Meningsfull Matematikkundervisning May Renate Settemsdal Svolvær 30.mars 2016
Ny visjon Meningsfull matematikk for alle - Et samspill mellom praksis, utvikling og forskning. Matematikksenteret vil bidra til at matematikkopplæringen tar utgangspunkt i barn og unges tenkning og bygger på deres interesser, bakgrunn, erfaringer og kunnskap. Målet er at barn og unge skal utvikle matematisk kompetanse som består av fem komponenter:
Arbeidet til NSMO bygger på trådmodellen, Kilpatric m.fl.
Matematikksenteret sitt fokus Styrking av lærernes matematikkompetanse, både faglig og didaktisk Kunnskapsbasert matematikkundervisning og variasjon i arbeidsmåter Læremidler og deres rolle i matematikkundervisningen Tilpasset opplæring i matematikk Progresjon i matematikk fra barnehage til ungdomstrinn NB Disse fem områdene henger sammen!
Eksamen Rapport: "Vurdering av eksamen i matematikk" 10.trinn, Vg1P og R1 Vurdere om eksamensoppgavene i matematikk er i samsvar med læreplanen i faget og om vanskegraden, strukturen, språket og konteksten er tilpasset kompetansemålene og elevgruppen.
MA M M A M estre mbisiøs atematikkundervisning
Ambisiøs matematikkundervisning En undervisningspraksis hvor lærerne engasjerer seg i elevens tenkning, stiller spørsmål, observerer og vurderer elevenes resonnement, språk og argumentasjon og fremmer forståelse, læring og økt motivasjon hos elevene.
De viktigste prinsippene for ambisiøs matematikkundervisning Elever er opptatt av å skape mening. Undervisning innebærer at man lærer av sine elever. Alle elever bør få like muligheter til å lære viktige matematiske ideer og tenkemåter samtidig som det tas hensyn til forskjeller mellom elevene. Undervisning tar utgangspunkt i tydelige undervisningsmål. Refleksjon over skolens rolle i samfunnet og arbeid for dens videreutvikling er viktige deler av lærerens virke.
Mål Utvikle en modell for skolebasert etterutdanning Utvikle opplegg, filmer og tekster til bruk i etterutdanningen Så omfattende ressurser at UH kan bruke dem i etter- og videreutdanning Spre ressursene via Matematikksenterets nettsider Kvalitetssikre ressursene gjennom utprøving og pilotering Fritt tilgjengelig for alle interesserte!
Målgruppe Primært Lærere på mellomtrinnet via lærerutdannere! Ideene kan også brukes på småtrinnet ungdomsskolen videregående skole?
MA M M A M estre mbisiøs atematikkundervisning Telle i kor
Matematisk samtale om å telle i kor Film Diskusjonsspørsmål: - Hva handler denne aktiviteten om? Hva kan være de faglige målene til læreren? - Hva gjør læreren for å fremme elevers resonnering og deltakelse i samtalen? - Hvordan kan film brukes som ressurs i utvikling av undervisningskompetanse?
MA M M A M estre mbisiøs atematikkundervisning Telle i kor telle med 120 fra 120
Stopp 600 Hva kan være årsaken til at en stopper ved 600? Hvilke mulige elevinnspill kan komme? Tidlig stoppunkt for å samle elevene
Stopp 1080 Hva skjer her? Hvilke elevinnspill kan en forvente? Hvilket tall skal stå i øverst i kolonne tre? Begrunne forslaget sitt. Kan få forslag til mønster, notere ned
Stopp 2160 Utfordre på flere mønster Kan vi bruke de mønstrene vi har funnet til å forutsi tallene 2640 og 3360? Begrunn forslaget Sammenligne begrunnelser
Erfaringer fra utprøving En aktivitet som kan bidra til å fremme den matematiske samtalen Strukturert aktivitet som gjør det lettere for læreren å fokusere på samtaletrekk Utvikler elevenes evne til å lytte til hverandres resonnement Gir mulighet til å gå mer i dybden av ulike strategier Gir flere elever en bedre forståelse av mønster Passer godt i hel klasse, utfordring på flere nivåer Kan gjennomføres i en kort økt
Notat fra en av utprøvingene
Gruppearbeid Planlegge en aktivitet Telle i kor Hva er målet med aktiviteten? Hvilke matematiske sammenhenger skal ha fokus? Hvilket startpunkt og hvilke steg velger du? Hvilke stoppunkter tenker du? Hvilke tall vil du spørre etter? Hvordan vil du skrive tellinga? Hvordan vil du lese tallene? Hvilke elevresponser forventer du? Hvordan vil du avslutte og oppsummere aktiviteten?
