Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet V av en kule med radius r er gitt ved 4 Ar r og V r r 3. Bestem A r og V r A r r r 4 Vr 3r 3 3 4 r Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) gx 3lnx 1 1 6x gx 3 x x 1 x 1 b) hx x x e x x x 4x e x e xe x x x hx x x x e e e Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 1
Oppgave 3 (5 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P x x 6x 11x 6 a) Vis at P1 0 3 P1 1 61 1116 16116 0 b) Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere Px i førstegradsfaktorer. Siden opp». P1 0 vet vi at 1 3 3 x 6x 11x 6: x 1 x 5x 6 x x 5x 11x 6 5x 5x 6x 6 6x 6 0 Jeg løser så likningen x 5x 6 0 5 5 416 5 54 51 x 1 x 3 x x er en faktor i P. Det betyr at følgende polynomdivisjon «går Det betyr at Px x 3 6x 11x 6 x 1x x 3 Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side
c) Løs ulikheten 3 x 6x 11x 6 0 3 x 6x 11x 6 0 x x x 1 3 0 Det faktoriserte uttrykket er null for x 1, x og x 3. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Jeg undersøker hvilket fortegn uttrykket har i hvert av de fire intervallene,1, 1,,,3 og 3,. x 001003 0 3 3 3 3 1 1 3 x 1 3 0 5 5 5 5 3 1 1 x 1 3 0 x 4 4 14 4 3 31 0 For å få en oversikt setter jeg opp et fortegnsskjema x-verdier 1 3 3 x x x 6 11 6 0 0 0 Av fortegnsskjemaet leser jeg at for x,1,3 3 x 6x 11x 6 0 0 Oppgave 4 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig ln a b lna ln b 1 1 ln a b lna ln b lna lnb lna ln1lnb lna lnb lna 0 lnb lnb Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 3
Oppgave 5 ( poeng) Figuren nedenfor viser grafene til funksjonen f der Df 1,4 Avgjør for hvilke x -verdier f er kontinuerlig, og for hvilke x -verdier f er deriverbar. Funksjonen f er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde. Funksjonen er sammensatt av to polynomfunksjoner som er kontinuerlige, og grafen viser at for x er venstresidig og høyresidig grenseverdi like store. Funksjonen er også deriverbar i hele sitt definisjonsområde bortsett fra for x. Vi ser at grafen til funksjonen her ikke har en éntydig tangent. Oppgave 6 (3 poeng) En funksjon f er gitt ved 3 f x x 6x Vis at grafen til f har en vendetangent i punktet, f med likning y 1x 10 Grafen til f har en vendetangent i punktet hvor den dobbeltderiverte er lik null. 3 f x x 6x f x 3x 1x f x 6x 1 f x 0 6x 1 0 x Dette viser at grafen til f har en vendetangent i punktet, f. Jeg regner ut f og finner stigningstallet til vendetangenten som f. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 4
f 3 6 8 4 14 f 3 1 1 4 1 Jeg finner vendetangenten med ettpunktsformelen 14 1 x y f f x y y 1x 4 14 y 1x10 Oppgave 7 (3 poeng) Vektorene a,3, b 6,4 og c 3,11 er gitt. a) Undersøk om a b ab,3 6,4 1 1 0 a b b) Bestem ved regning to tall k og t slik at c ka tb c ka tb 3,11 k,3t6,4 3,11 k 6 t,3k 4t 3 3 1 k 6t 3 k 3t 11 33t 4t 18t 9 8t 6t 13 t 1 3 k 3 3 Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 5
Oppgave 8 (4 poeng) På figuren nedenfor er ACB en halvsirkel med sentrum i O, og AEC er en halvsirkel med sentrum i D. CAB ABC 45 a) Konstruer figuren nedenfor når du setter r 5,0 cm. Ta med konstruksjonsforklaring. Konstruksjonsforklaring 1. Trakk en linje og avsatte et punkt O på linjen. Konstruerte en halvsirkel med radius 5,0 cm r med sentrum i O, og merket av punktene A og B.. Konstruerte midtnormalen på AB og fant C. 3. Trakk linjestykket AC. Konstruerte midtnormalen på AC og fant punktet D. Trakk linjestykkene OC og BC. 4. Konstruerte en halvsirkel med sentrum i D og med radius AD og fant punktet E. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 6
