Tall og tallregning Kursdag Nord-Gudbrandsdalen sept. 2013 Svein Torkildsen Anne-Gunn Svorkmo
Formål Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnå dette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk. Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktivitetar og ferdigheitstrening. I praktisk bruk viser matematikk sin nytte som reiskapsfag. I skolearbeidet utnyttar ein sentrale idear, former, strukturar og samanhengar i faget. Elevane må utfordrast til å kommunisere matematikk skriftleg, munnleg og digitalt.
Donald-matematikk Lag to tosifrede tall av disse to sifrene. Legg sammen de to tosifrede tallene. Legg sammen verdien på de to kortene. Divider summen av de to tosifrede tallene med verdien til kortene.
La oss se på matematikken 1 Summen av enerne skal deles på summen av sifrene. De to summene er like, så svaret blir alltid 1. Altså 1 på 1-erplassen. Summen av tierne skal deles på summen av sifrene. De to summene er like, så svaret blir alltid 1. Altså 1 på 10-erplassen.
La oss se på matematikken 2 Summen av tierne blir a + b tiere. Summen av enerne blir a + b enere. Begge summene skal divideres med summen av sifrene: a + b Når vi dividerer (a + b) på (a + b) får vi??? (a + b) (a + b) Teller = nevner: verdien er 1 Vi får 1 på både 10-er og 1-erplassen: 11
La oss se på matematikken 3 Kortverdier a og b De to tosifrede tallene kan skrives som 10a + b og 10b + a Summen av de to tosifrede tallene: 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b) Når vi dividerer 11(a + b) på (a + b) får vi??? 11(a + b) (a + b)
Utvidelse Hva tror du svaret blir? 1. Velg tre ulike sifre 2. Lag så mange tall som mulig 3. Adder tallene 4. Divider summen i 3 på summen av sifrene Differensiering med samme oppgave!
Fra LK06 samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, uttrykkje slike tal på varierte måtar og vurdere i kva for situasjonar ulike representasjonar er formålstenlege
Titallsystemet sentralt Ulike tallsystem Addisjonssystem (romerne - egypterne) Posisjonssystem (ti- og totallsystemet) Arbeide med andre posisjonssystem for å forstå titallsystemet?
Hvorfor forstå? Understanding is motivating promotes more understanding promotes memory influences beliefs promotes the development of autonomous learners enhances transfer reduces the amount that must be remembered (Lambdin 2003). Journal of Mathematics Education Leadership, volume 7, number 3
Regn med romertall! Utfør addisjonen 1. XLVII + CLXVIII I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Legg tallene på regnebrettet. 2. XLVII 3. CLXVIII Adder på regnebrettet 4. XLVII + CLXVIII
Hvilke lengder? Staver med lengde 1, 2, 4 og 8. Hvilke lengder er det mulig å lage når vi en stav av hver lengde?
Addisjon og subtraksjon 1. 1101 + 1011 2. 1011 101 Utfør regneoperasjonene med stavene. Utfør regneoperasjonene i det symbolske matematikkspråket. 3. 101 11 4. 1011 : 11
Representasjoner Elever som forstår er i stand til å tolke, forstå og benytte ulike representasjoner, og de kan se sammenhenger mellom forskjellige representasjoner knyttet til en gitt situasjon. En av 8 kompetanser hos Mogens Niss! konkret materiale tegninger tekst skriftlig og muntlig matematisk symbolspråk, også på ulike måter! (Kilpatrick et. al.: Adding It Up) Lærer: Må innrømme at matematikkundervisningen hos oss er «tal og tal og atter tal»
Representasjoner av titallsystemet Perlesnor (Hefte: Hanne og May Else) Tallinje 100-kartet Base 10 (Posisjonssystemet) Abakus / Kuleramme
Heltall BIG IDEA #1 NUMBERS The set of real numbers is infinite, and each real number can be associated with a unique point on the number line. Integers Integers are the whole numbers and their opposites on the number line, where zero is its own opposite. Each integer can be associated with a unique point on the number line, but there are many points on the number line that cannot be named by integers. An integer and its opposite are the same distance from zero on the number line. There is no greatest or least integer on the number line.
Tallforståelse Tall brukes i ulike sammenhenger: antall nummer i rekken navn (spiller nr.) Sammenlikne tall: Forskjell forhold Egenskaper ved tall: par odde prim kvadrat kubikk delelighet rike fattige perfekte Egenskaper ved titallsystemet 3 + 7, 13 + 7, 43 + 17 osv. 1 kan i noen sammenhenger være mye, 1000 kan være lite. Eksempler?