4-Apr-16 Alle Teller!
Hva er boka Alle teller? 1. Lærerveiledning for innføring av nøkkelbegreper 2. Forklaring på hvordan og hvorfor misforståelser og misoppfatninger oppstår. Masse konkrete eksempler for alle begrepene 3. Forslag til hvordan undervisningen bør legges opp ved innføring av nye begreper 4. Kartleggingsmateriale for å avdekke misforståelser og misoppfatninger (inklusive vurderingsskjema, temaoversikt, målformuleringer etter nivå, veiledning til oppfølgende intervju) 5. Lærerveiledning for hvordan undervisningen kan legges opp for elever og elevgrupper som har utviklet misforståelser og misoppfatninger. 4-Apr-16 21
Elevsyn, læringssyn og fagsyn En overbevisning om at elever kan og vil lære! Dyp respekt for de som skal lære, og det de har å bidra med! Undervisningen må bygge på elevenes erfaringer fra skole og egne liv. Lærerens rolle er å tilrettelegge for at elevene skal bygge opp egne erfaringsreferanser. Det har ingen verdi å kunne bruke regnereglene mekanisk hvis en ikke forstår hva som ligger bak! 4-Apr-16 22
Divisjon av brøker (sitat fra håndboka) For de fleste elever er multiplikasjon av brøker ikke vanskelig. Divisjon av brøker er noe helt annet. Det er viktig å akseptere at for de fleste elever er ikke divisjon med brøk en nødvendig ferdighet for å klare seg i dagliglivet. Dette er ett tilfelle hvor det kan være fristene å la elevene lære en regel framfor å arbeide med at elevene skal forstå begrepene og sammenhengene. Hvis dette bare skal læres for å klare noen oppgaver her og nå, kan det forsvares. Hvis en tenker på behovene til elever som ikke har de beste forutsetningene til å lære matematikk, kan det være et valg blant tre muligheter hvor ingen av dem er helt tilfredsstillende: Undervise for at eleven skal forstå, men være klar over at det vil gå sakte, kanskje bare gi delvis suksess, og innse at dette ikke er helt nødvendige kunnskaper for denne eleven. Undervise for at eleven skal forstå opp til et visst nivå, og så lære ham/henne regelen. Lære eleven regelen. Spesielle anbefalinger Undervis for forståelse, bruk trinnene som er beskrevet over. I de fleste tilfeller er målet å bygge opp en bedre forståelse for brøk viktigere enn å lære å dividere brøker.
NIM To og to spiller sammen. 21 pinner i en haug på bordet. Hver spiller trekker 1 eller 2 pinner, annenhver gang. Hvem klarer å ta den siste/de to siste pinnene?
