (1.1.) ϕ = π 1/4 e ϵ / ϕ 1 = π 1/4 ϵ e ϵ / (1.1.3) (1.1.4) (vii p) Vis at en klassik oscillator med samme grunnenergi og frekvens som en KM oscillator har vendepunkter ved Gi en fysiske tolkning av dette resultatet. ϵ = ±1 (1.1.5) ( ) 1/ h x = ± = ± 1 (1.1.6) mω β (viii p) Bruk (1.1.4) og (1.1.5) for å vise: X = 1 β (a + a ) (1.1.7) P = i hβ (a a ) (1.1.8) Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p. of 1
UNVERSTETET (ix p) Bruk (1.1.7) for en oscillator i grunntilstand for å vise at V = T (1.1.9) PE = KE = 1 E (1.1.3) der potensiell energi operator er V = 1 KX og K er fjærkonstanten. PE er potensiell energi og KE er kinetiskenergi. Det er tilstrekkelig at en av de to er beregnet på besvarelsen. [Hint: Bruk (1.1.7), (1.1.8)]. Oppgave 1. Kvantemekanisk harmonisk oscillator (KHO) og superposisjon av tilstander 18p [NB: På ingen av disse oppgavedelene er det nødvendig å erstatte egenbølgefunksjonene med deres eksplisitt former (1.1.3) og (1.1.4)] Anta at en KHO er i superposisjonstilstand med bølgefunksjon ved t = : ψ(x, ) = 1 [ϕ (x) + i ϕ 1 (x)] (1..1) (i p) Hva er sannsynlighet P (E 1 ) for å måle E 1? (ii p) Vis at sannsynlighetstettheten Pd(x, ) av posisjon ved t = er Pd(x, ) = 1 [ ϕ (x) + ϕ 1 (x) ] (1..) (iii p) Hvilken er tilstanden ψ(x, t) ved t >? (iv 3p) Vis at sannsynlighetstettheten Pd(x, t) av posisjon ved t > er Pd(x, t) = Pd(x, ) + ϕ (x)ϕ 1 (x) sin(ω 1 ω )t (1..3) Hva er uttrykkene for ω og ω 1 som funksjon av E og E 1? (v p) Hva er sannsynlighetene P (E, t) og P (E 1, t)? (vi p) Beregn H ved t = og ved t >. (vii p) For egentilstander vis at: for alltid. [Hint: Kortest vei er å bruke (1.1.7) og (1.1.8)]. X = P = (1..4) Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.3 of 1
UNVERSTETET (viii 3p) For egentilstander vis at: En av de to er tilstrekkelig for besvarelsen. Hva er X P? der betyr standardavvik. X = 1 (n + 1) β (1..5) P = β h (n + 1) (1..6) Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.4 of 1
UNVERSTETET Oppgave Oppgave.1 Kvantemekanikens postulatene p (i 5p) Nevn minst fem ikke-klassiske vigtige begreper som inngår i Kvantemekaniske postulatene. (ii 1p) Beskriv Kvantemekaniske postulatene. Postulatene skal være nummerert med en logisk rekkefølge. Bruk Diracs notasjon for alle utsagn. Antall postulater er ikke viktig. Hensikten er å formidle alle begrepene på beste måten [på litteraturen finnes det 4, 5, 6 postulater]. (iii 5p) llustrer innholdet av hver postulat med tilsvarende uttrykk eller ligning eller begrep fra løsningen av den kvantemekaniske harmoniske oscillatoren. Oppgave. Schrödingers katt 15p (i 5p) Beskriv kortfattet hva Schrödingers katt er; (ii 3p) Hvilken hoved kvantemekaniske begreper illustrerer kattanalogien? Basis ketene av en kvantekatt er: levende og død (..1) (iii p) Hvilke er en naturlig representasjon av