BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( ) i) = tan = π 6 ( i ligger i fjerde kvadrant) Polarrepresentasjonen til i blir da cos( π 6 ) + i sin( π 6 ). Vi kan regne ut brøken på to måter. Vi kan bruke polarrepresentasjonen til de komplekse tallene (i = cos( π) + i sin( π )), da blir utregningen: i = ( π ) i cos ( π 6 ) + ( π ) i sin ( π 6 ) = cos( π ) + i sin(π ) = + i. Eller vi kan regne ut brøken direkte: i i( + i) = i ( i)( + i) = + i ( ) + ( ) = + i. Oppgave a Finn det. ordens Taylorpolynomet for f(x) = x om x =. b Vis ved induksjon at den n te deriverte av f(x) = x er f (n) (x) = c Finn det n te ordens Taylorpolynomet for f(x) = x om x =. n! ( x) n+.
Løsning a Gjør først de nødvendige utregningene. f(x) = x = ( x) f() = f (x) = ( x) ( ) = ( x) f () = f (x) = ( )( x) ( ) = ( x) f () = f (x) = ( )( x) 4 ( ) = 6( x) 4 f () = 6 Setter så inn i formelen: P (x) = f() + f ()! (x ) + f ()! = + x + x + 6 6 x = + x + x + x (x ) + f () (x )! b Vi skal bruke induksjon til å vise at f (n) (x) = n!( x) (n+) : Induksjonsstart For n = : f (x) = ( x) ( ) = ( x) =!( x) (+) Induksjonssteg Antar at f (k) (x) = k!( x) (k+) er sant. Da er OK f (k+) (x) = ( k!( x) (k+)) = k!( (k + ))( x) (k+) ( ) = (k + )!( x) ((k+)+). Så formelen gjelder også for f (k+). Ved induksjon gjelder den da for alle n. c Formelen for P n (x) for f(x) om x = er P n (x) = f() + f ()! (x ) + f ()! (x ) + f ()! Fra oppgave b får vi f (i) () = i!( ) (i+) = i! som vi setter inn: (x ) + + f (n) () (x ) n. n! P n (x) = f() +!! (x ) +!! (x ) +!! (x ) + + n! (x )n n! = + x + x + x + + x n
Oppgave Gitt likningen x sin y = e x. Bruk implisitt derivasjon til å finne dy dx uttrykt ved x og y. Løsning d d (x sin y) = dx dx (ex ) sin y + x cos y dy dx = ex dy dx = ex sin y x cos y Oppgave 4 a Finn grenseverdien eller vis at den ikke eksisterer: lim x x x 4 b La funksjonen f være definert på intervallet (, ) ved { ln x for x x f(x) = for x =. Vis at f er kontinuerlig. Løsing 4 a lim x x x 4 = lim x x (x )(x + ) = lim x x + = 4 b På intervallene (, ) og (, ) er ln x og x kontinuerlige og x er forskjellig fra, så f er derfor kontinuerlig på disse intervallene. Vi sjekker om f er kontinuerlig i x = ved å finne grenseverdien lim x f(x): lim x lim x ln x x [ ] Kan bruke l Hôpitals regel siden ln x og x er deriverbare på et åpent intervall om, og (x ). (ln x) (x ) = lim x Derfor er lim x f(x) = x = Siden lim x f(x) eksisterer og er lik f() så er funksjonen kontinuerlig i x =. Funksjonen f er kontinuerlig i alle punkt der den er definert og er derfor kontinuerlig.
Oppgave 5 a Bestem integralet b Bestem integralet ln x x x + 4x dx. sin (ln x)dx. Løsing 5 a Bruker delbrøksoppspaltning: x + 4x dx = x(x + 4) dx x(x + 4) = A x + Bx + C x + 4 = Ax + 4A + Bx + Cx. x(x + 4) Vi får da: A + B = C = 4A = A = 4 B = 4 x + 4x dx = = 4 x(x + 4) dx = ( ln x ln(x + 4) ) + K 4 x + x 4 x + 4 dx = 4 x x x + 4 dx b ln x x sin (ln x)dx Substitusjon: u = ln x du = x dx = u sin (u)du Delvis integrasjon: U = u dv = sin(u)du = u cos(u) cos(u)du du = du V = cos(u) = u cos(u) + sin(u) + C = ln x cos(ln x) + sin(ln x) + C
Oppgave 6 Figuren viser et rektangel innskrevet i en rettvinklet trekant med mål som vist på figuren. Finn x slik at arealet av rektangelet blir størst mulig. Løsning 6 Høyden i rektangelet = ( x) tan( ) = x Arealet av rektangelet som en funksjon av x blir da A(x) = x x = x x. Vi vil finne maksimalverdien for A på intervallet [, ]. Ved max-min teoremet vet vi at det eksisterer en maksimalverdi. Denne er enten i ett av endepunktene, i et kritisk punkt eller i et singulært punkt. Funksjonen har ingen singulære punkt. Deriverer for å finne kritiske punkt: A (x) = x Den deriverte er for x =, så dette er et eneste kritiske punktet for A(x). Ser hva verdien er i endepunktene og det kritiske punktet: A() = A( ) = 4 A() = Arealet av rektangelet blir derfor størst mulig for x =. (Eller så kan man tegne fortegnslinje for den deriverte, for å vise at x = gir størst areal.) Oppgave 7 La R være området i xy planet mellom y = sin x og y = sin x fra x = til x = π. Finn volumet av omdreiningslegemet som fremkommer når R roteres om y-aksen.
