System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset grunnleggende matematikk skal vi lære oss å optimere med Lagranges metode. Når vi bruker Lagranges metode deriverer vi først. Deretter ønsker vi finne for hvilke verdier på variablene vi har optimum og da må vi kreve at deriverte er null. Dette gir et system av likninger vi må klare av å løse. Vi begynner med system av to likninger. Hvis vi har to ukjente trenger vi til å ha mer enn en likning normalt for ikke å ha for mange løsninger. Normalt skal man ha to likninger for to ukjente. Hvis vi har større antall likninger enn ukjente får vi normalt ingen løsning. Eksempel 1. Vi løser likningene x 2y=3 2x 1 3x =4 Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man 1+2y=3 hvorfra man får y=1 En metod for å løse system av likninger er å forsøke eliminere en ukjent gjennom å finne en likning hvor man har kun en ukjent. Eksempel 2. Vi løser likningene 2x y=1 3x y=4 Vi ser at 2x y 3x y =1 4 gjennom å addere likningene. Forenkling gir 5x = 5 og x=1, hvorfra vi kan løse ut y fra første eller andre likning (hvor x=1) 2+y=1 gir y=-1 og 3-y = 4 gir også y=-1. 1
En annen metod er å løse ut en ukjent og sette inn i andre likning Eksempel 3. Vi løser likningene 3x 5y=1 7x 3y=17 Vi kan gjøre minst på to måter. Vi kan forsøke å få en likning i y: 7 3x 5y 3 7x 3y =7 1 3 17 gir 44y=-44 og y=-1 og bruker vi første likning får vi 3x 5=1 med løsning x=2 Vi kan også forsøke å få en likning i x: 3 3x 5y 5 7x 3y =3 3 5 17=88 gir 44x=88 og x=2 og bruker vi igjen første likning fås 6+5y=1 hvorfra y=-1 Eksempel 4. Vi løser igjen 2x y=1 3x y=4 Vi kan løse ut y fra første likning y=1-2x. Setter vi inn i andre får vi 3x-(1-2x)=4 og 5x-1=4 gir x=1 og så har vi y=1 2 1= 1 hvis vi bruker y=1-2x. Vi kan også løse ut y fra andre likning y=3x-4. Setter vi inn i første får vi 2x + (3x-4)=1 med løsning x=1 og y=3 1 4= 1 Vi kan også løse ut x=(1-y)/2 og sette inn i andre likning og får 3(1-y)/2 -y =4 som gir -5y/2 =5/2 og y=-1 og videre x=(1-(-1)/2=1 Så kan vi løse ut x ur andre og sette inn i første. Så du må velge hvilken du liker mest. Eksempel 5. Vi løser systemet. 2x+y=1 13x+12y=1 Nå er det enklest å bruke ikke standard metode. Vi subtraherer første likning fra den andre 13x+12y-(2x+y)=1-1 og får 11x+11y=0 hvorfra y=-x hvilket vi setter inn i første likning for å finne x=1 fra 2x-x=1. Så er også y=-1. Sjekkes lett i likningene? 2
Vi har oven brukt to metoder, innsettningsmetode og addisjonsmetode. Vi gjør nå et sammendrag av disse på et nyt eksempel. Vi forsøker løse likningssystem (1) 2x+3y=8 (2) x+4y = 9 Vi kan bruke begge metodene. Vi begynner med innsettingsmetode. Vi løser ut en av x eller y fra likning (1) eller (2). Vi ser x alene i (2) og det er fristende å løse ut x=9-4y. Dette legger vi da inn i likning (1) og får 2(9-4y)+3y=8 og 18-8y+3y=8. Trekker vi sammen fås 18-5y=8. Vi flytter 18 til høyre og får -5y=-10. Deler vi på -5 får vi y=2 (men vi ser kanskje naturlig at y må være to, vi har jo -5 ganger to er -10). Nå kan vi bruke x=9-4y vi fikk oven for å finne x. Vi setter inn y=2 og får x=9-8=1. Løsning er x=1 og y=2. Vi kan ha regnet feil så det er godt å sjekke, spesiellt hvis vi senere skal