de to tilstandene (..1) som kolonne vektorer? (vi 3p) En operator K som gir kattstilstanden i samme representasjon som i del (iii) har matrise: ( ) 1 K 1 (..) Hvilken er de mulige resultatene av å måle K? (v p) Katten befinner seg i tilstanden: Hva er middelverdi av K? katt = 3 5 levende + 4 død. (..3) 5 Oppgave.3 Matematiske tekniker i Kvantemekanikk med Diracs notasjon p (i 5p) Ensemble middelverdien av en observable Q er Med utgangspunkt i (.3.1) utled det alternative uttrykket: Q = ψ Q ψ (.3.1) Q = i q ip (q i ) (.3.) der q i er et komplett sett av observables egenverdiene, ψ er tilstandsketen og P (q i ) sannsynlighetene at verdi q i blir observert. [Hint: Kortest vei er å bruke identitets oppløsningen Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.5 of 1
UNVERSTETET (resolution of the identity) som innebærer en summe, mens en mer opplagt vei innebærer to summer]. (ii p) Gitt at A og B er Hermite sk operatorer, vis at i[a, B] er en Hermite sk operator. (iii p) Det er gitt at to operatorer C og D har et felles komplett sett av egenketer. Vis at [ ] C, D = (.3.3) Hva er den fysiske betydningen av (.3.3)? (iv 1p) Hva slags mengder er følgende uttrykker (skalarer, vektorer, operatorer, katter)? der ϕ og ψ er kvantemekaniske tilstander : x ψ, ϕ ψ, ϕ X ψ, x P ψ, p ψ, k ψ Matrisene av observablene X og P er hendholdsvis: dentitesoppløsning: x X x = xδ(x x ) (.3.4) x P x = i h d dx δ(x x ) = i h d dx δ(x x ) (.3.5) = x x dx = p p dp = k k dk (.3.6) Moment p og bølgetall k egenketer i posisjonsrepresentasjonen er: x p = 1 e ī h px, p = hk, x k = 1 e ikx (.3.7) π h π For bølgefunkjsoner ϕ(x) og ψ(x) gjelder det: [ ] d [ ] d dx ϕ(x) ψ(x) dx = ϕ(x) dx ψ(x) dx (.3.8) Ligninger (.3.4) (.3.8) er nyttig for de neste to opgavedelene (v) og (vi). (v p) ϕ og ψ er tilstander av et 1-dimensjons kvantemekanisk system. Skriv ned følgende uttrykker i posisjonsrepresentasjoner: (a) x ψ (b) ϕ ψ (vi 5p) Skriv ned følgende uttrykker i posisjonsrepresentasjoner: (c) ϕ X ψ (d) x P ψ (vii 3p) Skriv ned følgende uttrykk i moment- eller bølgetall-representasjon (e) p ψ eller k ψ Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.6 of 1
UNVERSTETET Oppgave 3 Oppgave 3.1 Angulær moment, hydrogen atom og det periodiske system 8p (i 4p) Hva heter kvantetallene og hvilken mulige verdier de kan ta: n (3.1.1) l (3.1.) m l (3.1.3) m s (3.1.4) (ii 3p) Til hvilke kvantetall tilsvarer begrepene skall (shell), underskall (sub-shell), orbital? (iii 3p) Med hensyn til hydrogenatomet, svar minst tre av disse: Hvor mange underskall (sub-shell) er i et skall? Hvor mange orbitaler er i et underskall? Hvor mange orbitaler er i et skall? Hva betyr degenererte tilstander? Hvor mange degenererte tilstander er i et skall? Det er tillat å svare med eksempler. (iv 5p) Fyll opp tabellen om det periodiske system og