a) På figuren nedenfor har Hippokrates-månen blå farge. Vis ved regning at arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av ABC er r. AOC når radien i halvsirkelen Arealet til AOC er lik r AC r r r AD 1 1 r AOOC r r Arealet av Hippokrates-månen er lik arealet til halvsirkelen AEC minus arealet til den lille del av sirkelen med sentrum i O som er avgrenset av korden AC 1 r r r r 4 r r r r 4 4 Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 7
Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (7 poeng) Figuren nedenfor viser grafen til en tredjegradsfunksjon f a) Forklar at f x er delelig med x 1, 1 x og 3 x. Vi vet at et tredjegradspolynom kan skrives som ax 3 bx cx d ax x x x x x 3 hvor x1, x og x 3 er nullpunktene til ax bx cx d. Vi ser av grafen at 1, 1 og 3 faktorer i f. Begrunn at vi da kan skrive 1 3 1 3 er nullpunkter til f. Det betyr at x 1, x 1 og 3 f x a x x, der a er en konstant. Vi kan da skrive 3 f x ax bx cx d 1 3 1 1 3 1x 3 a x x x x x x a x x x a x Bestem a når punktet 0,1 ligger på grafen til f. 1 3 f x a x x f 0 1 a 0 1 0 3 1 3a 1 a 4 x er Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 8
b) Bestem likningen til tangenten i 0,1. Jeg tegnet grafen til f x 4x 1x 3 GeoGebra, avsatte punktet i 0, f 0 og brukte kommandoen «Tangenter» for å konstruere tangenten til grafen i 0,1. Likningen for tangenten er y 4x 1 c) Denne tangenten skjærer grafen til f i et annet punkt. Bestem ved regning koordinatene til dette punktet. Jeg løser likningen 4 x 1 x 3 4x 1 i GeoGebra. Jeg regner ut 431 0. Koordinatene til punktet er 3,0 Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 9
Oppgave (6 poeng) Se skissen nedenfor. a) Midtpunktene på sidekantene i ABC er M 1, M og M 3. Vis ved regning at M 1 har koordinatene 1 1 1 3 OM1 OA AB 1,1 51, 1 1,1 4,1 3, Det viser at M 1 har koordinatene 3 3,. 1 1 1 OM OB BC Det viser at M har koordinatene 4,3. 3 3,. Bestem koordinatene til M og M 3 ved regning. 5. 3 5,4 5., 4,3 1 1 1 5 OM3 OA AC 1,1 31,4 1 1,1,3, Det viser at M 3 har koordinatene 5,. b) Bestem en parameterfremstilling til linjen gjennom A og M og en parameterfremstilling til linjen gjennom C og M 1. La P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom A og M. Da er OP OA t AM 1,1 t 4 1,31 1,1 t 3, 13 t,1 t La Q være et vilkårlig punkt på linjen gjennom C og M 1. Da er 3 5 5 OQ OC scm1 3,4 s 3 3, 4 3,4 s 0, 3,4 s Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 10
c) Tyngdepunktet T i trekanten er skjæringspunktet mellom medianene. Bestem koordinatene til T. 5 Jeg finner koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene gitt ved 1 3 t,1 t og 3,4 s. Vi ser at x 3. Videre har vi at 7 Koordinatene til tyngdepunktet er 3, 3 7 1 3t 3 t y 1t 1 3 3 3 Oppgave 3 (7 poeng) En partikkel har posisjonsvektoren r t ln t, t 4 t, t 0 a) Tegn grafen til r og bestem skjæringspunktene med koordinataksene ved regning. Jeg tegner grafen med følgende kommando i GeoGebra Kurven skjærer x -aksen når y t 4t 0 t 0 t 4. Da er x ln4 1,39 Kurven skjærer y -aksen når x lnt 0 t 1. Da er Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 11 1 y 1 41 3 b) Bestem fartsvektoren vt og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til r. Tegn inn v 1 på grafen. Jeg finner fartsvektoren med kommandoen «Derivert[ <Kurve> ]» i GeoGebra. Jeg får at 1 v t r t,t 4 t I et topp- eller bunnpunkt er y -koordinaten til fartsvektoren lik null.