Løsning 7 Området R er dobbelt så stort som arealet A mellom grafen til y = sin x og x-aksen fra x = til x = π. Så vi kan finne volumet av omdreiningslegemet som fremkommer når A roteres om y-aksen og gange med. Vi bruker metoden med sylinderskall. π V = π x sin(x)dx = 4π( x cos(x) + sin(x)) = 4π(( π)( ) + + ) = 4π For det ubestemte integralet av x sin(x) se oppgave 5b. π Oppgave 8 La f være en gitt funksjon. Figurene nedenfor viser grafene til funksjonene i en eller annen rekkefølge. ) f(x) ) f (x) ) x f(t)dt Hvilken figur viser hvilken graf? Begrunn svaret. Finn f(t)dt. Løsning 8 Her er det flere måter å argumentere på. Merk først at ( x Vi kan nå bruke eliminasjonsmetoden. f(t)dt) = f(x) og (f(x)) = f (x). Den deriverte av graf C vil ha to nullpunkt i intervallet [, ], det har ingen av de to andre grafene. Derfor kan ingen av de andre grafene være den deriverte av graf C, så graf C må være grafen til f (x). Graf C, og dermed f (x), er negativ på intervallet (, ], altså må f(x) minke her. Derfor må A være grafen til f(x) og B blir så grafen til x f(t)dt. Oppsummert: f(x) A f (x) C x f(t)dt B
Vi leser av verdien av det bestemte integralet på graf B: f(t)dt = f(t)dt f(t)dt = π 4 ( π 4 ) = π. Oppgave 9 a Finn v som en funksjon av x ved å løse initialverdiproblemet (g og R er konstanter): v dv dx = gr (R + x) v() = gr. b Bruk Simpsons metode med 4 intervall til å finne en tilnærming til det bestemte integralet 4 64 x 64 + x dx. Ta med minst tre desimaler i mellomregningene. c Initialverdiproblemet i oppgave a beskriver farten v til en rakett, som en funksjon av rakettens høyde x over bakken. Raketten blir skutt opp med en startfart på gr. Vi antar at den eneste kraften som virker på raketten etter oppskytningen er tyngdekraften fra jorda. Konstanten g er tyngdeakselerasjonen ved jordoverflaten ( 9, 8m/s 78km/t ) og R er radien til jorda ( 64km). Avstanden til månen er ca 85km. Er startfarten til raketten stor nok til at den kan nå helt til månen? Bruk svaret fra b til å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittsfarten til raketten på de første 4km.
Løsning 9 a v dv dx = gr (R + x) vdv = gr (R + x) dx v = gr R + x + C v = gr R + x + C gr v = ± R + x + C Bruker initialbetingelsen: Siden v() er positiv er v = initialbetingelsen: gr + C. Setter så inn R+x gr = gr R + + C gr = gr + C C = gr Løsningen på initialverdiproblemet er gr v = R + x gr = gr R x R + x. 64 i b Regner ut y i = 64 + i for i =,,,, 4: y = y = 7 7 y = y = 7 47 y 4 = Simpsons metode gir da 4 64 x dx 64 + x (y + 4y + y + 4y + y 4 ) = ( 7 7 + 4 7 + + 4 47 + 96, 8 )
c Tyngdekraften bremser farten og raketten er lengst borte fra jorda når farten er. Løser likningen: = gr R x R = x R + x R 64km er mye mindre enn avstanden til månen, så svaret er nei. Gjennomsnittsfarten v er v = 4 4 gr R x R + x gr 4 4 64 x 64 + x gr 4 97 =, 79 gr Gjennomsnittsfarten er tilnærmet lik, 79 9, 8m/s 64m 5776m/s eller, 79 78km/t 64km 795km/t. Oppgave La f være en funksjon som er dobbelt deriverbar, dvs. f er deriverbar og f er deriverbar. Funksjonen f har nøyaktig to kritiske punkt, disse er x = og x =. Den deriverte av f er positiv for x =. Vis at f (x) er positiv for alle x (, ). Løsning Siden f er deriverbar er den også kontinuerlig og vi kan bruke skjæringssetningen (IVT). At x = og x = er kritiske punkt for f betyr at f er her. Dette er de eneste nullpunktene til f siden det er de eneste kritiske punktene til f. Vi har fått oppgitt at den deriverte er positiv for x =. Anta at det finnes en c i intervallet (, ) slik at f (c) er negativ. Skjæringssetningen sier da det finnes et tall s mellom c og slik at f (s) =. Dette kan ikke stemme siden f ikke har noen nullpunkter på intervallet (, ). Derfor må antagelsen vår må feil og f (x) er ikke negativ for noen x i intervallet (, ). Siden den heller ikke er null her, må f (x) være positiv for alle x (, ). Mirjam Solberg