returner sammen med besvarelsen. Tabellen er i to identiske kopier på sider 9 og 1. (v p) Løsningen av Hamiltonoperator egenverdiproblemet for hydrogenatomet leder til ligningen: Y (θ, ϕ) R r [R(r)] = R(r) L θϕ [Y (θ, ϕ)] (3.1.5) h der R r er radielloperator som er funksjon kun av r og L θϕ er angulærmoment operator som er funksjon kun av θ og ϕ; R(r) og Y (θ, ϕ) er de ukjente radielle og angulære egenfunksjoner. Med utgangspunkt i ligning (3.1.5) vis: L θϕ Y (θ, ϕ) = h K l Y (θ, ϕ) (3.1.6) R r R(r) = K l R(r) (3.1.7) (vi p) Hva er uttrykket for K l? Ved t = er et hydrogen atom i superposisjontilstand: ψ(r, ) = der a er Bohrs radius og Y m l [ e r/a + A r ( ) ] e r/a iy 3/ 1 1 + Y1 1 + Y1 (3.1.8) a 4π a er sfæriske harmoniske funksjoner. (vii 5p) Vis at normaliseringskonstanten er A = 1/(1 ). [Hint: Prøv å omorganisere ledene slik at bølgefunksjonen blir en summe av egenfunksjoner R n,l Yl m = ψ n,l,m. Se ligningene (3.1.9) til (3.1.14)]. (viii p) Hvis man måler L, hvilken er de mulige resulterende verdiene? (ix p) Hva er ioniseringsenergien av dette atomet? Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.7 of 1
UNVERSTETET 1 S ψ 1,, = S ψ,, = P Normalised time-independent hydrogen eigenstates ψ,1,1 ψ,1, ψ,1, 1 = 3 S ψ 3,, = 3 P 3 D ψ 3,1,1 ψ 3,1, ψ 3,1, 1 ψ 3,, ψ 3,,1 ψ 3,, ψ 3,, 1 ψ 3,, = = a 3/ 1 a 3/ 1 6a 3/ 9 3a 3/ 1 9 6a 3/ e r/a Y (θ, ϕ) = 1 9 3a 3/ e r/a e r/a r a a 3/ ( ra ) Y 1 1 (θ, ϕ) Y 1 (θ, ϕ) Y 1 1 (θ, ϕ) ( e r/a 4π ) (3.1.9) Y (θ, ϕ) (3.1.1) (3.1.11) e r/3a [3 3ρ + ρ /] Y (θ, ϕ) with ρ = r na 1 (3.1.1) e r/3a e r/3a r [4 ρ] 3a ( r 3a ) Y1 1 (θ, ϕ) Y1 (θ, ϕ) Y1 1 (θ, ϕ) Y (θ, ϕ) Y 1 (θ, ϕ) Y (θ, ϕ) Y 1 (θ, ϕ) Y (θ, ϕ) (3.1.13) (3.1.14) Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.8 of 1
UNVERSTETET Fys- Kvantemekanikk Vår 16 Oppgave 3.1.iv: Fyll ut tabellen og returner med besvarelsen Electron Configuration of the Elements: The Fourth Period 3, 3,1 3, 4, 4,1 4, 4,3 5, Spectral Notation 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s n + 3 4 5 4 5 6 7 5 Z Elem. on.en. 17 Cl 1.97 5 18 Ar(18) 15.76 6 19 K 4.34 Ca 6.11 1 Sc 6.56 Ti 6.83 3 V 6.75 4 Cr* 6.77 5 Mn 7.43 6 Fe 7.9 7 Co 7.88 8 Ni 7.64 9 Cu* 7.73 3 Zn 9.39 31 Ga 6.99 3 Ge 7.9 33 As 9.79 34 Se 9.75 35 Br 11.81 36 Kr 13.99 *NB krom og kopper har anomale konfigurasjoner. Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.9 of 1
UNVERSTETET Fys- Kvantemekanikk Vår 16 Oppgave 3.1.iv: Fyll ut tabellen og returner med besvarelsen Electron Configuration of the Elements: The Fourth Period 3, 3,1 3, 4, 4,1 4, 4,3 5, Spectral Notation 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s n + 3 4 5 4 5 6 7 5 Z Elem. on.en. 17 Cl 1.97 5 18 Ar(18) 15.76 6 19 K 4.34 Ca 6.11 1 Sc 6.56 Ti 6.83 3 V 6.75 4 Cr* 6.77 5 Mn 7.43 6 Fe 7.9 7 Co 7.88 8 Ni 7.64 9 Cu* 7.73 3 Zn 9.39 31 Ga 6.99 3 Ge 7.9 33 As 9.79 34 Se 9.75 35 Br 11.81 36 Kr 13.99 *NB krom og kopper har anomale konfigurasjoner. Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.1 of 1