Møte med nye begreper Varierte arbeidsmåter Tid til fordypning og tid til at begrepet modnes Bli i stand til å bruke det i nye situasjoner Konkreter og ulike representasjoner
Begrepene må innføres slik at de er logisk å bygge videre på Hvis ikke kan det lede til misforståelser og misoppfatninger
4. Desimaltall 4.1 Desimalnotasjon inkludert penger og måling (5,6,7) Introduksjon Barn møter desimaltall for første gang før de lærer om det på skolen. Enn så lenge har vi desimaltall i forhold til priser og penger, selv om elevenes erfaringer på dette området er langt fattigere i dag enn den gang vi hadde ettøringer, toøringer, femøringer, tiøringer og tjuefemøringer. Elevene kan se en pris som er skrevet som 6,50 kr og høre at det blir uttalt som seks kroner og femti øre. De hører det sjelden uttalt som seks komma fem, eller seks komma fem null kroner. Seinere kan de høre at 6,70 meter blir uttalt som seks meter og sytti (centimeter). Kommaet mellom heltallene og desimalene blir skrevet, men det blir sjelden brukt i dagligtalen, med unntak av enkelte sportsresultater (poeng, tider i sekunder, tideler og hundredeler etc). Det kan oppleves forvirrende når eleven taster inn 6,50 på lommerekneren, og det kommer opp i vinduet som 6,5. 4-Apr-16 27
Misforståelser og misoppfatninger Barns misoppfatninger knyttet til desimaltall (og de favner vidt og kan vare livet ut) skyldes ofte to ting: 1) elevers kunnskap om og erfaringer med hele tall blir generalisert og brukt feil i forhold til desimaltall. 2) erfaringer fra dagliglivet, inkludert bruk av penger og måling gir en overfladisk fornemmelse av hva desimaltall handler om med en eller to desimaler. Det første forholdet vil bli nærmere omtalt i det neste avsnittet, mens vi tar for oss de misforståelsene som skyldes desimaltall i forhold til penger og måling av ymse slag i dette kapitlet. Se for deg de problemene som kan oppstå som en følge av at vi leser 6,50 kr og hører det uttalt som seks kroner og femti (øre). 4-Apr-16 28
1) Vi leser 6,50 (og tenker på det) som om det var satt sammen av ikke ett, men to separate tall, seks og femti. 2) Vi leser desimaldelen som femti ikke som fem null. Denne fremgangsmåten (som er riktig når det gjelder penger) kan forårsake misoppfatninger for elever. Mange elever tror at sifrene på hver side av kommaet ikke har noe med hverandre å gjøre. Det er en fare at elever tror at tallene til høyre for kommaet er et annet sett av hele tall. Disse misoppfatningene forårsaker ingen problemer og kommer ikke til overflaten når man holder på med penger og ulike typer måling. Det er viktig at læreren er klar over at å bruke penger og måling til å forstå desimaltall er nyttig i noen sammenhenger, mens det i andre sammenhenger blir en kilde til misoppfatninger. Læreren må være oppmerksom på dette og understreke likhetene og ulikhetene mellom desimaltall og penger/måling. 4-Apr-16 29
Eksempler Eleven sier Veggen er ni meter og førti høy, ikke ni meter og førti centimeter Lommerekneren sier fire komma fem: det betyr fire kroner og fem øre. 4-Apr-16 30
Bakgrunn Vi vil ikke si at å lese 6,50 kr som seks (kroner) og femti er galt. Det er naturligvis en helt dagligdags forkortelse for seks kroner og femti øre og å lese det som seks komma fem null kroner høres ganske kunstig ut. Det som egentlig har skjedd er at vi har oversatt et beløp, uttrykt som kroner til to beløp uttrykt som kroner og øre. På den måten kan vi si femti i stedet for fem null. Dette kan imidlertid lett føre til misoppfatning slik at tallene 6,54 og 6,504 begge kan bli uttalt seks komma femtifire. Vi må være tydelige på om vi uttaler et beløp eller et mål som to ulike enheter (sju meter og førti centimeter) eller som en enkelt enhet sju komma fire meter eller sju hundre og førti centimeter. For å rydde opp i misforståelsene, må elevene få forståelse for at kommaet er en indikator på hvor man kan finne det hele sifferet, og at desimalene har mindre verdi enn enerne. 4-Apr-16 31
Generelle anbefalinger Det er nyttig å bruke enhver anledning en har til å bruke desimaltall fra barnets omgivelser: pris på varer i butikken og i aviser, bensin, lengdemål, vekt og hulmål, tidtaking i forhold til sportsøvelser eller sport på TV. Hensikten med å gjøre det slik vil være at barnet forstår at desimaltall er en del av deres og familiens liv. Den nøyaktige notasjonen av desimaltall kan være av mindre betydning på dette stadiet. Vær litt forsiktig med bare å bruke penger når du skal introdusere og forklare desimaltall, og vær oppmerksom på både likheter og forskjeller mellom penger og andre typer desimaltall. Hvis hensikten er å lære om desimaltall er det nødvendig å bruke ulike fysiske og visuelle modeller med desimaltall og også eksempler som operer med ulikt antall siffer bak kommaet. Derfor er Base 10-materiell, papir- og plastikkpenger, linjaler og målbånd, tidtaking på TV (friidrett, svømming, dykking...), som alle legger vekt på litt ulike aspekt ved desimaltallene og strukturen, godt egnet til å gi et reelt bilde. Når et desimalmål leses som to hele tall i en klassesituasjon, må læreren insistere på at begge enhetene er uttrykt: fire kroner og femti øre, eller sju liter og fire desiliter,; eller fire komma fem null kroner og sju komma fire liter. 4-Apr-16 32
