1 Høgskolen i Sør-Trøndelag Avdeling for lærer- og tolkeutdanning Individuell skriftlig eksamen i MATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA111 111-B 10 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 9.05.09. Sensur faller innen.06.09. BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb samtidig med registrering av sensur i studentdatabasen, senest første virkedag etter sensurfrist (dvs. 3.06.09). (Se http://www.hist.no/studentweb/). Vi gjør oppmerksom på at frist for eventuelt å be om begrunnelse er 1 uke fra karakteren er bekjentgjort iht. endring i lov om universiteter og høgskoler. Se felles oppslagstavle i its:learning Begrunnelse NY FRIST. Timer: 4 Hjelpemidler: Kalkulator og utdelt artikkel (Gravemeijer & Doorman, 1999). Informasjon: Oppgavesettet er på fem sider og består av fire oppgaver som alle skal besvares. Oppgavene vektes i utgangspunktet i følge prosentangivelse gitt i parentes etter oppgavenummeret, men ved endelig karaktersetting vil en helhetsvurdering av besvarelsen legges til grunn. Oppgave 1 (15 %) I en følge med figurer som fortsetter i det uendelige er det n-te elementet gitt ved b = 5 + 4 n, n Ν. n a) Lag et figurmønster som er i samsvar med formelen ovenfor (tegn de tre første elementene). Illustrer (f.eks. ved dekomponering el. fargelegging) hvordan ulike deler av figurer i mønsteret er referanser for algebraiske symboler i formelen for det generelle elementet i følgen. b) Representer figurmønsteret gjennom et dynamisk system som beskriver forandring fra en figur til neste. Hvilken type vekst er det i mønsteret? c) Vis ved regning at 9 + 1 + 0 + L + 8n 4 = 5 + 4n. Kommenter svaret. Oppgave (30 %) Figur 1 på neste side illustrerer posisjonene til ei kule som triller nedover et skråplan (tiden t målt i sekunder; strekning målt i meter).
a) Finn et matematisk uttrykk som representerer strekningen kula har trillet som funksjon av tiden som har gått etter at den ble sluppet. Figur 1: Kule som triller nedover et skråplan b) Ifølge Galilei (som sitert i Gravemeijer & Doorman, 1999) er forholdet mellom distansene som kula tilbakelegger i to like tidsintervaller 1:3. Gi eksempler som viser at dette stemmer for Figur 1. c) Galilei påstår at forholdet mellom distansene som tilbakelegges i like tidsintervaller for ei kule som triller nedover et skråplan er bestemt av følgen av oddetall. Forklar hvilken sammenheng det er mellom følgen av oddetall og det matematiske uttrykket du fant i a). d) Tenk deg at du skal ha undervisning der kunnskapsmålet for elevene er sammenhengen mellom strekning, tid og fart for ei kule som triller nedover et skråplan. Definer begrepet fart slik du vil bruke det i din undervisning. Gjør rede for viktige elementer i en undervisningssekvens som tar sikte på å la elever (ungdomstrinn/videregående skole) lære begrepet momentan fart gjennom guidet gjenskapelse og progressiv matematisering (Freudenthal, som sitert i Gravemeijer og Doorman, 1999). Vær konkret og vis oppgaver/aktiviteter du vil la elevene jobbe med. Begrunn dine avgjørelser. Oppgave 3 (5 %) Newtons avkjølingslov sier at dersom vi plasserer et objekt i et rom med konstant temperatur, så vil endringsraten til temperaturen i objektet være proporsjonal med differensen mellom temperaturen i objektet og temperaturen i rommet. Ine Marie tar med seg en kopp te ut på terrassen og setter seg og leser Stortingsmelding nr. 30, 008-009 (Klima for forskning). Temperaturen i teen er 74, C i det hun setter fra seg tekoppen på terrassen. Lufttemperaturen på terrassen denne ettermiddagen er konstant 18 C. Det er interessant lesing og Ine Marie glemmer teen. Etter 30 minutter er temperaturen i teen 58,4 C.
