MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t + t + 4 t(t + ) = A t + Bt + C t + (Graden i tellerne er mindre enn graden i nevnerne) Vi multipliserer teller og nevner på begge sider med t(t + ) og får 3t + t + 4 = A(t + ) + (Bt + C)t = (A + B)t + Ct + A Når to polynom er like må de ha de like koeffisienter Dermed får vi som gir A = 4, C = og B = Nå kan vi starte integrasjonen = 3t + t + 4 t(t + ) dt = ( 4 t + t t + + t + ) dt 3 = A + B, = C, 4 = A, ( 4 t + t + t + ) dt =(4 ln(t) ln(t + ) + arctan(t)) =(4 ln( 3) ln(4) + arctan( 3)) ( ln() + arctan()) = ln(3) ln() + π 3 Siste brøk splittes Litt om delbrøkoppspalting For å forstå fullt ut hvorfor ting ser ut som de gjør når vi foretar delbrøkoppspalting, trenger vi et videregående kurs i algebra Vi vil her se på et enkelt tilfelle La p() ( a)q() være en rasjonal funksjon med grad p < grad q La oss skrive p() ( a)q() = A ( a) + r() q() Finnes det alltid A og polynom r() med grad r < grad q slik at denne likninga er oppfylt? Den siste likninga er ekvivalent med likninga (multipliser med ( a)q()) p() = Aq() + ( a)r() Nå setter vi = a og får p(a) = Aq(a) +, dvs A = p(a)/q(a) Da ser vi at p(a) p() q(a) r() = q() ( a) Siden telleren blir null i = a, vil divisjonen gå opp og r() blir et polynom med grad r grad p
I oppgaven ovenfor er a =, p() = 3 + + 4 og q() = + Da får vi A = p()/q() = 4/ = 4 Oppgave 9: Oppgave 9: 47 Oppgave 9: Vi har A(, ), B(, ) og C(, ) Vektorene mellom hjørnene blir AC =<, > og BC =<, 3 > Ved formelen side 79 får vi cos( A) = Dermed får vi A = 63, 43 Tilsvarende får vi og cos( B) = AB AC AB AC = 3 + ( ) = 8 5 BA BC BA BC = cos( C) = slik at B = 53, 3 og C = A Oppgave 9: 3 De to diagonalene er ortogonale hvis og bare hvis AB BC AB BC = 3 5, CA CB CA CB =, 5 = ( v + v ) ( v v ) = v v v = v, dvs de to vektorene har samme lengde AB =< 3, >, Oppgave 9: 43 Gitt to linjer 3 4y = 3 og y = 7 Fra oppgave 9: 5 (forelest) har vi at vektorene < 3, 4 > og <, > er normale til linjene Vinkelen θ mellom linjene blir dermed lik vinkelen mellom disse normalene < 3, 4 > <, > cos(θ) = < 3, 4 > <, > = 7 5 Vi får θ = arccos( 7 5 ) = 8, 3 (Alternativt kan vi regne ut de to stigningstallene og ta differansen) Ved å se på de to formlene for linjene som to likninger med to ukjente, kan vi løse likningssystemet Da får vi = 5 og y = 8, så linjene skjærer hverandre i (5, 8) Oppgave 93: 9 Vi har gitt posisjonsvektor r(t) =< cos(t), sin(t) > og vi skal finne vinkelen mellom hastighetsvektoren og akselerasjonsvektoren Derivasjon git hastighetsvektor og akselerasjonsvektor v(t) = r (t) =< sin(t), cos(t) >, a(t) = r (t) =< cos(t), sin(t) >
Innsatt t = π/4 får vi v(π/4) =<, / > og a(π/4) =<, / > Vinkelen θ mellom vektorene blir cos(θ) = / = 3 5/ 5/ 5 Dette gir θ = arccos(3/5) = 53, 3 Oppgave 93: 3 Vi har gitt r (t) =< t 3, (t 3) >, og r (t) =< 3t/ 4, 3t/ > a) Partiklene kolliderer hvis de er på samme sted til samme tid, dvs hvis likninga r (t) = r (t) har løsning Denne likninga er egentlig to likninger t 3 = 3t 4 (t 3) = 3t Vi kan skrive likningene som t 6 = 3t 8 og t 6t + 9 = 3t/, som kan skrives som t = og (t )(t /) = Dette viser at r () = r () b) Retningene til partiklene ved kollisjonen er r () =<, > og r () =< 3/, 3/ > Tegn de to vektorene ut fra kollisjonspunktet r () =<, > (De to kurvene partiklene følger er en parabel y = og en rett linje y = + ) Oppgave : 47 Svar A(4, 3, 5) AB =<, 4, > fås ved å ta B s koordinater og trekke fra A s koordinater Oppgave : 54 Svar ( ) + (y 3) + (z + 4) = 5 Oppgave : Vi har gitt v =<, 4, 5 > og u =<, 4, 5 > Formelen side 797 gir v u cos(θ) = v u = ( ) + ( 4)4 + 5( 5) = 5 5 Det betyr at θ = π Vi får videre v u proj v u = ( ) v = v = u v v Oppgave 3: 9 Linja = 5 + t, y = + 3t og z = 4t har retningen n =<, 3, 4 > Punkt P (, 4, 5) Linja gjennom P rettvinklet på linja blir planet med normalvektor n, dvs ( ) + 3(y 4) + 4(z 5) = Oppgave 3: 33 Vi bruker formel fra oppgave 3: 3 Punkt S(,, ) og plan 4y +3z = Normalvektoren til planet er n =<, 4, 3 > Vi velger et punkt i planet feks P (, 3, ) Vektoren P S =<, 4, > skal nå brukes til å beregne avstanden Avstanden fra S til planet blir d = P n + 4( 4) + 3( )) S = ( = 9 n 5 5 3