Spesielle anbefalinger Lag snutter fra sportsbegivenheter på video som viser tidtaking, og diskuter hva tidene betyr. Bruk Base 10-materiell eller annet konkretiseringsmateriell til å oversette tallsymboler til mer visuelle bilder. Synliggjør begge formene for penge- og målingsrepresentasjoner (desimaltall og ikke desimaltall) side om side. 4-Apr-16 33
Viktig å vite Testene skal kartlegge forståelse (i liten grad ferdigheter). Kartleggingstestene er på elevnivå, for å finne ut mer om hver enkelt elevs forståelse. Testene skal brukes over tid for å kartlegge enkeltelevers utvikling og framgang. Testene skal ikke brukes for å sammenligne elever eller klasser med hverandre. Testresultatene skal gi læreren grunnlag for å tilpasse undervisningen til den enkelte elev og til elevgrupper. For at testresultatene skal gi læreren ytterligere informasjon om elevens forståelse, skal testene følges av elevintervju. 4-Apr-16 34
Hvordan skal testene gjennomføres? Testene kan brukes på ulike måter av ulike elever og lærere. Det er viktig å ha som utgangspunkt at dette er tester som er laget for at læreren skal kunne legge opp en undervisning som gir flest mulig elever størst mulig utbytte av læringsarbeidet. Anbefalinger: - Testene gjennomføres årlig ved begynnelsen av skoleåret - Elevene får bruke den tiden de trenger - Elevene skal svare så godt de kan, og ikke la oppgaver stå ubesvart (se flere anbefalinger s 121 122 i håndboka) 4-Apr-16 35
4-Apr-16 36
4-Apr-16 37
4-Apr-16 38
Sp m Underkapittel 8 4.2, 4.4 Kommentarer. Spørsmålet tester om eleven: Kan relatere desimaltall til et skravert område. Det skraverte området er akkurat mindre enn en halv eller 0,5, slik at bare svar C er et rimelig svar. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer noe annet. 9 4.2 Kan se sammenhengen mellom litt vanskeligere desimaltall og det skraverte området. Det skraverte området er mindre enn en firedel eller 0,25. Derfor er bare A et rimelig svar. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer noe annet. 10 4.2 Kan gjenkjenne om et desimaltall eller en brøk er nærmest null, en halv eller en hel. Dette er en god indikasjon på tallforståelse. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer feil. 11 4.3 Kan ordne desimaltall i rekkefølge. Dette forutsetter god forståelse for desimaltall. Misoppfatninger gjør at noen tror at de i A sammenlikner 6 med 3, og 7 med 52 i B. 12 4.3 Kan ordne desimaltall etter størrelse. 13 5.1 Forstår betydningen av halve og kvarte. Elevene har ofte god forståelse av en halv og en kvart før de forstår andre brøker. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer feil. 14 5.2, 5.3, 5.4 Forstår brøk som del av en mengde. 4-Apr-16 39
4-Apr-16 40
4-Apr-16 41
Digitale tester www.alleteller.no Administratrator: http://admin.alleteller.no/ Elev: http://elev.alleteller.no/ 4-Apr-16 42
Nivå 8, oppgave 12 Her står svaralternativene
10 % 20 % Kan ikke svare 100% 1% 5% 80% 90%
Til diskusjon Hvilke svaralternativer er tror dere er gitt? Hva tror dere elevene som har svart de ulike alternativene har tenkt? Her står svaralternativene
Nivå 8, oppgave 12
Hva sier håndboka (sitat fra kap 6.1) Misforståelser og misoppfatninger Den eneste måten elevene kan håndtere alle variantene av prosentrekning på, er ved å ha en klar og grunnleggende forståelse av prosent og forstå hver enkelt situasjon og hva det spørres om. Alle tommelfingerregler vil ha null verdi om de ikke er bygget på en slik forståelse. Andre problem som ofte forekommer: Blander sammen addisjons- og multiplikasjonsaspektet i prosentrekningssituasjoner, som for eksempel å anta at en prisøkning på 200 % (altså legge til det dobbelte beløp) er det samme som å doble den opprinnelige prisen Å anta at å øke prisen på en vare med 20 %, for så å redusere den med 20 % vil føre prisen på varen tilbake til den opprinnelige prisen Blande sammen det å legge til 10 enheter med det å legge til 10 %. Å tro at å legge sammen 10 % av en del med 10% av en annen del til sammen gir 20 % av de kombinerte delene.