. Koordinatene til bunnpunktet er ln, 4 ln, 4 0,69, 4 t 4 0 t Jeg tegner inn fartsvektoren v 1 med kommandoen «Vektor[r 1,r1 +r' 1 ]» i GeoGebra. 1, c) Vis at akselerasjonsvektoren er at t. Bestem Kommenter svaret. at når t. 1 1 1 at vt, t 4 t, 1 t,, t t Vi ser at x -koordinaten til akselerasjonen alltid er negativ og går mot null når tiden øker, mens y- koordinaten er konstant lik. Farten øker jevnt i y -retningen og går mot null i x -retningen. Akselerasjonen nærmer seg til å bli konstant og parallell med y -aksen. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 1
Oppgave 4 (8 poeng) Et rektangel med sider x og y er innskrevet i en sirkel med diameter AB 5. a) Vis at arealet T av rektangelet er gitt ved 5 T x x x Forklar hvilke verdier x kan ha. Vi har at x y 5 y 5 x Da er T x x y x 5 x, og x må være større enn 0 og mindre enn 5 for at vi skal få et reelt rektangel. b) Bestem x og y når arealet er størst mulig. Kommenter svaret. Jeg tegnet grafene til T og y i GeoGebra. Jeg fant toppunktet påt ved kommandoen «Ekstremalpunkt». Arealet er størst når x 3,5. Punktet 3,5 3,5 på grafen til y viser at da er også y 3,5 Arealet er størst når rektanglet er et kvadrat. c) Vis at omkretsen til rektangelet er gitt ved Bruk O x 5 x x Jeg finner omkretsen ved å summere alle sidene 5 O x x y x x O x og bestem x når omkretsen er størst mulig. Kommenter svaret. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 13
Jeg definerte Ox i GeoGebra og regnet ut at O x 0 omkretsen har en maksimalverdi. Omkretsen er derfor størst for x 3,5. for x 3,5. Jeg ser av grafen at Omkretsen er størst når arealet er størst, når rektanglet er et kvadrat. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 14
Oppgave 5 (6 poeng) Vi har røde og svarte kuler i en eske. Vi skal trekke tilfeldig to kuler uten tilbakelegging. Vi definerer følgende hendelser: A: Vi trekker to kuler med ulik farge B: Vi trekker to kuler med samme farge Anta at vi har 6 røde og 4 svarte kuler i esken. a) Bestem PA Vi har en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra Populasjonen er 10 fordi vi har 10 kuler, n er 6 fordi vi har 6 røde kuler og utvalget er siden vi trekker ut to kuler Sannsynligheten for å trekke to kuler med ulik farge, altså at den ene er rød, er 0,53. b) Bestem PB Hvis vi ikke trekker to kuler med ulik farge, så trekker vi to kuler med samme farge, det vil si enten røde kuler eller ingen røde kuler. Sannsynlighetskalkulatoren fra a) viser da at PB 0,1333 0,3333 0,47 Anta at vi har 6 røde og et ukjent antall svarte kuler i esken, og at hendelsene A og B skal ha lik sannsynlighet c) Hvor mange svarte kuler kan det være i esken? Jeg løser følgende likning i GeoGebra hvor n står for antall kuler totalt Det betyr at antall svarte kuler er enten 3 eller 10. (Detvar 6 røde kuler) Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 15
Oppgave 6 ( poeng) Løs likningen lg x x, n x n n lg x x n x, n n x n lg x x n lg x x x n n lg x x n x 100 x n Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 013 Side 16