Forelesning 1: Integrasjon. Separable differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen 12. januar, 2010 Innhold Anbefalt lesning 1 1.1. Kort repetisjon av integrasjon 1 1.2. Hva er en differensiallikning? 3 1.3. Separable differensiallikninger 5 Referanser 6 På Blackboard finner du pensum og informasjon om kurset. Anbefalt lesning. Denne forelesningen dekker avsnittene 1 og 2 i [OEBY]. I tillegg er det viktig å repetere integrasjon, se for eksempel kapittel 6 i [BOST]. 1.1. Kort repetisjon av integrasjon. I denne forelesningen skal vi lære om differensiallikninger, men for å forstå differensiallikninger er det viktig å kunne derivere og integrerer. Eksempel 1. Regn ut dt (1) y(t) = 100e 2t (2) y(t) = ln(2t) (3) y(t) = (2t + 3) 4 i følgende tilfeller Løsning. (1) dt = y (t) = 100e 2t ( 2t) = 200e 2t (2) dt = y (t) = 1 2t 2 = 1 t (3) dt = y (t) = 4(2t + 3) 3 2 = 8(2t + 3) 3 1
For å løse differensiallikninger er det nødvendig å kunne integrere. Husk at integrasjon er det motsatte av derivasjon. I det neste eksempelet repreteres noen av de viktigste teknikkene. Eksempel 2. Regn ut integralene: (1) x 13 dx (2) (t 3 + 2t 3)dt (3) xe x dx (4) (x 2 + 1) 8 2xdx Løsning. (1) x 13 dx = 1 13+1 x13+1 + C = 1 14 x14 + C (2) (t 3 + 2t 3)dt = 1 4 t4 + t 2 3t + C (3) For å beregne xe x dx bruker vi formelen for delvis integrasjon uv dx = uv u vdx, og vi velger u = x og v = e x. Siden den deriverte til e x er e x, får vi v = e x og u = 1. Dermed får vi xe x dx = xe x 1 e x dx = xe x e x + C. (4) For å beregne (x 2 + 1) 8 2xdx, bruker vi substitusjon. Vi setter u = x 2 + 1, og fra dette får vi du dx = 2x. Det siste kan skrives som du = 2xdx. Dermed får vi (x 2 + 1) 8 2xdx = u 8 du = 1 9 u9 + C = 1 9 (x2 + 1) 9 + C. 2
1.2. Hva er en differensiallikning? La y være en økonomisk variabel som for eksempel nasjonalprodukt eller oljeproduksjon. Noen ganger kan man sette opp modeller for slike variable. Slike modeller kan lede til en eller flere differensiallikninger som inneholder variabelen y. Man tar i betraktning at variabelen y (nasjonalprodukt eller liknende) endrer seg etter som tiden går. Med andre ord er y en funksjon y(t) av tiden t. Her er altså t uavhengig variabel mens y er en avhengig variabel. Vi bruker ofte notasjonen ẏ for å betegne den deriverte av y med hensyn på t, eller med andre ord: ẏ = dt Eksempel 3. Betrakt funksjonen y = y(t) = 100e 2t hvor y altså er en funksjon av tiden t. Den deriverte av y med hensyn på t er Vi ser altså at vi har sammenhengen ẏ = 100e 2t ( 2) = 2y. ẏ = 2y. Dette er en sammenheng mellom funksjonen y og den deriverte av funksjonen. Dette er et eksempel på en differensiallikning, og y = y(t) = 100e 2t er en løsning av denne differensiallikningen. Definisjon 4. En differensiallikning er en likning som forbinder en ukjent funksjon med en eller flere av de deriverte til funksjonen. Her er noen eksempler på differensiallikninger: Eksempel 5. (1) ẏ = ay der a er en konstant. (2) ẏ + 3y = 4 (3) ẋ + 2x = 5x 2 Alle likningene i eksemplet over, er det vi kaller første ordens ordinære differensiallikninger. Eksempel 6. Vis at y = Ce 2t +4 (hvor C er en konstant) er en løsning av differensiallikningen ẏ + 2y = 8. Løsning. Deriverer vi y = Ce 2t + 4, får vi Av dette får vi ẏ = Ce 2t ( 2t) = 2Ce 2t. ẏ + 2y = 2Ce 2t + 2(Ce 2t + 4) = 2Ce 2t + 2Ce 2t + 8 = 8. Dermed ser vi at likningen er tilfredstilt. Vi ser altså at både y = 2e 2t + 4 (her er C = 2) og y = 3e 2t + 4 er løsninger av ẏ + 2y = 8. Siden vi får en løsning for hvert valg av konstanten C, er det uendelig mange løsniger av differensiallikningen ẏ + 2y = 8. 3