Generelle anbefalinger - 10 x 10 rutenett - tallinje - tellebrikker
Intervju I tillegg til de skriftlige testene, skal det gjennomføres elevintervjuer av enkeltelever. Det beste er om lærer intervjuer alle elvene sine. Intervjuene går ut på å velge ut noen oppgaver fra testene (5 7 oppgaver), noen som eleven har svart rett på, og noen hun/han har svart feil på. Spør eleven Hvordan tenkte du da du løste denne oppgaven? 4-Apr-16 51
Huskeregler for elevintervju Et intervju er ikke en undervisningssituasjon. Hovedhensikten er å finne ut hvordan eleven har tenkt. Eleven skal stå for snakkingen fordi intervjuet skal avsløre hvordan eleven tenker. Oppmuntre eleven til å forklare og beskrive, selv om det går tregt Læreren bryter bare inn for å forsikre seg om at hun/han har forstått hva eleven mener. 4-Apr-16 52
Under intervjuet skal ikke læreren prøve å hjelpe eleven til å finne riktig svar, passende strategier eller korrekt måte å tenke på. Prøver læreren å hjelpe, vil hun/han ikke lære noe om elevens tenkemåte. Lærerens rolle er å lytte! I intervjusituasjonen må læreren oppføre seg som en vitenskapsmann: hvert svar er ikke først å fremst å bli betraktet som riktig eller galt, godt eller dårlig, men som interessant eller informativt. Gale svar er med på å gi informasjon om hva eleven har misforstått eller har problemer med og er derfor like nyttige for læreren som et rett svar. 4-Apr-16 53
Hvordan synliggjøre matematikken i Newton- modulene? Relevante læreplanmål - Velg læreplanmål som virkelig er relevante - Ikke ta med et kunstig læreplanmål bare som påfyll - Formuler gode læringsmål - Vær tydelig i beskrivelsen av undervisningsopplegget for å få fram begrepene og det vi vil belyse
- Eksempel : http://matematikksenteret.no/content/1953/likningssystemer Hensikt: elevene skal kunne omforme praktiske problemstillinger til likningssett elevene skal kunne se sammenhenger mellom praktiske problemstillinger, oppsetting av likningssett, løsning av disse og systematisk tenking elevene skal kunne løse likningssettene og vurdere hvor gyldig løsningene er elevenes skal få en økt forståelse av hva en likning er, og av hva den ukjente betyr
Utfordre elevene til å finne løsningen på flere måter: Dersom elevene har løst oppgaven uten å bruke likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du sette opp likninger som viser sammenhengen mellom griser og høns? Kan du løse likningssystemet? Ser du noen sammenheng mellom de ulike metodene du har brukt? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt. Dersom elevene har løst oppgaven ved hjelp av likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du finne en løsning ved å tenke systematisk uten å bruke likninger? Er det en sammenheng mellom måter å løse likninger på og praktisk tenking for å finne svarene? i så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt. Det er viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x og y for de ukjente, andre vil bruke g og h, mens noen kanskje vil skrive griser og høns. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x og y, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Om de bruker g og h, kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er. I oppgave 2 må elevene tenke logisk og prøve og feile, praktisk og/eller ved regning.
www.matematikksenteret.no Takk for meg!