Tall en oversikt Hele positive tall Negative tall Brøk og Desimaltall (endelige og periodiske desimalbrøker) Tall som IKKE kan skrives som brøk med heltall i teller og nevner Naturlige tall Hele tall Rasjonale tall Reelle tall
Primtallsfaktorisering Se du systemet? Bilde av primtalsfaktoriseringen til tallene 1-14. Lag «primtallsbilder» av 15, 18 og 20.
Eratostenes sil Hundrebrett, centikuber Vi bruker bare tallene opp til 50. 1. Sett en brikke på 1. Den regnes ikke med her. 2. La 2 stå åpen, men sett en brikke i alle tall delelig med 2. 3. La 3 stå åpen, men sett en brikke på alle tall som er delelig med 3. 4. Fortsett med 4, osv.
Desimaltall Barns (og voksnes) misoppfatninger skyldes ofte to forhold 1. Kunnskap/erfaring med heltall blir generalisert og brukt feil 2. Erfaring fra dagliglivet, penger/måling gir overflatisk fornemmelse av desimaltall. Eksempler på måter vi bruker måleenhet på i dagliglivet: 1. «6,50» seks komma femti. To heltall? Alt.: seks komma fem null 2. «Veggen er ni meter og førti høy», ikke centimeter! 3. Lommeregneren viser fire komma fem, fire kroner og fem øre
Noen desimal-misoppfatninger 13,65 består av to separate tall, 13 og 65 0,1504 er større enn 0,150 fordi 1504 er større enn 150 0,1504 er mindre enn 0,150 fordi det har titusendeler, og det er mindre enn tusendeler 0,5 er ikke det samme tallet som 0,50 Det fins ingen desimaltall mellom 0,5 og 0,6 fordi det ikke er noen hele tall mellom 5 og 6!
Alle Teller Tall og tallforståelse Misoppfatninger om tall Anbefalte oppgaver/problemstillinger Regning med tallene Kartleggingstester Allistar McIntoch Matematikksenteret
Læringsstøttende prøver http://www.udir.no/vurdering/laringsstottende-prover/
Arbeid med desimaltall 1 Hvor lange er linjestykkene? Blått linjestykke har lengde 1.
Arbeid med desimaltall 2
Tallfølger mm Regneark: 04_Tallfølger_Blink_mm.xlsx 04b_Tallfølger_ARBEIDSARK.xlsx Kan brukes til å lage arbeidsark elevene skal bruke før de tester ut rekkene og formlene de har laget med regnearket.
Standardform 1 200 000 En million to hundre tusen 1, 2 millioner 1,2 1 000 000 1,2 10 6 Standard 1 10? 10 10 1 100 10 2 1000 10 3 10 000 10 4 100 000 10 5 1 000 000 10 6
Hva betyr det? utvikle, bruke og gjere greie for ulike metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane
Addisjon - subtraksjon Få misoppfatninger! Men noen regneregler (huske-) kan være med å skape problemer for multiplikasjon! 120 + 40. Ta bort nullene og legg sammen: 12 + 4 = 16 Sett til en null: 160. Med forståelse: 12 tiere pluss 4 tiere er 16 tiere: 160 Gi eksempel på en vanlig subtraksjonfeil.
Addisjon
Subtraksjon Sett tallene under hverandre: Anbefaler andre metoder: Utfør en av operasjonene med basemateriell. Skriv hva dere gjør!
Matte er mer enn pugging (1) Valente, Enge og Botten i Aftenposten 6.11.2012
Matte er mer enn pugging (2) Det er gjort mye forskning, både i Norge og internasjonalt, der man har sett på elevprestasjoner i regning. I en av disse undersøkelsene ble andre og tredjeklassinger bedt om å regne ut 503-306. Elever i klasser vant til en tradisjonell undervisning, der lærer viser regneregler og oppsett for så å la elevene øve på disse, satte i gang med det vanlige oppsettet - tallene under hverandre, «låning» og markering på tallene en «lånte fra». Kun 42 % av annenklassingene og 35 % av tredjeklassingene fikk riktig svar. I klasser der en derimot arbeidet med å utvikle uformelle regnemetoder og resonnering (som for eksempel 306 pluss 200 er 3 for mye så svaret er 3 mindre enn 200, altså 197), var det 67 % av annenklassingene som fikk rett svar og 80 % av tredjeklassingene. Valente, Enge og Botten i Aftenposten 6.11.2012
Negative tall Er det sant? Minus minus gir pluss! Kan vi «se» resultatet av regneoperasjoner med negative tall? Heksegryte Kort
Selvsagt blir det slik! Regnestykke Svar 5 4 = 1 5 3 = 2 5 2 = 3 5 1 = 5 0 = 5 (-1) = Hva er likt i hvert regnestykke? Hva er forskjellig? Ser du et mønster? Hvordan endrer tallet du trekker fra seg? Hvordan endrer svaret seg Fortsett mønsteret. Hva blir 5 (-2)?