På forelesningen har jeg vist at avstanden fra et punkt P (, y, z ) til et plan A + By + Cz = D er d = (A +By +Cz ) D A Positivt fortegn viser at P ligger på den sida som +B +C n =< A, B, C > peker mot Oppgave 3: 4 Linje = t, y = 3t og z = + t og plan y + 3z = 6 Vi setter linja inn i planet ( t) (3t) + 3( + t) = 6, og får skjæring når t = / Skjæringspunktet blir (setter t = / inn i formelen for linja) (3/, 3/, /) Eksamen desember 999: { sin() Definer funksjonen f() =, for, for = (a) Beregn f () f() f() Beregn f () f () f () Forslag til løsning: Begge grensene blir beregnet ved bruk av L Hôpitals regel Den første: f f() f() () sin() cos() = sin() = sin() Før vi starter på den andre grenseberegningen, må vi derivere f() utenfor origo Vi får f () = cos() sin(), som innsatt gir: = cos() sin() f () cos() sin() 3 = sin() sin() 3 = 3 3 Eksamen desember 999: 4 (a) Løs differensiallikninga y y = arctan() + (b) Beregn integralet arctan() + d (c) La f() = arctan() + Vis at f () = har nøyaktig en løsning når > Bruk Newtons metode til å finne en tilnærmet løsning av f () = når > (Du kan velge = 8 Det er nok å foreta iterasjoner) Forslag til løsning: (a) Vi har gitt en lineær ordens likning y + P ()y = Q(), der P () = og + Q() = arctan() Først regner vi ut (merk at = ( + ) slik at substitusjonen u = + fungerer) R v() = er P () d du = e u = e ln(u) = e ln(+) = + 4
Deretter skal vi regne ut (merk at vi kan bruke substitusjonen u = arctan() slik at du = d ) + arctan() v()q() d = + d = u du = u + C = arctan () + C Da får vi løsningen y() = v()q() d = ( + )(C + v() arctan ()) (b) Samme substitusjon som i (a), u = arctan(), gir arctan() b + d b arctan () b arctan (b) = (π ) = π 8 (c) Vi har gitt funksjon f() = arctan() + Derivasjon gir f () = ( + ) arctan() (+ ) arctan() ( + ) = ( + ) Vi ser at f () = arctan() = (Tips: Tegn grafene til og arctan()) Vi skal bare se på hva som skjer i intervallet (, ), og der er arctan() strengt voksende og strengt avtagende Derfor har likninga f () = høyst en løsning Siden > arctan() når er nær, og < arctan() når blir stor, så finnes minst en løsning Vi skal bruke Newtons metode for å finne tilnærmet verdi av løsningen til f () =, dvs vi skal finne tilnærmet verdi av løsningen til arctan() = Sett h() = arctan() og g() = h() h () Vi er bedt om å sette = 8 og regne ut = g( ) og = g( ) h () = arctan() Ved å taste inn tallene i lommekalkulatoren, + har jeg fått = 76577 og = 765379 Litt om polynomer La p() = a + a + a + a 3 3 + + a n n Vi setter = og får a = p() Vi deriverer og får p () = a + a + 3a 3 + Setter vi nå =, får vi p () = a Ny derivasjon gir p () = a + 3 a 3 + Vi setter = og får a = p () Mønsteret som framtrer er at a k = p(k) () for alle k =,,,, n Dermed kan vi skrive ethvert polynom på formen n p (k) () p() = k k= Når vi skal lage Taylor-polynomer, så imiterer vi denne formelen Hvis f() er mange nok ganger deriverbar, så definerer vi Taylor-polynomet til f i punktet a av grad n som n f (k) (a) p(n, a, ) = ( a) k k= Merk at Taylorpolynomet av grad er p(, a, ) = f(a)+f (a)( a) dvs tangentlinja For svært mange funksjoner får vi at f() n p(n, a, ) For eksempel e = k= k 5