Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38 EKSAMEN I ST2101 STOKASTISK MODELLERING OG SIMULERING Onsdag 1. juni 2005 Tid: 09:00 14:00 Hjelpemiddel: Kalkulator HP30S Statistiske tabeller og formler, Tapir forlag. K. Rottman: Matematisk formelsamling. Eitt gult ark (A5 med stempel) med eigne formlar og notatar. Sensur er ferdig: 22. juni 2005. Oppgave 1 Tilstanden til ei maskin kan ved eitkvart tidspunkt t verte klassifisert som 0: fungerer ok 1: fungerer delvis 2: fungerer ikkje La X(t) {0, 1, 2} vere tilstanden til maskina ved tidspunkt t og føreset at {X(t), t 0} er ein kontinuerleg-tid markovprosess slik at P{X(t + h) = j X(t) = i} = q ij h + o(h) for i j. Føreset vidare at overgangsintensitetane (pr. månad) er gitt som q 01 = 1, q 10 = 10, q 12 = 1, q 20 = 3 og q 21 = q 02 = 0.
ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 2 av 6 Overgangen frå tilstand 2 til tilstand 0 inneber at maskina vert bytta ut med ei nyinnkjøpt maskin, medan overgangen frå tilstand 1 til tilstand 0 skjer ved at den gamle maskina vert reparert. a) Teikn eit skjema over markovprosessen {X(t), t 0}. Gitt at maskina fungerer ok ved tidspunkt 0, kva er sannsynet for at den vil fungere ok i heile intervallet [0, 2]? Gitt at maskina har fungert delvis i heile tidsintervallet [0, 1], kva er sannsynet for at den framleis vil fungere delvis i heile intervallet [1, 2]? b) Ein markovprosess kan som kjend verte formulert (parameterisert) på to ulike måtar, der den eine er nytta i teksten over. Forklar den alternative måten å formulere ein markovprosess på og gi parameterverdiane for denne parameteriseringa. Ta utgangspunkt i modellformuleringa nytta i oppgåveteksten over og finn ved presis rekning (dvs. ved å nytte o(h)-notasjon) P 12 = lim h 0 P{X(t + h) = 2 X(t) = 1, X(t + h) 1}. c) Skriv ned dei av Kolmogorov sine differensiallikningar du treng for å finne P 00 (t), P 01 (t) og P 02 (t). [Du treng ikkje løyse likningane!] Frå differensiallikningane, finn eit likningssystem for grensefordelinga til X(t). Vis at grensefordelinga blir π 0 = 33 37, π 1 = 3 37 og π 2 = 1 37. Når maskina fungerer ok gir den ei inntekt på kr. 100.000,- pr. månad. Medan maskina fungerer delvis vert denne inntekta redusert til kr. 30.000,- pr. månad, og i tillegg kjem det reparasjonskostnadar på kr. 5.000,- pr. månad. Ei maskin som ikkje fungerer gir inga inntekt. Å kjøpe ei ny maskin kostar kr. 500.000,-. d) I lengda, kor mange månadar vil det i gjennomsnitt gå mellom kvar gong ei maskin vert bytta ut med ei ny? I lengda, kva vert forventa nettoinntekt frå maskina pr. månad?
ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 3 av 6 Oppgave 2 Vi skal i denne oppgåva sjå på eit køsystem med kun ei handsamingseining. Kundar kan kun kome til køsystemet eller vere ferdighandsama i diskrete tidspunkt n = 1, 2,.... Vi let X n vere tal på kundar i køsystemet (inkludert den som eventuelt er under handsaming) ved tidspunkt n. Vidare let vi køsystemet vere tomt ved tidspunkt 0, dvs. X 0 = 0. Dermed har vi at {X n } n=0 er ein diskret-tid stokastisk prosess. Vi skal gå ut frå at for kvart tidspunkt n = 1, 2,... er det eit sannsyn p (0, 1) for at ein ny kunde kjem inn i køsystemet, medan det med sannsyn 1 p ikkje kjem nokon ny kunde. Merk spesielt at det aldri kan kome meir enn ein kunde på same tidspunkt. Når ein kunde kjem går han rett til handsaming om ingen andre er i køsystemet når han kjem. Om det allereie er personar i køsystemet når han kjem, vil han stille seg bakerst i køa for å vente på tur. Vi skal gå ut frå at handsamingstida for ulike kundar er uavhengige av kvarandre (og uavhengig av prosessen kundane kjem i samsvar med) og at handsamingstida er geometrisk fordelt med forventning 1/q, der q (0, 1). Om vil let Z vere handsamingstida for ein tilfeldig kunde har vi dermed at P{Z = i} = q(1 q) i 1 for i = 1, 2,.... (1) Ei handsamingstid vil altså alltid vere minst ei tidseining. a) Nytt (1) til å vise at sannsynsfordelinga for handsamingstidene er utan hugs, dvs. vis at P{Z = i Z > k} = P{Z = i k} for i = k + 1, k + 2,.... b) Forklar kvifor {X n } n=0 vert ei markovkjede. Vis/forklar at overgangssannsyna for denne markovkjeda er P 0,0 = 1 p, P 0,1 = p, P i,i 1 = q(1 p), P i,i+1 = (1 q)p og P i,i = 1 p q +2pq for i = 1, 2,... og at alle dei øvrige overgangssannsyna er lik 0. c) Kan du intuitivt sjå eit krav parameterverdiane p og q må oppfylle for at markovkjeda {X n } n=0 skal ha ei grensefordeling? Forklar også kva som vil skje når n dersom dette kravet ikkje er oppfylt. Forklar kvifor X n nødvendigvis må vere tidsreversibel.
ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 4 av 6 I resten av oppgåva skal vi gå ut frå at verdiane til p og q er slik at markovkjeda har ei eintydig grensefordeling og vi skildrar (som vanleg) denne grensefordelinga ved π i, i = 0, 1,.... d) Vis at grensefordelinga for X n er π 0 = 1 p q og π i = ( ) i ( p(1 q) 1 1 p ) q(1 p) 1 q q e) Finn gjennomsnittleg tal på personar i køsystemet i lengda. for i = 1, 2,... Finn også gjennomsittleg tid ein person ventar i kø (handsamingstida ikkje inkludert). I det siste punktet i denne oppgåva skal vi ikkje lenger gå ut frå at handsamingstidene er geometrisk fordelt. Vi skal i staden gå ut frå at handsamingstidene har ein kumulativ fordelingsfunksjon G med forventning og varians lik ν og σ 2. Vi skal framleis gå ut frå at handsamingstidene er uavhengige av kvarandre og uavhengig av prosessen kundane kjem i samsvar med. f) Utlei ein kostidentitet som skildrar forholdet mellom gjennomsnittleg arbeid som er igjen i systemet, V, og gjennomsnittleg tid ein kunde står i kø. Vink: Nytt betalingsregelen at kvar kunde ved kvart (diskrete) tidspunkt betalar y kroner, der y er handsamingstida som står igjen for kunden. Utlei også ein annan samanheng mellom V og W Q. Finn W Q uttrykt ved p, ν og σ 2.
ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 5 av 6 Formelsamling: Setningane om totalt sannsyn og dobbelforventing La B 1, B 2,... vere parvise disjunkte hendingar med P ( i=1 B i) = 1. Då gjeld P (A C) = E[X C] = P (A B i C)P (B i C), i=1 E[X B i C]P (B i C). i=1 Markovkjeder i diskret tid Chapman-Kolmogorov likningane P (m+n) ij = k=0 P (m) ik P (n) kj. For ei irredusibel og ergodisk markovkjede eksisterer π j = lim n Pij n π i P ij og π i = 1. π j = i i og er gjeve av likningane For transiente tilstandar i, j og k er forventa tid i tilstand j gjeve start i tilstand i, s ij, s ij = δ ij + k P ik s kj. For transiente tilstandar i og j er sannsynet for ein eller annan gong å returnere til tilstand j gjeve start i tilstand i, f ij, f ij = (s ij δ ij )/s jj. Poissonprosess Ventetid til n-te hending (n-te arrival time), S n, har sannsynstettleik f Sn (t) = λn t n 1 (n 1)! e λt for t 0. Gjeve talet på hendingar N(t) = n, så har S 1, S 2,..., S n simultantettleik f S1,S 2,...,S n N(t)(s 1, s 2,..., s n n) = n! t n for 0 < s 1 < s 2 <... < s n t.
ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 6 av 6 Markovprosesser i kontinuerlig tid Chapman-Kolmogorov likningane Forover Kolmogorov-likningar P ij (t + s) = P ik (t)p kj (s). k=0 P ij(t) = q kj P ik (t) v j P ij (t). k j Bakover Kolmogorov-likningar P ij(t) = q ik P kj (t) v i P ij (t). k i Hvis P j = lim t P ij (t) eksisterer, er P j gjeve av v j P j = k j q kj P k og P j = 1. j Spesielt for fødsels- og dødsprosessar P 0 = 1 k=0 θ k og P k = θ k P 0 for k = 1, 2,... der θ 0 = 1 og θ k = λ 0λ 1... λ k 1 µ 1 µ 2... µ k for k = 1, 2,... Kø-teori For gjennomsnittleg tal på kundar i kø, L, gjennomsnittleg tid pr. kunde i systemet, W, handsamingstid, S, og gjennomsnittleg gjenverande arbeid i systemet, V, gjeld L = λ a W. L q = λ a W q. V = λ a E[SW q ] + λ a E[S 2 ]/2.