Dagens tall Svaret er 1 Hva kan regnestykket være? 1 1 11 11 111 111 Regneart Mønster og systemer Hva ønsker vi at elever skal lære? Hva ønsker vi at elever skal lære?
Multiplikasjon Bruk basemateriell og lag multiplikasjonen Hvordan skriftliggjøre? 32 4
34 6
Fra basemateriell til tegning
Utvidelse til desimaltall
Utfordringer Fire på linje Fins i flere varianter. Noen med kun desimaltall. BLINK!
Delingsdivisjon - Målingsdivisjon 24 drops skal deles likt på fire barn. Hvordan skjer delingen rent fysisk? Utfør delingen med plastbrikker! Skriv divisjonen! 24 drops skal fordeles på poser med 4 drops i hver pose. Utfør fordelingen med brikkene! Skriv divisjonen.
To typer divisjon! Delingsdivisjon Målingsdivisjon
Eksamen - divisjon Lag 460 med basemateriell. Utfør divisjonen fysisk. Beskriv med tall og regnetegn hva dere gjør etter hvert. Bruk rutepapir og lag en tegning som viser tallet 264. Divider med 4. Beskriv med tall og regnetegn hva dere gjør etter hvert.
264 : 4
Matematikk et språk Gjøre noe Snakke om det Hvordan skrive det?
Utfordring Divisjonsalgoritme
Divisjon med konkreter 2380 : 7-1400 200 til hver 980-700 100 til hver 280-140 20 til hver 140-140 20 til hver 0 340 i alt
Moro?
Multiplikasjon Bruk sifrene 1, 2, 3 og 4 og lag to tosifrede tall slik at produktet blir størst mulig. Bruk sifrene 1, 2, 3, 4 og 5 og lag et tosifret og et tresifret tall slik at produktet blir størst mulig. Når blir det slik: 28 41 = 82 14
Til ettertanke Undervisningsprinsipper som IKKE er effektive Learn how to do it first understanding will come later. Repetition will improve understanding. There is a best way to teach, an optimal sequence for learning, a right way to solve each problem. Explain clearly how to do the problem before you give it to your class. Learning must be preceded by instruction. https://www.ncetm.org.uk/public/files/309231/mathematics+matters+final+report.pdf
De fem trådene Matematikkfaget har hovedansvaret for at elevene skal utvikle gode regneferdigheter, og faget skal gi elevene muligheter til å utvikle de fem komponentene i god regning, slik disse er beskrevet i rammeverket for kompetanse-utvikling på ungdomstrinnet. http://www.udir.no/lareplaner/grunnleggende-ferdigheter/container/god-regneopplaring--for-larere-paungdomstrinnet/regning-som-grunnleggende-ferdighet-i-alle-fag/
Beregning Utføre prosedyrer som involverer operasjoner med tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt.
Fleksibilitet Beregning handler om å beherske forskjellige prosedyrer ved å bruke hoderegning, blyant og papir, digitale verktøy eller andre hjelpemidler. Elever som utfører prosedyrer fleksibelt, kan veksle mellom forskjellige prosedyrer og velge prosedyren(e) som er mest nyttige i den bestemte situasjonen. De kan også tilpasse prosedyrene slik at de blir lette å bruke.
Kunnskapsstrukturer - nettverk I hvilke sammenhenger bruker vi denne strukturen?
Nettverk felles egenskaper Mange anvendelser én matematisk struktur
Multiplikativ tenking Hva tror du dine elever vil gjøre?
Viktige lover Hvordan konkretisere 2(5 + 3)? Regn ut 5 39 i hodet. 5 30 + 5 9 = 150 + 45 = 195 5 40 = 200, trekker fra 5 og får 195 10 39 = 390, halvdelen er 195 Assosiative lov (a + b) + c = a + (b + c) a (b c) = (a b) c Distributive lov a (b + c) = a b + a c Kommutative lov a + b = b + a a b = b a
Grunnleggende ferdigheter Muntlige ferdigheter Å kunne lese Å kunne skrive Å kunne regne Digitale ferdigheter