og vektorregning Halvor Aarnes, UiO, 2014 Vektorer Innhold Vektorer... 1 Kule og kulekoordinater... 3 Skalarprodukt... 4 Vektorprodukt... 7 Vektorfelt... 9 Gradient... 10 Divergens... 11 Sirkulasjon... 11 Greens og Stokes teorem... 12 Vektorer René Decartes (1596-1650) innførte begrepet analytisk geometri. I planet velges to koordinatakser som står vinkelrett på hverandre. En horisontal x-akse (abscisse) og en vertikal y-akse (ordinat) som møtes i et skjæringspunkt, origo. To tall (x,y) representerer et punkt i planet, et todimensjonalt rom, R 2, hvor x og y kalles koordinater. Koordinatene viser avstanden fra punktet til aksene. Tre tall (x,y,z) er en trippel og reprenterer et punkt i et tredimensjonalt rom, R 3, hvor z-aksen står rettvinklet på planet og alle tre aksene skjæres i origo. De tre tallene kan også skrives som (x 1,x 2,x 3 ). (x 1,x 2,x 3,x 4 ) er en kvadruppel i et firedimensjonalt rom. (x 1,x 2,x 3, x n ), n- tuppel, er et punkt i et n-dimensjonalt rom, R n. En overflate i et tredimensjonalt rom kan skrives som funksjonen:,, 0 Derivere er å trekke tangenter til kurver, integrere er å beregne areal under kurver, og med partiellderiverte kan man studere kurver i rommet. Lagrange publiserte i 1788 Mécanique analytique (Analytisk mekanikk). 1
Seinere innførte den irske matematikeren William Rowan Hamilton (1805-1865) Theory of quaternions, en helt ny måte å forstå fysikk. I fysikk har man begreper som kraft, forflytning, hastighet og aksellerasjon, alle disse har størrelse og retning og kan presenteres som en vektor. En vektor kan presenters geometrisk fra et startpunkt til et sluttpunkt, eller analytisk via koordinatene for endepunktet. Vi har en vektor A= (a 1,a 2, a 3 ) hvor a 1, a 2 og a 3 er er komponentene til vektoren. Vi har retningsvinklene til vektoren: 1 Vi har to vektorer A og B:,,,,,,. Summen av de to vektorene A+B er lik:,,, 00, 0, 0, 0 00 1 1 0 2
2 Regneregler for vektorer., Addisjon og multiplikasjon av todimensjonale vektorer kan vises geometrisk i planet. Summen er diagonalen i parallellogrammet dannet av de to vektorene A og B. Figur. Summen av vektorene A=[-1, 1] og B=[2, 2], hvor A + B=[1, 3] Multiplikasjon av vektoren A med 2 dobler lengden, multiplikasjon med ½ halverer lengden. Generelt vil c A gi et punkt i samme retning som A, men c ganger avstanden. Hvis c er et negativt tall snur vektoren retning. Determinanter kan brukes til å finne arealet av et parallellogram. Arealet er lik absoluttverdien til determinanten til vektorene A og B. Determinanten for A=[-1, 1] og B=[2, 2] vist over blir: 1 2 1 2 4 Arealet blir lik 4. Dette kan vi kontrollregne ved å bruke Pytagoras setning. Kule og kulekoordinater Funksjonen for en kule med radius r og sentrum i origo: 3
En kule med origo i [x 0,y 0,z 0 ]: Vektorer Vi kjenner kulekoordinatene (sfæriske koordinater) (u,v) til et punkt P(x,y,z) på en kule, hvor u tilsvarer breddegraden o o o o [-90, 90 ] og v lengdegraden [0, 360 ]. Hvis vi lar kula være Jorden så er meridianer lik storsirkler som går gjennom nord- og sydpol. Lengdegraden måles fra nullmeridianen og østover. For himmelkulen tilsvarer deklinasjonen breddegraden og rektascensjonen lengdegraden. Et punkt P 0 i ekvatorialplanet har koordinater [x,y,0]. For Jorden med sentrum i origo og radius r =6378 km får koordinatene for et punkt P=[x, y, z] cos cos cossin sin tan sin Hvis en kule har sentrum i [x 0,y 0,z 0 ] så blir parameterfremstillingen: cos cos cossin sin Skalarprodukt Vi innfører en ny type multiplisering hvor skalarproduktet gir et reelt tall. Skalarproduktet A B av to vektorer er,,, Skalarproduktet av en vektor med seg selv er kvadratet av lengden av vektoren: 4
Skalarproduktet av to vektorer er lik produktet av lengden av de to vektorene multiplisert med cosinus til vinkelen θ mellom dem: Vet vi lengden og skalarproduktet kan vi finne vinkelen mellom to vektorer. Vi har at A B = B A. Hvis de to vektorene A og B står normalt på hverandre blir A B=0, fordi cosθ=0. Vi sier at nullvektoren står normalt på alle vektorer. Ortogonale vektorer står på hverandre i 90 o vinkel. Hvis nullvektoren er A=0 så er A A=0. Vi kan finne vinkelen mellom to vektorer A=[1,-1,0] og B=[1,0,1] 100 1 1 1 4 1 1 1 2 Skalarproduktet er svært nyttig i fysikk hvor vektoren A kan representere en konstant kraft som virker på et legeme som beveger seg som en vektor B. Arbeidet som utføres blir lik skalarproduktet A B Hvis c er et tall så vil c A bli:,,, 5