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Fys- Kvantemekanikk Dato: 7. juni 16 Klokkeslett: 9: Stad: Åsgårdvegen 9 Lovlege hjelpemiddel: Rottman - Matematisk formelsamling Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Linje 11 Marius Kadek Telefon/mobil: 4 95 158 NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret Postboks 65 Langnes, N-937 Tromsø / 77 64 4 / postmottak@uit.no / uit.no
T Eksamen i Fys- kvantemekanikk Vår 16 V Viktig merknad: Alle oppgåver er vekta med poeng, som er gjeve eksplisitt for kvar deloppgåve. Samanlagd er det 1 poeng. Den endelege evalueringa blir rekna ut frå at 1 poeng er maksimum. Det vil seie at studentar som samlar 1 poeng eller meir, får full uttelling. Dei andre blir vurdert etter poengtalet dei har samla, målt opp mot 1 poeng som maksimum. Oppgåve 1 Oppgåve 1.1 Kvantemekanisk harmonisk oscillator (KHO) 19p Ein kan vise at Hamilton-operatoren for ein KHO er: [( β H = hω X i P ) ( X + i P ) + 1 ] (1.1.1) mω mω β β = mω h ω = K m a = β ( X + i P ) mω a = β ( X i P ) mω N = a a karakteristisk bølgjetal (1.1.) resonansfrekvens (1.1.3) nedgåande operator (1.1.4) oppgåande operator (1.1.5) taloperator (1.1.6) (i p) Vis at: H = hω (N + 1 ) (1.1.7) (ii p) Med utgangspunkt i den tidsuavhengige Schrödinger-likninga (eigenverdiproblemet for energi) og dei felles eigenketane n av H og N, H n = E n n (1.1.8) N n = n n (1.1.9) vis at eigenverdiane til energien er: E n = hω (n + 1 ) (1.1.1) Ein kan vise at n er eit ikkje-negativt heiltal n og at: a n = C n n 1 (1.1.11) a n = C n+1 n + 1 (1.1.1) (iii p) Bruk ortonormaliseringsføresetnaden, n m = δ nm, til å vise at normaliseringskonstantane er: C n = n (1.1.13) C n+1 = n + 1 (1.1.14) E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.1 of 1
T [Hint: Form n a a n med bruk av begge sider av (1.1.11) og tilsvarande for det andre tilfellet]. (iv p) Med bruk av forrige deloppgåve, vis at: [a, a ] = 1 (1.1.15) Føresetnadane E og H f ører til n =, 1,,..., d.v.s. heiltal n. Neste oppgåve er å finne eigenketane n eller eigenfunksjonane x n. For å unngå forvirring definerer vi ϕ n = n, ϕ n (x) = x n (1.1.16) H ϕ n = hω (n + 1) ϕ n (1.1.17) E = 1 hω (1.1.18) E n = E + n hω (1.1.19) (v p) klassisk fysikk kan energien til ein oscillator vere null. Forklar kvifor grunnenergien til ein kvantemekanisk oscillator aldri kan vere null, d.v.s. at oscillatoren aldri kan vere i ro. Med bruk av dimensjonslause mengder, (vi 3p) vis at dei to første bølgjefunksjonane er ϵ = βx, β = mω h (1.1.) a = 1 (ϵ + ϵ ) (1.1.1) a = 1 (ϵ ϵ ) (1.1.) ϕ = π 1/4 e ϵ / ϕ 1 = π 1/4 ϵ e ϵ / (1.1.3) (1.1.4) (vii p) Vis at ein klassisk oscillator med samme grunnenergi og frekvens som ein kvantemekanisk oscillator har vendepunkt ved Tolk dette resultatet fysisk. ϵ = ±1 (1.1.5) ( ) 1/ h x = ± = ± 1 (1.1.6) mω β (viii p) Bruk (1.1.4) og (1.1.5) til å vise: X = 1 β (a + a ) (1.1.7) P = i hβ (a a ) (1.1.8) E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p. of 1
