UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-natuvitenskapelige fakultet Avsluttende eksamen i AST1100, 13. desembe 2016, 9.00 13.00 Oppgavesettet inkludet fomelsamling e på 7 side Tillatte hjelpemidle: 1) Angel/Øgim og Lian: Fysiske støelse og enhete 2) Rottman: Matematisk fomelsamling 3) Elektonisk kalkulato av godkjent type Konstante og fomelsamling fo kuset finne du bakest Mek: Figuene til oppgavene e ofte på en annen side enn selve oppgaven Væ nøye med å foklae fomlene du buke: nå du buke fomle fa fomelsamlingen, fokla veldig kot hvofo du buke denne fomelen og nevn hva symbolene i fomelen stå fo. Selv om svaet e iktig, gies det ikke poeng på en oppgave hvis man ikke vise at man ha fostått fysikken bak. Dette gjelde spesielt oppgave hvo svaet e oppitt. Hvis du buke fomle som ikke e oppgitt og som ikke e gunnleggende fysiske fomle dette skulle ikke væe nødvendig) så må fomlene vises. Det e totalt 10 deloppgave som alle telle likt. Spømålene kan besvaes på enten bokmål, nynosk elle engelsk. You may answe these questions in eithe Nowegian o English. 1
OPPGAVE 1: Femtidens vitenskapsmenn skal studee et sot hull. De sende to akette, omskip 1 og omskip 2 i samme etning ette hveande mot det sote hullet. De to akettene ble sendt ut fa joda med 30 dages mellomom målt på klokke på joda). Begge omskipene bevege seg langs den samme linja mellom joda og det sote hullet. Vi kalle disse to utskytingene fo event A og event B. I event A bli klokkene på joda og i omskip 1 satt til 0. I event B skje ette event A) bli klokkene i omskip 2 satt til 0. Romskip 1 ha en fat v 1 på 99% av lyshastigheten i fohold til joda. Romskip 2 ha en fat v 2 på 99.8% av lyshastigheten i fohold til joda. 10 dage ette oppskyting av omskip 2 målt på klokka i omskip 2), så fikk omskip 1 motopobleme. Vi kalle dette fo event C som altså skje i omskip 1. MåletvåteåfinneetuttykkfoavstandentileventCmåltfaomskip2 uttykt med tidspunktet t C tiden fo event C målt på klokkene på joda). a) Sett inn tidspunkte og posisjone til alle eventene A, B og C i de 3 foskjellige systemene joda: umeket, omskip 1: meket, omskip 2: dobbeltmeket). Sett inn tall fo koodinatene som e kjent og make de som e ukjent. Mek at fo koodinatene x C og x B kan du buke elasjone av typen x = vt fo å uttykke disse ved hjelp av ande kjente elle ukjente støelse. Begge omskipene e i oigo i sine espektive systeme og alle x-aksene ha positiv etning i eiseetningen. Du kan ikke buke likningene fo tidsfotynning elle lengdekontaksjon. Du vil finne at totalt 8 koodinate ha ukjent tallvedi. b) Du tenge nå tidspunkte og posisjone fa foegående oppgave. Hvis det e noen av disse du ikke fikk til så kan du finne på tall elle støelse fo disse og buke det i denne oppgaven. Du skal nå buke invaians av tidomsintevallet til å sette opp et uttykk fo avstanden mellom de to omskipene i det event C skje i ef. systemet til omskip 2) som en funksjon av t C som eneste ukjente. Du tenge kun ett tidomsintevall mellom to av eventene satt opp i to systeme) fo å finne uttykket. Mek at du kun skal egne ut denne avstanden som en funksjon av t C som e ukjent), du tenge ikke finne noen tallvedi fo avstanden elle fo t C 2
