DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Tirsdag 5 desember 205 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator. Bokmål Utkast med løsningsforslag, 5. desember 205. Merk at faglærer ikke vil gå en runde i eksamenslokalet under eksamen. Er det ting i oppgaven du synes er uklart eller tvetydig så gjør fornuftige, faglig baserte antakelser. Husk å ta de med i besvarelsen. Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 00 poeng. Med 240 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruære å bruke ca 0 minutt for hver 5 poeng, da har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Merk at oppgavene eller deloppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på 3 oppgaver, i tillegg er det med noen nyttige formler i del 4 side 2. Oppgavesettet er totalt 2 sider (inkludert denne forsida).
T v m v c p,v T r T p Q v Q p Q r T v, T p, T r - temperatur i henholdsvis vann, plate og rom [K Q v, Q p, Q r - eekt tilført henholdsvis vann (fra plate), plate (fra elektrisk varmeelement), og rom (fra plate). Enhet [W eller [J/s c p,v, c p,p - Spesikarmekapasitet i vann og plate [J/K kg, k r - varmeoverføringskonstant for overgang fra kokeplate (og kokekar) til henholdsvis vann og rom [W/K m v, m p - masse av henholdsvis vann og plate (med kokekar) [kg Kokekar Figur : Prinsippskisse av kokekar. (Antall poeng for denne oppgaven er 5+5+5+5+5+5 = 30) En kan her tenke seg at prosessen er et kokekar som i gur side 2. Merk at symbolet T brukes for tidssteg, mens alle T-er med subscript er temperaturer, i.e. T v, T p og T r. a. Sett opp energibalansene (for vannet og for kokeplata), og nn dierensialligningene for temperaturen i vannet og i kokeplata. Tips: Tenk enkelt og pass på at enhetene stemmer, energi-innholdet har enhet Joule [J. Energibalanse: Endring i energi = sum av tilført energi - sum av avgitt energi. 2
Her får en da for vannet E t = (m vc p,v T v ) t = Q v, (.) og når en ordner dette får en dierensialligning for tilstand T v. T v = Q v m v c p,v (.2) For plata får en E t = ( T p ) = Q p Q v Q r, (.3) t og når en ordner dette får en dierensialligning for tilstand T p. T p = Q p Q v Q r (.4) b. Sett modellen opp på tilstandsromform: ẋ = Ax + Bu, y = Dx. En har tilstandene T v og T p og en har pådragene Q p som en kan variere og T r som er fast. Målingen er temperatur i vannet. En ignorerer eventuell støy foreløpig. Hensikten med dette kan være at en ved å gjennomføre en eller ere kontrollmålinger kan bekrefte, eller avkrefte, modellen med tilhørende konstanter. Dermed kan en eventuelt senere estimere temperaturen i vannet (uten målinger) ut fra en kjent mengde vann og starttemperatur og eekten på plata. Varmeoverføringene Q v og Q r er gitt av temperaturdieransen, mens Q p er et pådrag som styres. En har Q v = (T p T v ) og Q r = k r (T p T r ). Med dette innsatt i dierensialligningene i a får vi T p = T v = (T p T v ) = T v + T p (.5) m v c p,v m v c p,v m v c p,v T p = Q p (T p T v ) k r (T p T r ) (.6) T v + k r T p + Q p + k r T r (.7) Her har en tilstandene og pådragene gitt som [ [ Tv T x = ẋ = v T p T p u = [ Qp T r 3
og nå har vi tilstandsligningen [ ẋ = Ax + Bu = m vc p,v m vc p,v kv+kr [ x + 0 0 k r u (.8) og måleligningen blir y = Dx = [ 0 x (.9) c. Hvilken type modell er dette (orden/lineær/ulineær/kontinuerlig/diskret)? Modellen er nå en lineær, kontinuerlig, andre ordens modell. d. Diskretiser modellen med Eulers forovermetode med samplingstid T. Diskretisering av modellen med Eulers forovermetode med samplingstid T gjøres ut fra følgende ligning: x(k + ) = x(k) + T ẋ(k) (.0) Fra dierensialligningene i b, (.5) og (.7), får vi da T v (k + ) = T v (k) T T v (k) + T T p (k) (.) m v c p,v m v c p,v T p (k+) = T p (k)+ T ( ) T v (k) ( +k r )T p (k)+q p (k)+k r T r (k) (.2) e. Sett modellen opp på diskret tilstandsromform og vis at [ T Φ = m vc p,v T T m vc p,v T (kv+kr) (.3) Modellen på diskret tilstandsromform er: x(k + ) = Φx(k) + Γu(k), (.4) y(k) = Dx(k) (.5) 4