3 a) Bruk Newtons avkjølingslov og finn, ved å sette opp og løse en differensiallikning, en modell for temperaturen i teen som funksjon av tiden som er gått etter at Ine Marie satte den fra seg på terrassen. b) Regn ut hvor lang tid det vil ta før temperaturen i teen er 50 C. Oppgi svaret i minutter og sekunder. c) Endringsraten for temperaturen i teen er størst i starten og avtar deretter. Forklar hvorfor. d) Regn ut hvor stor temperaturendring det er i teen per tidsenhet etter 30 minutter. Forklar hvordan det også går an å finne ut dette på en måte som elever på ungdomstrinnet kunne ha gjennomført. Oppgave 4 (30 %) Som et ledd i dekanens ønske om å styrke matematikkfaget i lærerutdanningen v/hist, ble matematikkseksjonen høsten 008 bedt om å teste studentenes kunnskaper i matematikk. Oppdraget gikk ut på å gjennomføre en pretest så tidlig som mulig i semesteret for studenter som tok det obligatoriske grunnkurset. Resultatet av pretesten skulle så være retningsgivende for hvilke studenter som hadde behov for styrking i faget. Matematikkseksjonen utarbeidet en pretest og en posttest (som skulle gis ved en senere anledning). I tilknytning til pretesten ble det også stilt noen spørsmål om studentenes holdninger til matematikkfaget og hvilke oppfatninger de har av faget som undervisningsfag. Her kunne de svare på en skala fra 1 ( i liten grad ) til 6 ( i stor grad ). I alt 6 studenter deltok på pretesten. I korrelasjonsmatrisen under framgår sammenhenger mellom poengsummen studentene fikk på pretesten og noen bakgrunns- og holdningsvariable. Korrelasjonsmatrise Sum antaar liker fornoyd_gr pugg Forklaring Sum 1 Oppnådd poengsum på pretest antaar 0,393 1 Ant. år med matematikk etter gr.skole liker 0,60 0,314 1 I hvor stor grad en liker matematikk Grad av fornøydhet med underv. i matematikk i gr.skolen fornoyd_gr 0,473 0,073 0,503 1 pugg -0,186-0,116-0,11-0,101 1 Grad av enighet i utsagn 1 (se under) egen_losn 0,14-0,011 0,137 0,168-0,09 Grad av enighet i utsagn (se under) Utsagn 1: Matematikk dreier seg i hovedsak om å pugge regler og sette inn formler Utsagn : Lærere bør oppfordre elever til å finne egne løsninger på matematiske problemer selv om de er mindre effektive For utsagn 1 ble f.eks. resultatet slik: I liten grad I stor grad 1 3 4 5 6 Antall 1 71 7 39 19 4 % 9,3 31,4 31,9 17,3 8,4 1,8 a) Gi en tolkning av korrelasjonene mellom sum (poengsum) og liker og sum og pugg. Hvilken sammenheng ser det ut til å være mellom liker og pugg?
4 Korrelasjonskoeffisienten mellom sum (poengsum) og liker er høyere enn mellom sum og fornoyd_gr. Hva innebærer dette i praksis? b) En prøver å beskrive sammenhengen mellom oppnådd poengsum og variabelen antaar. Det settes opp følgende regresjonsmodell: Modell 1: Y= β 0 + β1 X 1 + ε Gi en kort forklaring på hva disse fem symbolene i modell 1 beskriver. c) Dette gir følgende utskrift i Excel: Multippel R 0,398 R-kvadrat 0,1543 kvadrat 0,1505 Standardfeil 13,199 Observasjoner 6 Variansanalyse fg SK GK F Signifkans-F Regresjon 1 7117,77871 7117,8 40,9 9,386E-10 Residualer 4 390,036 174,1 Totalt 5 46139,983 Koeffisienter Standardfeil t-stat P- verdi Skjæringspunkt,017 1,9307996 11,404 0,000 antaar 5,966 0,886163 6,391 0,000 Sett opp regresjonslikningen med bakgrunn i denne tabellen. Tolk koeffisienten foran antaar. Test H 0 : β 1=0 mot H 1 : β1 0. Signifikansnivå 5 %. Modell 1 gir en R-kvadrat på 0,1543. Hva uttrykker denne størrelsen? Standardfeil er lik 13,199. Hva uttrykker denne, og hvordan kan den ellers finnes av utskriften? d) En ønsker å utvide modellen med variabelen liker. Modellen blir da: Modell : Y= β 0 + β1 X 1 + β X + ε Utskriften i Excel gir: Multippel R 0,6387 R-kvadrat 0,4079 kvadrat 0,406 Standardfeil 11,068 Observasjoner 6
5 Variansanalyse fg SK GK F Signifkans-F Regresjon 1881,5646 9410,8 76,8 4,170E-6 Residualer 3 7318,4177 1,5 Totalt 5 46139,983 Koeffisienter Standardfeil t-stat P- verdi Skjæringspunkt 4,379,444159 1,806 0,07 antaar 3,048 0,7319439 4,1646 0,000 liker 5,974 0,611098 9,7743 0,000 Hva blir hhv. ˆβ 1 og ˆβ? Sett opp regresjonslikningen, og gi en tolkning av ˆβ 1 og ˆβ. Test H 0 : β =5 mot H 1 : β 5. Signifikansnivå 5 %. Det opplyses at t α 1,96. Hvor mange standardavvik er ˆβ fra hypoteseverdien? e) En utvider modellen med variablene hhv fornoyd_gr og pugg. Modell 3: Y= β 0 + β1 X 1 + β X + β3 X 3 + β4 X 4 + ε Utskriften i Excel gir: Multippel R 0,681 R-kvadrat 0,4637 kvadrat 0,454 Standardfeil 10,581 Observasjoner 6 Koeffisienter Standardfeil t-stat P-verdi Skjæringspunkt 1,766 3,481 0,507 0,6148 antaar 3,56 0,706 4,61 6,7E-06 liker 4,374 0,679 6,443 7,E-10 fornoyd_gr,853 0,65 4,375 1,9E-05 pugg -1,075 0,615-1,748 0,08181 Hvilken av modellene 1, og 3 mener du forklarer variasjonen i oppnådd poengsum best? Begrunn. Lykke til!