Definisjon 7. Mengden av alle løsninger av en differensiallikning, kalles den generelle løsningen av likningen. En spesiell løsning av en differensiallikning kalles for en partikulærløsning av likningen. Eksempel 8. Den generelle løsning av ẏ + 2y = 8, er y = Ce 2t + 4 og y = 3e 2t + 4 er en partikulærløsning av ẏ + 2y = 8. Veldig ofte er man ute etter å finne en partikulærløsning som tilfrestiller en initalbetingelse. Eksempel 9. Finn partikulærløsningen av som tilfredstiller initialbetingelsen y(0) = 2. ẏ + 2y = 8 Løsning. Den generelle løsningen er y = Ce 2t + 4. Setter vi t = 0, får vi y(0) = Ce 2 0 + 4 = C + 4 Fra y(0) = C + 4 = 2, konkluderer vi at C = 2. Dermed er partikulærløsningen som tilfredstiller y(0) = 2 gitt ved y(t) = 2e 2t + 4. 4
1.3. Separable differensiallikninger. Veldig mange differensiallikninger er umulig å løse. I dette kurset skal vi imidlertid se på noen få typer differentiallikninger hvor det er mulig å finne en løsning. Definisjon 10. En differensiallikning som kan skrives som ẏ = F (t, y) der F (t, y) er en eller annen funksjon i variablene y og t, kalles for en første ordens ordinær differensiallikning. Vi sier at differensiallikningen er separabel dersom ẏ = f(t)g(y) der f(t) og g(y) er funksjonener i en variabel. (Her kan altså funksjonen F (t, y) = f(t)g(y) skrives som et produkt av to fuksjoner i en variabel.) Vi kommer snart til å lære hvordan vi kan løse separable differensiallikninger. Eksempel 11. Avgjør hvilke av følgende diffrensiallikninger som er separable. (1) ẏ = yt (2) ẏ = y + t (3) ẏ = yt + 2t (4) ẏ = yt 2 + y 2 t 2 Løsning. (1) Denne likningen er separabel siden ẏ = f(t)g(y) med f(t) = t and g(y) = y. (2) Denne likningen er ikke separabel. (3) Siden likningen kan skrives ẏ = t(y + 2), så er denne likningen separabel. (4) Siden ẋ = t 2 (x + x 2 ), er likningen separabel. Vi vil nå forklare hvordan man kan løse en separabel diffrensiallikning. (1) Skriv likningen som dt = f(t)g(y). (2) Separer slik at vi får den avhengige variablen på hvenstre side og den uavhangige på høyre side: g(y) = f(t)dt (3) Integrer g(y) = f(t)dt Eksempel 12. Finn den generelle løsningen av differensiallikningen ẏ = 2t 3y 2 5
Løsning. Vi kan skrive differensiallikningen som dt = 2t 1 3y 2. Vi separerer og får 3y 2 = 2tdt. Ved å integrere får vi 3y 2 = 2tdt = y 3 = t 2 + C. Tar vi tredjeroten på hver side, får vi y = 3 t 2 + C. Referanser [BOST] Bjørnestad, Olsson, Søyland, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (2004). [BJOE] Bjørnestad, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [ROSS] Ross, S. M., Probability models, 9. edition, Academic Press, (2007) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick and dirty 6