Her tar vi ikke med direktekoblingsleddet Eu(k) i måleligningen. Med tilstander og pådrag denert som i (.8) og diskretisering som i (.) og (.2) får vi den diskrete tilstandsligningen x(k + ) = [ T m vc p,v T T m vc p,v T (kv+kr) [ x(k) + 0 0 T T k r u(k) (.6) og måleligningen blir y(k) = [ 0 x(k) (.7) f. Dere skal nå utlede formelen for z-transferfunksjonen fra u til y i en generell diskret tilstandsrommodell. Det vil si h(z) i uttrykket y(z) = h(z)u(z). Hint og advarsel: Ta z-transform av den diskrete tilstandsrommodellen, ut fra tilstandsligningen kan en nå nne et uttrykk for x(z), og dette kan en sette inn i måleligningen, og da skal en være ved målet. Gi transferfunksjonen kun med å bruke matrisene Φ, Γ og D, det vil si la svaret være helt generelt, og ikke sett inn for kokekarsystemet her. (Svar med kokekarsystemet, Φ som i (.3), og også innsatt for Γ og D blir gjerne mye mer omfattende, men skal altså ikke gjøres her, den oppgaven spares til en senere anledning.) Tar z-transform av (.4), som er en kompakt notasjon for (.6), og får Tar z-transform av måleligningen (.5) som blir og når vi setter inn for x(z) her får vi Altså har en zx(z) = Φx(z) + Γu(z) (.8) (zi Φ)x(z) = Γu(z) (.9) x(z) = (zi Φ) Γu(z) (.20) y(z) = Dx(z) (.2) y(z) = D(zI Φ) Γu(z) (.22) h(z) = D(zI Φ) Γ (.23) Dette er formelen en spurde etter i oppgaven, hint gitt i oppgaven forklarer hva som skal gjøres og at en er ved målet når en har satt formel (.20) inn i (.2). 5
2 Adaptivt lter, LMS (Antall poeng for denne oppgaven er 5+5+5+0+5+5 = 35) En skisse som viser problemstillingen ved adaptiv ltrering er i gur 2. d(k) x(k) Adaptivt lter ˆd(k) + + w(k) - w(k + ) Algoritme e(k) Figur 2: Prinsippskisse for adaptiv ltrering. Det adaptive lteret er gitt ved lterkoesientene som her er samlet i en kolonnevektor w med lengde N. Filterkoesientene kan endres for hvert tidssteg, notasjonen w(k) i guren viser at det er koesientene ved steg k. a. Forklar hva de andre symbolene i guren representerer. Altså forklar hva x(k), ˆd(k), d(k) og e(k) er. Inngangsignalet til det adaptive lteret er x(k). Utgangsignalet er ˆd(k), det er en vekta sum av inngangsverdier og tidligere inngangsverdier, vektene er lterkoesientene. Dette ønskes så likt som mulig til et referansesignal d(k). Feilen, eller avviket mellom lterutgang og ønsket signal, er da e(k). b. De inngangsverdiene en bruker ved steg k samles gjerne i en vektor x(k) med lengde N. Skriv uttrykket, formelen, som brukes for å beregne ˆd(k) når en har w(k) og x(k). ˆd(k) = N i=0 w i (k)x(k i) = x T (k)w(k). (2.) c. Når vi utledet LMS algoritmen i forelesningen brukte vi bratteste nedstignings 6
metode på en funksjon som gitt nedenfor f(w) = e T e = (d Xw) T (d Xw). (2.2) og kk oppdateringsligningen w(k + ) = w(k) µ f(k), f(k) = f(w(k)). (2.3) Forklar hvordan prinsippet for bratteste nedstignings metode brukes for å gå fra ligning 2.2 til ligning 2.3. Forklar også symbolene som er brukt i disse to ligningene. Når en har klargjort hva alle symbolene betyr blir det enkelt å forklare prinsippet for bratteste nedstignings metode. Prinsippet for bratteste nedstignings metode er å ta utgangspunkt i de lterkoesientene en har og så endre disse i motsatt retning av den deriverte, eller