Lengden eller normen til en vektor er A : Hvis A og B er to vektorer så gjelder trekantulikheten: I det tredimensjonale rommet er det tre enhetskoordinatvektorer i=[1,0,0], j=[0,1,0], og k=[0,0,1] alle med lengde 1, og som ligger langs x-,y- og z-aksen. Vektorene i, j og k danner basis i 3D. Alle vektorer kan uttrykkes i form av enhetsvektorene: Hvis det er samme lengdeakse på aksene kalles koordinatsystemet ortonormert. Bevegelse kan beskrives av posisjon (P(x,y,z), forflytning, hastighet (v=dx/dt) og aksellerasjon (a=dv/d t), og i denne sammenheng benytter vi vektorer. En rett linje i et tredimensjonalt rom (R 3 )som går gjennom punktet P 0 (x 0,y 0,z 0 )og har retningsvektor (a,b,c) kan framstilles i parameterform som: Vi plotter en linje som har parameterframstilling: 22 62 104 6
Vi kan finne vinkelen mellom to linjer i rommet ved å finne vinkelen mellom retningsvektorene. 22 22 62 4 104 52 Disse linjene har retningsvektorer r 1 (2, 2, -4) og r 2 (-2, 1, 2). Vektorprodukt Vi må skille skalarprodukt fra vektorprodukt. Vektorprodukt vil si å finne en vektor som står normalt (vinkelrett) på to andre vektorer. Vi får vektorproduktet mellom to vektorer A og B lik A x B. Vektorproduktet kan peke opp eller ned. A x B har motsatt retning av B x A. Lengden av vektorproduktet A x B, hvis vi kaller vinkelen mellom vektorene A og B for α er Lengden av vektorproduktet A x B er lik arealet av et parallellogram bestemt av A og B, og som er lik absoluttverdien av determinanten. Vektorene A og B bør ligge i samme koordinatplan, enten xy-, xz- eller yz-planet slik at vektorproduktet peker ut i den tredje dimensjonen. Hvis vektorene A og B ligger i xy-planet: A=[x 1,y 1,0] og B=[x 2,y 2,0] så blir vektorproduktet A x B lik:,,0,,0 0, 0, 7
Vi kan finne vektorproduktet for A=[2, 3, 0] og B=[1, 4, 0] er lik [0, 0, 5] Hvis vi har basisvektorene eller enhetsvektorene i, j og k med lengde 1 i henholdsvis x-, y- og z-retning, så har vi generelt for vektorproduktet A x B hvor A=[x 1,y 1,z 1 ) og B=[x2,y 2,z 2 ],,,,,, Vektorproduktet er velegnet til å finne arealer av trekanter og parallellogram dannet av vektorene i vektorproduktet. Arealet av parallellogram: A x B Arealet av trekant; ½ A x B På samme vis kan vi bestemme volumet av en parallellpiped dannet av tre vektorer A=[x 1,y 1,z 1 ), B=[x 2,y 2,z 2 ] C=[x 3,y 3,z 3 ]. Volum av parallellpiped er lik absoluttverdien til determinanten Hvis vi har vektorene A=[4,3,2], B=[2,4,1] og C=[2,2,4] så blir volumet av parallellpiped dannet av de tre vektorene lik determinanten 30. 4 3 2 2 4 130 2 2 4 Hvis de tre vektorene A, B og C utgår fra samme punkt omslutter de en pyramide. Da vil volumet av pyramiden bli lik 1/3 av absoluttverdien til determinanten: 1 : 3 Hvis de tre vektorene A, B og C er like lange og utgår fra samme punkt omslutter de et tetraeder. Da vil volumet av tetraederet bli lik 1/6 av absoluttverdien til determinanten: 8
: 1 6 Vektorfelt Vektorfelt benyttes i studiet av elektromagnetisme (Maxwells ligninger) eller strømninger i vækse eller gass. Det kan være hastighet og retning på hvordan gasser beveger seg i atmosfæren, eller hvordan en væske forflytter seg og lager strømningsfelt. Vektorfelt for en magnet kan demonstreres med jernfilspon. Michael Faradays klassiske studier av feltlinjer rundt en magnet var opprinnelsen til studiet av feltteori. Via Maxwells ligninger kan man si noe om størrelse og retning på ladninger og hvordan dette gir elektromagnetiske felt. Gravitasjonskreftene forårsaket av masse, en av universets svake krefter, lager gravitasjonsfelt. Vektorfelt framstilles grafisk som piler som viser bevegelsesretningen og hastigheten. Linjer hvor feltet er tangenter til hvert punkt i rommet kalles feltlinjer (integralkurver). Feltlinjene er ikke avhengig av størrelsen på feltet, sier