OPPGAVE 2: Nå omskip 2 e i en avstand = 237 km målt med langt-vekk-obsevatøens koodinate) fa det sote hullet så ha omskipet en hastighet på 10 5 km/s tangensielt på etningen mot det sote hullet og en adiell hastighetskomponent på 5 10 4 km/s bot fa det sote hullet. De oppgitte hastighetene e hastighete målt av en skallobsevatø som e ett ved omskipet. Du skal anta at det sote hullet ha en masse på 4 solmasse. a) Beegn total enegi pe masse E/m fo omskipet. Angi svaet i Joule pe kg. hint: Fo å kunne egne ut enegien tenge du gjøe en tansfomasjons fa et tidsintevall på langt-vekk-obsevatøens klokke til et tidsintevall på skallobsevatøens klokke) b) Hvis astonautene i dette øyeblikket skulle fått motopobleme, vil de 1) bli fanget av det sote hullet, 2) gå i bane undt det elle 3) unnslippe? Du få buk fo flee uttykk fa fomelsamlingen he, hint: potensialet) OPPGAVE 3: Du e i lab-systemet i posisjon x = 0 og se to bile som kjøe fa posisjon x = 0 ved t = 0 event 1) og komme fem samtidig i posisjon x = L ved en tid t = T L seneeevent 2). Koodinatene x og t he efeee til målinge i lab-systemet. Bil A kjøe med konstant hastighet v A = c/2 mens bil B akseleee fa v = 0 ved x = 0 slik at den komme til posisjon x = L samtidig som bil A. I det følgende skal du tegne noen tidom-diagamme. Vi e ikke inteesset i nøyaktige tall i denne oppgaven men omtentlig iktige elative avstande og helninge på vedenslinjene wold lines) fo å se at du ha fostått gunnleggende pinsippe. Fokla gjene med od i tillegg hvis tegningene bli utydelige. a) Du skal nå tegne 3 tidom-diagam. I alle diagammene skal du tegne 3 vedenslinje,enfodegselv,enfobilaogenfobilb.detføstediagammet e sett fa laboatoiesystemet, de ande e sett fa efeansesystemene til bil A og bil B. Du tenge ikke å tegne inn L og T L på aksene siden disse vil væe foskjellige i de foskjellige systemene. b) Sjåføene i de to bilene ha helt like klokke som tikke egelmessig. Sjåfø A ha nøyaktig 10 tikk på klokka fa event 1 til event 2. Det føste og siste tikket va nøyaktig på event 1 og 2. Tegn inn tikkene på klokkene til hve av sjåføene på hve sine vedenslinjene i det føste tidomdiagammet sett fa labsystemet) som pikke. Nøyaktig posisjon til pikkene e ikke viktig, men den elative avstanden mellom pikkene bø væe kvalitativ iktig. Det e også viktig at du foklae med noen setninge hvodan du tenkte nå du tegne inn pikkene. Minst halvpaten av poengene på denne deloppgaven bli gitt på foklaingen. Det kan væe vanskelig å tegne nøyaktig: hvis tegningen ikke e helt iktig men foklaingen e god så legge vi vekt på foklaingen. Hint 1: Buk maksimal alding til å avgjøe om det e flee elle fæe enn 10 pikke på linja til bil B, du kan selv velge hvo mange flee/fæe du tegne. Hint 2: Se på helningen til vedenslinja nå du tegne pikkene. 3
OPPGAVE 4: Idenneoppgavenskalvianslåhvomyeadientilkjenenienstjenemåkympe ette at hydogenfunsjon ha opphøt fo at heliumfusjon skal sette igang. Vi anta at kjenen bestå av 100% helium. Vi anta at stjenen e fo vam til at den bli degeneet mens den kympe. a) Du skal vise at tykket P C på oveflaten av kjenen til stjena gå omtent som P C M2 C R 4 C hvo M C og R C e massen og adien til kjenen. Du skal buke likningen fo hydostatisk likevekt på oveflaten til kjenen og anta at tykket gå som P C ) n som funksjon av avstand fa sentum), he e n et hvilket som helst positivt tall. Anta at tettheten i kjenen e unifom Nesten alle poengene på denne oppgaven komme fa foklaingene av mellomegningene. Det vil gi minimalt med poeng hvis du kun skive likninge uten foklainge som vise at du fostå. b) Buk svaet fa foige oppgave samt anta at vi ha ideel gass til å vise at kjenetempeatuen T C kan tilnæmes