mer presist gradienten. En får da oppdateringsligningen 2.3. Steglengden er µ og denne bør velges passe stor. I ligning 2.2 er w en (hvilken som helst) vektor med lterkoesienter. Funksjonen viser sum av kvadrert feil hvis en hadde brukt lterkoesientene w i de forrige (L) tidssteg. Dermed er e = e(k) en L vektor (ved steg k) for feilen i de forrige L tidssteg. d = d(k) en L vektor (ved steg k) for ønsket signal i de forrige L tidssteg, mens X = X(k) er ei L N matrise der hver linje er de inngangsverdiene som brukes i lteret i hvert tidssteg. Denne linja skrives oftest som x T (k). e = e(k) e(k ). e(k L + ), d = d(k) d(k ). d(k L + ), X = x T (k) x T (k ). x T (k L + ) x(k) x(k ) x(k N + ) x(k ) x(k 2) x(k N) X =....... x(k L + ) x(k L) x(k L N + 2) d. Oppdateringsligningen 2.3 kan utvikles videre til en får w(k + ) = w(k) + µ E[e(k)x(k). (2.4) I denne deloppgaven skal dere vise hvordan en går fra oppdateringsligningen 2.3 til oppdateringsligningen 2.4. Det kan være litt krevende å gjøre en fullgod 7
utledning, så hvis du ikke får det til så forklar de ulike steg i utledningen så godt du kan. Og om du heller ikke klarer det kan du gå videre til neste delspørsmål. En kan bruke følgende formler fra lineær algebra (x T Ax) x = 2Ax (2.5) (b T x) x = (xt b) x = b (2.6) Første steg er å nne gradienten til f i ligning 2.2. For enkelhets skyld skriver vi nå w i stedet for w(k) og får f(k) = f(w(k)) = f(w) w = [ (d T w T X T ) (d Xw) w = [ d T d w T X T d d T Xw + w T X T Xw w = [ w T (X T X)w 2(d T X)w w f(k) = 2(X T X)w(k) 2(X T d) (2.7) Negativ retning av gradienten er da gitt med (faktoren 2 fjernes) f(k) = X T d X T Xw = X T (d Xw) = X T e. (2.8) Andre steg er å multipliserer uttrykket for gradienten (ligning 2.8) med en passende faktor, for eksempel /L, dette kan en gjøre siden det kun er retningen for gradienten en er interessert i. f(k) = ( L XT d) ( L XT X)w = L XT e (2.9) f(k) = ˆr dx ˆR x w(k) = ˆr ex. (2.0) Her har vi brukt at det som står inni parentesene er estimat for krysskorrelasjon og autokorrelasjon. Husk at denisjonen på krysskorrelasjon, for Wide Sense Stationary signaler (prosesser), er r xy (l) = E[x(n)y(n l) = lim M 2M + M n= M x(n)y(n l). (2.) Når en i stedet for estimatet for krysskorrelasjon ˆr ex bruker (sann) verdi for krysskorrelasjon r ex = E[e(k)x(k) får en ligning 2.4. 8
e. Ta utgangspunkt i oppdateringsligning 2.4 og skriv ned oppdateringsligning for LMS algoritmen. I LMS-algoritmen bruker en et estimat av r ex og en bruker faktisk det enkleste estimatet en kan nne, det en får ved kun å bruke verdiene fra siste tidssteg, altså E[e(k)x(k) blir bare (siste observasjon/måling) e(k)x(k). LMS oppdateringsalgoritmen er da w(k + ) = w(k) + µ e(k)x(k) (2.2) f. Forklar litt om viktigheten av å velge passende verdi for µ. Hva skjer hvis µ er for liten? Hva skjer hvis µ er for stor? Hva er (teoretisk) riktig område å ha µ innenfor og hvordan kan en i praksis nne øvre grense for µ hvis x(k) er WSS (Wide Sense Stationary). Valg av µ er viktig, for liten verdi og algoritmen konvergerer sakte og for stor verdi og algoritmen hopper for mye i hytt og vær. For WSS-prosesser så vil LMS algoritmen konvergerer (for middelverdi) hvis 0 < µ < 2 λ max (2.3) der λ max er største egenverdi for R x. Denne er ikke alltid enkel å nne, men en kan for eksempel bruke at λ max N i= λ i = tr(r x ) = N E[ x(k) 2, hvis x(k) er WSS. 3 Estimering av en konstant (Antall poeng for denne oppgaven er 0+0+5 = 35) I denne oppgaven har en et Kalmanlter i sin aller enkleste form. En har ingen pådrag, prosessen er konstant og inneholder en tilstand (det er konstanten) som måles i hvert tidsssteg. Det er målestøy, varians σ 2, men ikke prosesstøy. Modellen er da x(k + ) = x(k) (3.) y(k) = x(k) + w(k) (3.2) En starter ved tidssteg k = 0 og måler da verdien y(0). Nå settes initialverdiene for Kalman-lteret, ˆx(0) = y(0) og ˆP (0) = σ 2. 9