bruke løsningene er det godt å sjekke tidlig. Vi må sjekke begge (1) og (2), ikke kun en av disse. Vi sjekker (1): Vi sjekker (2): 2 1 3 2=2 6=8 ser grei ut. 1 4 2=2 6=9 ser grei ut. Vi kan bruke innsettningsmetode på mange måter. Vi kan løse ut x fra (1) og få x=(8-3y)/2 vi legger inn i (2) og får (8-3y)/2+4y=18. Tar vi begge sidene ganger to får vi 8-3y+8y=20 og 8+5y=18 og 5y=10 og y=2 igjen og vi får x=(8-6)/2=1. Vi kan også løse ut y fra en likning, for eksempel (1): y=(8-2x)/3. Setter vi inn i (2) får vi x+4(8-2x)/3=9. Vi tar begge sidene ganger 3 og får 3x+4(8-2x)=27 og 3x+32-8x=27 og -5x=-5 og sist x=1. Setter vi inn i y=(8-2x)/3 får vi y=(8-2)/3=2. Vi bruker nå addisjonsmetoden. Vi ser at hvis vi tar (2) ganger 2 får vi samme x-ledd i (1) og (2) 2x+3y=4 (3) 2x+8y=18 (4) Trekker vi nå (4) fra (3) får vi (2x+3y)-(2x+8y)=8-18 hvilket gir -5y=-10 og y=2. For å finne x må vi bruke den ene av (1) eller (2)og legge inn y=2. Hvis vi bruker (1) får vi 2x+6=8 som gir 2x=2 og x=1. 3
Husk igjen å sjekke. Vi har også andre måter vi kan bruke addisjonsmetode på. Tar vi (1) ganger 4 og (2) ganger 3 får vi samme y-ledd. 8x+12y=32 (5) 3x+12y=27 (6) Vi trekker (6) fra (5) og får (8x+12y)-(3x+12y)=32-27 og trekker sammen til 5x=5 og får x=1. Legger vi inn x=1 i (1) får vi 2+3y=8 og 3y=8-2=6 og y=2. Alle systemer med to ukjente og to likninger har ikke nødvendigvis løsninger. Eksempel 6.. Systemet x+y = 1 2x+2y= -1 har ikke løsning dersom det gir -1=2x+2y=2(x+y)=2. Det kan også finnes uendelig mange løsninger. Eksempel 7. Systemet 2x+y=1-4x-2y=-2 har som løsninger alle x og y hvis kun y=1-2x. Dvs x=0, y=1 er løsning men også x=1 og y=-1 eller x=-2 og y=5. Vi tar nå eksempler hvor vi har tre ukjente. Eksempel 8. Vi løser 2x-y-2z = -1 x+y+z=2 3x+2y+2z=5 Vi kan forsøke å bli av med en. Multipliserer vi andre likning med to og trekker fra første likning får vi 2 x y z 2x y 2z =2 2 1 og etter forenkling 3y+4z=5. Multipliserer vi andre likning med tre og trekker fra siste likning får vi 3 x y z 3x 2y 2z =3 2 5 og etter forenkling y+z=1 4
Nå kan vi løse systemet 3y+4z=5 y+z=1 Det kan løses som tidligere med svar y=-1 og z=2. Fra andre likning ser vi så at x=1. Men studentene i Alta fant en flink og kortere løsning: Multipliser andre likning med to og trekk fra siste likning hvorfra 2 x y z 3x 2y 2z =2 2 5 gir -x=-1 og x=1. Hvis vi addere første og andre likning fås 3x-z=1 og dersom x=1 må z være 2. Fra første likning fås så lett y=-1 gjennom å sette inn x=1 og z=2. Et system av likninger hvor vi kun har konstante ledd (ledd er et tall, f eks 5, -10) og ledd med et tall ganger en ukjent (f eks 4x, -3y...) kalles lineære. Det fins en formel for alle lineære likningssystemer. F eks har likningssystemet ax+by=e cx+dy=f løsning x=(de-bf)/(ad-bc), y=(af-ec)/(ad-bc) i det fall når ad-bc er ulik null. Disse formler er normalt mer vanskelige å bruke enn å regne på annen måte. Ikke heller datamaskinsprogram bruker disse formlene dersom det går vesentlig hurtigere med andre algoritmer. Likninger i lineære systemer med to ukjente kan grafisk presenteres med rette linjer og løsning blir skjæring av linjer. Men selvfølgelig kan vi også ofte ha bruk for systemer som ikke