som T C M C R C anta at tempeatuen e den samme i hele kjenen). Igjen så e det foklaingene som det bli gitt poeng på. c) Du skal nå finne hvilken adius R C som kjenen til stjena må kympe til fo at heliumfusjon sette igang. Vi definee igangsetting av heliumfusjon nå luminositeten ha nådd samme luminositet som solas luminositet. Fø sammentekningen statet så va tettheten til kjenen ρ = 1.7 10 5 kg/m 3 og adiusen lik R C = 0.2R. Fo å buke et av uttykkene ove så tenge du å vite at solas kjene ha en masse M,C = 0.34M, en adius R,C = 0.2R og tempeatu T,C = 15 10 6 K OPPGAVE 5: I HR-diagammet fo en åpen hop i figu 1 e det tegnet inn 4 stjene A, B, C og D. Fokla hva som e hovedenegikilden til hve av disse stjenene? Hvis det e fusjon, fokla hvilket gunnstoff e det hovedsakelig som fusjonee og om dette skje i kjenen elle i skall undt kjenen. 4
Luminosity D B A C Effective tempeatue Figu 1: Fo oppgave 2. HR-diagam. Konstante og uttykk som kan væe nyttige: Lyshastigheten: c = 3.00 10 8 m/s Plancks konstant: h = 6.626 10 34 Js Gavitasjonskonstanten: G = 6.673 10 11 Nm 2 /kg 2 Boltzmanns konstant: k = 1.38 10 23 J/K Stefan Boltzmann konstant: σ = 5.670 10 8 W/m 2 K 4. Elektonets hvilemasse: m e = 9.1 10 31 kg Potonets hvilemasse: m p = 1.6726 10 27 kg Nøytonets hvilemasse: m n = 1.6749 10 27 kg Wiens foskyvnigslov: λ max T = 0.0029 m K 1 ev elektonvolt) = 1.60 10 19 J Massen til joda: M j = 5.97 10 24 kg Radien til joda: R j = 6378 10 3 m Solmassen: M = 2 10 30 kg Soladien: R = 6.98 10 8 m. Solas tilsynelatende magnitude: m = 26.7 Solas absolutte magnitude: M = 4.83 Solas luminositet: L = 3.827 10 26 W Solas foventede levetid: t life = 10 10 å Massen til Jupite: 1.9 10 27 kg Tempeatuen på solens oveflate: 5780 K Astonomisk enhet: 1AU = 1.5 10 11 m Hubblekonstanten: H 0 = 71 km/s/mpc lyså: 1 ly = 9.47 10 15 m pasec: 1 pc = 206265 AU = 3.27 ly 5
Fomle vi ha bukt/utledet i kuset: ståling/magnitude/avstande: Bν) = 2hν3 1 de c Iν) = 2 e hν/kt) 1 cosθdωdadtdν L = de dt F = de dadt F = σt 4 v = H 0 d p m 1 m 2 = 2.5log F1 10 m M = 5log 10 F 2 ) M V = 2.81log 10 P d 1.43 spesiell elativitetsteoi: s 2 = t 2 x 2 c µν = ) λ = 1+v 1 v 1 λ d 10pc λ max T = 0.0029 m K γ el v el γ el 0 0 v el γ el γ el 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 stjeneutvikling, begynnelsen/hovedseien: ) V µ = γ1, v) ) 3/2 < E K >= 3 2 kt N = M 5kT µm H M J = Gµm H ρ) d2 dt = ρ)g) dp) 2 d P = ρkt µm H P = 1 3 at4 ρ = at 4 < K >= 1 2 < U > geneell elativitetsteoi: ) t 2 2 1 2M s 2 = 1 2M t shell = 1 2M t E m = 1 2M t = E/m 1 2M ) = ± E m V eff ) m ) dt dτ 2 φ 2 Mm M kg = G c 2 shell = 1 2M L m = 2dφ dτ L/m τ φ = τ 2 [ ) 2 1+ L/m 1 = ) [ 2M 1+ L/m)2 ) 1 1 2M = ± 1 2M φ = ± L/E V eff = 1 1 2M 1 2M ) ] 2 1 ) 2M τ V eff ) m = 1 L/m) 2 2 M 2 2 ] ) L/E) 2 t ) 2 t b = L p φ = 4M R θ E = cit = L/m)2 2M b cit = 3 3M ) 1/2 3 4πρ ) 1 1 12M2 L/m) 2 4Md souce d lens ) d lens d souce 6
kjeneeaksjone: U = 1 Z AZ Be 2 4πǫ 0 ε AB = ε 0 X A X B ρ α T β ε pp ε 0,pp XH 2 ρt4 6 ε 0,pp = 1.08 10 12 Wm 3 /kg 2 ε CNO = ε 0,CNO X H X CNO ρt6 20 ε 0,CNO = 8.24 10 31 Wm 3 /kg 2 ε 3α = ε 0,3α ρ 2 XHe 3 T41 8 ε 0,3α = 3.86 10 18 Wm 6 /kg 3 stjenes egenskape/siste stadie i stjeneutvikling: L M 4 t 1/M 3 M Teff 2 E F = h2 3ne 8m e π T < h2 3 ) 2/3 n 2/3 12m e ek π P = ) 3 2/3 h 2 π 20m e n 5/3 e P = hc 3 1/3n 4/3 8 π) e < E K >= 3 5 E F R WD ) ) 3 4/3 5/3M h 2 Z 1/3 3/2 2π 20m eg Am H M Ch hc ) 3/2 ) 2 Z 2π G Am H 1.4M ) 2/3 7