a. For første tidssteg startes Kalman-lteret, for k = får vi målingen y(). Hva blir nå aposteriori tilstandsestimat og kovariansestimat? Når Kalman-lteret startes, for k =, får vi fra ligningene gitt i siste del (formelarket) i oppgaven. Aposteriori tilstandsestimat er ˆx() og kovariansestimat er ˆP (). x() = Φˆx(0) = ˆx(0) = y(0) (3.3) P () = ˆP (0) = σ 2 (3.4) K() = σ 2 (σ 2 + σ 2 ) = /2 (3.5) ˆx() = x() + K()[y() Dx() (3.6) = y(0) + y(0) + y() [y() y(0) = 2 2 (3.7) ˆP () = ( /2) P () = 2 σ2 (3.8) b. For neste tidssteg, k = 2, får vi målingen y(2). Hva blir nå aposteriori tilstandsestimat og kovariansestimat? x(2) = ˆx() = (y(0) + y()) (3.9) 2 P (2) = ˆP () = 2 σ2 (3.0) K(2) = 2 σ2 ( 2 σ2 + σ 2 ) = /2 3/2 = 3 Og dermed får vi for aposteriori tilstandsestimat og kovariansestimat (3.) ˆx(2) = x(2) + K(2)[y(2) Dx(2) (3.2) = 2 (y(0) + y()) + ( y(0) + y() ) y(2) 3 2 (3.3) = y(0) 2 + y() 2 + y(2) 3 y(0) 6 y() 6 (3.4) y(0) + y() + y(2) = 3 (3.5) ˆP (2) = ( /3) 2 σ2 = 3 σ2 (3.6) 0
c. Videre får vi målingene y(3), y(4),..., y(k). Hva blir aposteriori tilstandsestimat og kovariansestimat for steg k? x(k) = ˆx(k ) (3.7) P (k) = ˆP (k ) (3.8) K(k) = P (k)/(p (k) + σ 2 ) = P (k) P (k) + σ 2 (3.9) ˆx(k) = x(k) + K(k)[y(k) Dx(k) (3.20) = ( K(k))x(k) + K(k)y(k) (3.2) = σ 2 ˆx(k ) + P (k) y(k) (3.22) P (k) + σ2 P (k) + σ2 ˆP (k) = ( K(k))P (k) = Med induksjon og utgangspunktet at ˆP (k) = σ2 vises at dette gjelder generelt. ˆP (k) = = σ2 P (k) P (k) + σ 2 (3.23) k+ for k = (og for k = 2) så σ2 P (k) P (k) + σ = σ2 ˆP (k ) (3.24) 2 ˆP (k ) + σ 2 σ2 σ2 k σ 2 k + σ2 = = σ2 k + Altså gjelder det for alle k. Vi får da for K(k) og for ˆx(k) K(k) = k σ4 k+ k σ2 (3.25) P (k) P (k) + σ = k σ2 2 k σ2 + σ = 2 k + (3.26) (3.27) ˆx(k) = ˆx(k ) + [y(k) ˆx(k ) = k ˆx(k ) + k + k + k + y(k) = k y(n), (3.28) k + n=0 der også siste overgang kan vises med induksjon. Resultatet av Kalman-lter skulle ikke være overraskende ut fra det en ellers vet om estimering av en fast verdi ut fra ere likeverdige målinger. Det ne med Kalman-lter, både her og generelt, er at en kan beregne et estimat etter hver måling, og at estimatet er optimalt etter hver måling.
4 Formler og ligninger Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser med nullteordens sample- og holdeelement på inngangen: [ h(z) = ( z )Z L { G(s) s } t=kt. (4.) Tranformasjonspar, δ( ) er enhetsimpuls og u( ) er enhetssteg. L { e at} = s a (n )! s n L { δ(t a) } = e as L { u(t a) } = e as (s a) 2 s L{} = s, L{t} = s 2 og generelt L{t n } = L { te at} = Z { δ(k) } = Z { δ(k n) } = z n Z { a k u(k) } = z z a Z { ka k u(k) } = az (z a) 2 Z { k 2 a k u(k) } = az(z + a) (z a) 3 Kalman-lter I vår utledning av Kalman-lteret kom vi fram til følgende ligninger som oppsummerer hovedløkka, det er det som gjøres for hvert tidssteg k. x(k) = Φˆx(k ) + Γu(k ) (4.2) P (k) = Φ ˆP (k )Φ T + Q (4.3) K(k) = P (k)d T (DP (k)d T + R) (4.4) ˆx(k) = x(k) + K(k)[y(k) Dx(k) (4.5) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (4.6) Matriser Ei 2 2 matrise og den inverse er [ a b A = c d, A = ad bc [ d b c a. (4.7) Determinanten er: det(a) = ad bc. Egenverdier for ei matrise er verdier λ slik at det(λi A) = 0. Derivasjon d d sin x = cos x dx x = [ x x 2, f = d cos x = sin x dx [ f ( ) gir f 2 ( ) f x = dx log x = x [ f x f 2 x 2 f 2 f x x 2 (4.8). (4.9) 2