ingenting om hastigheten (størrelsen av vektoren), men bare retningen på feltet, hvilken vei vektorene for ethvert punkt peker. Et vektorfelt F i en undermengde av det euklidske tredimensjonale rom R 3 som tilordner en vektor F(x,y,z) for hvert punkt (x,y,z) i rommet. En vektor kan tegnes som en pil som har retning og lengde eller hastighet. Ethvert punkt i rommet tilordnes en vektor. Regningen med vektorfelt baserer seg på integral- og differensialregning. Et vektorfelt kan også betraktes i et todimensjonalt plan (R 2 ) som tangenter til en overflate. Vektorfelt kan også betraktes i n-dimensjonale rom som n-dimensjonale vektorer. En vektorverdifunksjon F kan uttrykkes som: : hvor R n er en undermengde av R m. En vektor kan flyttes til et annet koordinatsystem. Mens vektorfelt har en vektor for ethvert punkt i rommet har et skalarfelt en skalar. Skalarfelt kan ikke transformeres. De tre delene (komponentene) av vektorfeltet F er skalare funksjoner F 1 (x,y,z), F 2 (x,y,z), F 3 (x,y,z) og vektorfeltet F(x,y,z) kan uttrykkes som: 9
,,,,,,,, med enhetsvektorene (i,j,k). Vektorfeltet er satt sammen av skalarfelter. Vektorfeltet kalles glatt hvis de skalare funksjoner har kontinuerlige partiellderiverte. Vektorfelt kan uttrykkes i form av polarkoordinater F(r,θ) med radial komponent F r (r,θ) og transversal kompoent F θ (r,θ):,,, hvor r-hatt og theta-hatt er enhetsvektorene (basis) For noen felt kan man finne feltlinjene via differensialligninger med polarkoordinater. Gradient Hvis vi har en funksjon med n variable f(x 1,x 2,,x n ) så vil gradienten til f være gitt ved de partiellderiverte:,,, Hvis vi har,,,, i et domene D, så vil F være et konservativt vektorfelt i D, og phi (φ) er skalarpotensialet for F. Et konservativt vektorfelt hvor funksjonen f er potensialet til F.,en omvendt delta, er gradientoperatoren. Vi har gradienten gitt i form av de partiellderiverte:,,,, Hvis vi har et konservativt vektorfelt i planet,,, så vil ethvert punkt i domene D i xy-planet tilfredsstille:,, Tilsvarende blir det i rommet xyz (R 3 ). For eksempel er gravitasjonsfeltet til punktformete masser konservativt. Man kan integrere et kontinuerlig vektorfelt langs en parametrisert kurve med endelig lengde. 10
Linjeintegralet over domene C blir 0 Kurveintegralet (linjeintegralet) for et konservative vektorfelt i en lukket kurve C i planet er lik 0: Flateintegral vil si å integrere over en flate. Divergens Divergensen til F divf er funksjon (skalarfelt) og er det samme som flukstetthet: Vi kan også uttrykke dette som Vi ser at divergensen til F er et skalarfelt Divergensen til vektorfeltet F i punktet P sier noe om hvordan feltet sprer seg vekk fra P, divergerer, en fluks per enhetsvolum ut fra små sfærer med sentrum i P: 3 lim 4 Divergensen sier noe om punktet er en kilde eller sink for vektorfeltet. Sirkulasjon Sirkulasjonen til F curlf angir hvordan vektorfeltet (flyt av objekter) roterer rundt punktet P i rommet R 3 : 11
Hvis punktene i rommet med tilhørende vektor er representert med parameterligning r=r(t) så vil tangentvektoren dr/dt være parallel med vektorfeltet F(r(t)). For noen vektorfelt er det mulig å finne feltlinjene via differensialligninger som kan bli multiplisert med funksjoner:,,,,,, Greens og Stokes teorem Hvis F=F1(x,y)i +F2(x,y) er et glatt felt i en lukket region R i planet med grenser C så har vi ifølge Greens teorem:,, Stokes teorem (George Gabriel Stoke 1819-1903) er den tredimensjonale utgaven av Greens teorem (George Green 1793-1841). Stokes teorem sier at hvis S er en glatt tredimensjonal flate med normalfelt og F er et glatt vektorfelt som en mengde som inneholder S så vil: Maxwells fire berømte ligninger for elektromagnetisme i et tredimensjonalt rom er: 12
Vektorer 0 hvor feltene E og H er tidsavhengig, J er strømtettheten hvor curlh=j er Ampères lov. Litteratur: Apostol, T.M. Calculus ( Vol I + II). Blaisdell Publ. Comp. 1962. R Development Core Team (2011). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.r-project.org/. Rottmann, Karl: Matematische Formelsammlung. Bibliographisces Insitutt. Hochschultaschenbücher-Verlag. 1960. Wikipedia 13