T (ix p) Bruk (1.1.7) for en oscillator i grunntilstand til å vise at V = T (1.1.9) PE = KE = 1 E (1.1.3) der operatoren for potensiell energi er V = KX / og K er fjørkonstanten. PE er potensiell energi og KE er kinetisk energi. Det er tilstrekkeleg at ein av dei to er rekna ut. [Hint: Bruk (1.1.7) og (1.1.8)]. Oppgave 1. Kvantemekanisk harmonisk oscillator (KHO) og superposisjon av tilstandar 18p [NB: Det er ikkje nødvendig å erstatte eigenbølgjefunksjonane med dei eksplisitte formane deira frå (1.1.3) og (1.1.4) i nokon av deloppgåvene.] Anta at ein KHO er i superposisjonstilstand kor bølgjefunksjonen ved tida t = er: (i p) Hva er sannsynet P (E 1 ) for å måle E 1? ψ(x, ) = 1 [ϕ (x) + i ϕ 1 (x)] (1..1) (ii p) Vis at sannsynstettleiken Pd(x, ) til posisjonen ved tida t = er Pd(x, ) = 1 [ ϕ (x) + ϕ 1 (x) ] (1..) (iii p) Kva er tilstanden ψ(x, t) ved t >? (iv 3p) Vis at sannsynstettleiken Pd(x, t) til posisjonen ved t > er Pd(x, t) = Pd(x, ) + ϕ (x)ϕ 1 (x) sin(ω 1 ω )t (1..3) Kva er uttrykka for ω og ω 1 som funksjon av E og E 1? (v p) Kva er sannsyna P (E, t) og P (E 1, t)? (vi p) Rekn ut H ved t = og ved t >. (vii p) For eigentilstandar, vis at: for alltid. [Hint: Kortaste veg er å bruke (1.1.7) og (1.1.8)]. X = P = (1..4) E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.3 of 1
T (viii 3p) For eigentilstandar, vis at: Det er tilstrekkeleg å vise ein av dei to. Kva er X P, der tyder standardavvik? X = 1 (n + 1) β (1..5) P = β h (n + 1) (1..6) E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.4 of 1
T Oppgåve Oppgåve.1 Kvantemekanikken sine postulat p (i 5p) Nemn minst fem ikkje-klassiske viktige omgrep som inngår i dei kvantemekaniske postulata. (ii 1p) Forklar dei kvantemekaniske postulata. Gje postulata nummer i logisk rekkefølge. Bruk Dirac sin notasjon for alle utsegn. Talet på postulata er ikkje viktig [Litteraturen varierer mellom 4, 5 og 6]. Føremålet er å formidle alle omgrepa best mogleg. (iii 5p) llustrer innhaldet av kvart postulat med tilsvarande uttrykk eller likning eller omgrep fra løysinga av den kvantemekaniske harmoniske oscillatoren. Oppgave. Schrödingers katt 15p (i 5p) Forklar kortfatta kva Schrödingers katt er for noko. (ii 3p) Kva for nokre kvantemekaniske omgrep illustrerer katteanalogien i hovudsak? Basisketane til ei kvantekatt er: levande og daud (..1) (iii p) Kva er ein naturleg representasjon av dei to tilstandane i (..1) som kolonnevektorar? (vi 3p) Ein operator K som gjev katta sin tilstand i same representasjon som del (iii) har matrisa: ( ) 1 K 1 (..) Kva er dei moglege resultata av å måle K? (v p) Katta oppheld seg i tilstanden: katt = 3 5 levande + 4 5 daud. (..3) Kva er middelverdien til K? Oppgave.3 Matematiske teknikkar i kvantemekanikk med Dirac-notasjon p (i 5p) Ensemble-middelverdien til en observabel Q er Q = ψ Q ψ (.3.1) Med utgangspunkt i (.3.1), utlei det alternative uttrykket: Q = q ip (q i ) (.3.) i der q i er eit komplett sett av eigenverdiar for observablen, ψ er tilstandsketen og P (q i ) er sannsyna for å observere verdiane q i. [Hint: Kortaste veg er bruke identitetsoppløysinga E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.5 of 1
T (resolution of the identity) som inneber berre ein summasjon, mens ein meir opplagt veg inneber to summasjonar]. (ii p) Dersom A og B er hermitiske operatorar, vis at i[a, B] óg er ein hermitisk operator. (iii p) Anta at to operatorar C og D har eit felles komplett sett av eigenketar. Vis at [ ] C, D = (.3.3) Kva er den fysiske tydinga av (.3.3)? (iv 1p) Kva slags mengd er følgjande uttrykk (skalarar, vektorar, operatorar eller ketar)? der ϕ og ψ er kvantemekaniske tilstandar : x ψ, ϕ ψ, ϕ X ψ, x P ψ, p ψ, k ψ Matrisene til observablane X og P er høvesvis: dentitetsoppløysing: x X x = xδ(x x ) (.3.4) x P x = i h d dx δ(x x ) = i h d dx δ(x x ) (.3.5) = x x dx = p p dp = k k dk (.3.6) Eigenketane til moment p og bølgjetal k i posisjonsrepresentasjonen er: x p = 1 e ī h px, p = hk, x k = 1 e ikx (.3.7) π h π For bølgjefunksjonane ϕ(x) og ψ(x) gjeld: [ ] d [ ] d dx ϕ(x) ψ(x) dx = ϕ(x) dx ψ(x) dx (.3.8) Likningane (.3.4) (.3.8) er nyttige for dei neste to deloppgåvene, (v) og (vi). (v p) ϕ og ψ er tilstander av eit ein- dimensjonalt kvantemekanisk system. Skriv ned følgjande uttrykk i posisjonsrepresentasjon: (a) x ψ (b) ϕ ψ (vi 5p) Skriv ned følgjande uttrykk i posisjonsrepresentasjon: (c) ϕ X ψ (d) x P ψ (vii 3p) Skriv ned følgjande uttrykk i moment- eller bølgjetalsrepresentasjon: (e) p ψ eller k ψ E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.6 of 1
T Oppgave 3 Oppgave 3.1 Angulært moment, hydrogenatomet og periodesystemet 8p (i 4p) Kva heiter kvantetala og kva for moglege verdiar kan dei ta: n (3.1.1) l (3.1.) m l (3.1.3) m s (3.1.4) (ii 3p) Til kva for eit kvantetal høyrer omgrepa skal (shell), underskal (sub-shell) og orbital? (iii 3p) Svar på minst tre av desse spørsmåla om hydrogenatomet: Kor mange underskal er det i eit skal? Kor mange orbital er det i eit underskal? Kor mange orbital er det i eit skal? Kva meiner ein med degenererte tilstandar? Kor mange degenererte tilstandar er det i eit skal? Det er lov å svare med eksempel. (iv 5p) Fyll ut tabellen over periodesystemet og returner saman med innleveringa di. Tabellen er lagt ved i to identiske kopiar på side 9 og 1. (v p) Løysinga av det hamiltonske eigenverdiproblemet for