er lineære. Ofte er det i det hele tatt ikke mulig å løse disse med eksplisitte formler. Vi må bruke numeriske algoritmer (og datamaskin) som beregner gode tilnærmete løsninger. Likevel eksisterer det masser av ikke-lineære systemer som kan løses uten maskin. Vi ser på ett eksempel. Eksempel 9. Vi løser systemet x+y=5 xy=6 Nå kan vi ikke få lettere likninger enkelt med å addere likningene og multiplisere med tall. Så vi løser y=5-x og setter inn i xy=6. Vi får x(5-x)=6 som gir etter regning x 2 5x 6=0 Denne likning løses som standard andregradslikning med røtter x=2 og x=3. 5
Hvis x=2 fås y=3 og hvis x=3 fås y=2. Vi kan også løse ut y=6/x fra andre likning og sette inn i første å få x 2 6 x+6/x=5 som etter forenkling gir = 5x x 2 5x 6 og =0 x x x Vi får så lett igjen samme andregradslikning i teller og kommer til samme svar. Dersom x=0 ikke kan være løsning (gir 0=6 i andre likning) kan vi dele og utvide med x. Løsningene nok så lette å gjette uten å regne? Det er også viktig å tenke hva er realistisk gjennom å se på likningene uten å løse. F eks hvis vi har systemet 2x+3y=5055 3x+4y=7000 og forventer oss positiv løsninger ser vi lett att begge ikke kan være under 1000? Oppgave 1. Løs likningssystemene a) x+y=5 b) 2x-3y=11 c) 4x-5y=9 x-y=-1 3x+2y=23-2x+7y=-5 Oppgave 2. Løs likningssystemene a) x+5y=2-y b) 2x+y=5-x c) 2x+y=4-x -x+3y+1=x+y-13 2x+y=10-y 2x+y=10-y Oppgave 3. Løs likningssystemene a) x 2 y 3 = 1 6 x 3 y 4 = 7 12 b) 0.01x+0.0002y=3 c) x-2y+5=3x+y+4 0.3x-0.002y=10 6x+y-3=4x-3y-1 d) x 1 2 2y= x 2 5x 2y 1 2y 1 =4y 2 4 Oppgave 4. Hva er a hvis x=3, y=-2 og x+y=a og ax+y=1? 6
Oppgave 5. Ved kjøp av 2 rugbrød og 3 hvetebrød må betales 129 kroner, og ved kjøp av 5 rugbrød og 2 hvetebrød må betales 163 kroner. Selger oppgir ikke stykkepris, kan du finne ut hvilke pris han bruker? Oppgave 6. For et lån av type A på 500000 og et lån av type B på 400000 må betales sammen 70000 i rente. For et lån av type A på 300000 og et lån av type B på 600000 må betales 60000 i rente. Hvilke er rentene får lån av type A og for lån av type B? Oppgave 7. Løs likningssystem x+y+z=6 2x-y+3z=9 3x-2y-6z=-19 Oppgave 8. Løs likningssystem x+y+z=2 2x-3y+4z=13+x+z+3y 5x+6z=20-3x Oppgave 9. Løs likningssystem Oppgave 10. Løs likningssystem x-y-z=3 2x+3y+4z=5 3x+2y+3z=0 2x+y=3 xy=1 Oppgave 11. Løs likningssystem x-y=2 x 2 y 2 =2 Oppgave 12. Løs likningssystem x 2 y 2 =5 x 2 y 2 =3 Oppgave 13. Begge løsningene til system 3x+4y=700 2x+5y=777 er positive. Kan du si noe om løsningene uten å regne? Fasit. Oppgave 1. a) x=2, y=3 b) x=7, y=1 c) x=1, y=-1 Oppgave 2. a) x=8, y=-1, b) uendelig mange løsninger, alle hvor y=5-x c) har ikke løsning. Oppgave 3. a) x=1, y=-1 b) x=100, y=10000 c) x=-1, y=1 d) x=1, y=1/2 Oppgave 4. a=1 Oppgave 5. Rugbrød koster 21 kroner og hvetebrød 29 kroner 7
Oppgave 6. Rente for A er 10% og for B 5% Oppgave 7. x=1, y= 2, z= 3 Oppgave 8. x=1, y=-1, z=2 Oppgave 9. har ikke løsning Oppgave 10. To løsninger: x=1 og y=1 eller x=1/2 og y=2 Oppgave 11. x=1, y=-1 Oppgave 12. Fire løsninger x=2 og y=1 eller x=2 og y=.-1 eller x=-2 og y=1 eller x=-2 og y=-1. Oppgave 13. For eksempel: Begge kan ikke være over hundre og begge kan ikke være over 200. 8