hydrogenatomet leier til likninga: Y (θ, ϕ) R r [R(r)] = R(r) L θϕ [Y (θ, ϕ)] (3.1.5) h kor R r er ein radielloperator, s om er ein f unksjon kun av r, og L θ ϕ er ein angulærmomentoperator, som er ein funksjon kun av θ og ϕ; R(r) og Y (θ, ϕ) er ukjente radielle og angulære eigenfunksjonar. Med utgangspunkt i likning (3.1.5), vis at: L θϕ Y (θ, ϕ) = h K l Y (θ, ϕ) (3.1.6) R r R(r) = K l R(r) (3.1.7) (vi p) Kva er uttrykket for K l? Ved t = er eit hydrogenatom i superposisjontilstand: ψ(r, ) = der a er Bohrs radius og Y m l [ e r/a + A r ( ) ] e r/a iy 3/ 1 1 + Y1 1 + Y1 (3.1.8) a 4π a er sfæriske harmoniske funksjonar. (vii 5p) Vis at normaliseringskonstanten er A = 1/(1 ). [Hint: Prøv å omorganiser ledda, s lik at bølgjefunksjonen blir ein sum av eigenfunksjonar R n,l Y m l = ψ n,l,m. Sjå likningane (3.1.9) t il ( 3.1.14)]. (viii p) Om ein måler L, kva er dei moglege resulterande verdiane? (ix p) Kva er ioniseringsenergien til dette atomet? E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.7 of 1
T 1 S ψ 1,, = S ψ,, = P Normalised time-independent hydrogen eigenstates ψ,1,1 ψ,1, ψ,1, 1 = 3 S ψ 3,, = 3 P 3 D ψ 3,1,1 ψ 3,1, ψ 3,1, 1 ψ 3,, ψ 3,,1 ψ 3,, ψ 3,, 1 ψ 3,, = = a 3/ 1 a 3/ 1 6a 3/ 9 3a 3/ 1 9 6a 3/ e r/a Y (θ, ϕ) = 1 9 3a 3/ e r/a e r/a r a a 3/ ( ra ) Y 1 1 (θ, ϕ) Y 1 (θ, ϕ) Y 1 1 (θ, ϕ) ( e r/a 4π ) (3.1.9) Y (θ, ϕ) (3.1.1) (3.1.11) e r/3a [3 3ρ + ρ /] Y (θ, ϕ) with ρ = r na 1 (3.1.1) e r/3a e r/3a r [4 ρ] 3a ( r 3a ) Y1 1 (θ, ϕ) Y1 (θ, ϕ) Y1 1 (θ, ϕ) Y (θ, ϕ) Y 1 (θ, ϕ) Y (θ, ϕ) Y 1 (θ, ϕ) Y (θ, ϕ) (3.1.13) (3.1.14) E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.8 of 1
T Fys- Kvantemekanikk Vår 16 Oppgåve 3.1.iv: Fyll ut tabellen og returner med innleveringa Electron Configuration of the Elements: The Fourth Period 3, 3,1 3, 4, 4,1 4, 4,3 5, Spectral Notation 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s n + 3 4 5 4 5 6 7 5 Z Elem. on.en. 17 Cl 1.97 5 18 Ar(18) 15.76 6 19 K 4.34 Ca 6.11 1 Sc 6.56 Ti 6.83 3 V 6.75 4 Cr* 6.77 5 Mn 7.43 6 Fe 7.9 7 Co 7.88 8 Ni 7.64 9 Cu* 7.73 3 Zn 9.39 31 Ga 6.99 3 Ge 7.9 33 As 9.79 34 Se 9.75 35 Br 11.81 36 Kr 13.99 *NB krom og koppar har anomale konfigurasjonar. E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.9 of 1
T Fys- Kvantemekanikk Vår 16 Oppgåve 3.1.iv: Fyll ut tabellen og returner med innleveringa Electron Configuration of the Elements: The Fourth Period 3, 3,1 3, 4, 4,1 4, 4,3 5, Spectral Notation 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s n + 3 4 5 4 5 6 7 5 Z Elem. on.en. 17 Cl 1.97 5 18 Ar(18) 15.76 6 19 K 4.34 Ca 6.11 1 Sc 6.56 Ti 6.83 3 V 6.75 4 Cr* 6.77 5 Mn 7.43 6 Fe 7.9 7 Co 7.88 8 Ni 7.64 9 Cu* 7.73 3 Zn 9.39 31 Ga 6.99 3 Ge 7.9 33 As 9.79 34 Se 9.75 35 Br 11.81 36 Kr 13.99 *NB krom og koppar har anomale konfigurasjonar. E TE Fys- KM Endelig eksamen V 16 juni 7 clh p.1 of 1