Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Grete og Per fyller etanol i et beger. De veier begeret flere ganger mens de fyller på etanolen. Resultatene plotter de som punkter i et koordinatsystem. Se ovenfor. a) Tegn av koordinatsystemet med punktene i besvarelsen din. Tegn en rett linje som passer godt med punktene i koordinatsystemet. Finn funksjonsuttrykket for linjen. Vi tegner en rett linje. Linja skjærer y - aksen i punktet 0,200. Stigningstallet er ca. 80. (Vi ser at linja tilnærmet går gjennom punktet 5,600. Funksjonsuttrykket er da gitt ved y 80x 200. 1
b) Omtrent hvor mye veier begeret, og omtrent hvor mye veier én liter etanol? Konstantleddet tilsvarer 200 g. Stigningstallet tilsvarer 80 g/dl = 800 g/l. Begeret veier ca. 200 g og én liter etanol veier ca. 800 g. Oppgave 2 (12 poeng) a) Finn gjennomsnittet og medianen for tallene 2 5 8 4 6. Gjennomsnittet er 2 5 8 4 6 5 5 Vi sorterer tallene i stigende rekkefølge 2 4 5 6 8 Medianen er 5. b) 1) Regn ut 6 2 3 3 0 3 2 3 6 2 3 3 0 3 2 3 6 2 3 3 3 2) Regn ut og skriv svaret på standardform 7 12 6,4 10 2,5 10 7 12 5 5 5 4 6,4 10 2,5 10 12,8 3,2 10 16 10 1,6 10 10 1,6 10 c) 1) Skriv 10112 i titallsystemet. 3 2 1 0 1011 1 2 0 2 1 2 1 2 8 2 1 11 2 2
2) Skriv tallet 17 i totallsystemet. 4 3 2 1 0 17 16 1 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 10001 2 d) En bil er i dag verdt 270 000 kroner. Bilens verdi har avtatt med 10 % det siste året. Vi antar at verdien også vil avta med 10 % neste år. 10 90 9 Vekstfaktoren blir 1 100 100 10 1) Hvor mye vil bilen være verdt om ett år? 9 270000 27000 9 243000 10 Om et år vil bilen være verdt 243 000 kroner. 2) Hvor mye var bilen verdt for ett år siden? 9 10 270000 270000: 270000 10 30000 10 300000 10 9 9 Bilen var verdt 300 000 kroner for ett år siden. 11 e) Dersom en person får i seg mer enn 3,5 10 g av et giftig stoff per kg kroppsvekt, kan det gi alvorlige helseskader. Anta at en person som veier 70 kg, har fått i seg 1,2 10 g av stoffet. Kan inntaket gi alvorlige helseskader? 12 12 12 14 14 2 10 < 1,2 10 1,4 10 140 10 70 70 70 3,5 10 11 Dette viser at giftmengden er mindre enn grenseverdien. 3
Oppgave 3 (8 poeng) Sommeren 2007 var 175 skoleelever på sommerleir. Etter leiren ble de spurt om hvor mye penger de hadde brukt på brus, is og godteri. Resultatene fra undersøkelsen er vist i tabellen nedenfor. Penger brukt (kroner) Klassemidtpunkt m Frekvens Hyppighet f Relativ frekvens s Produkt ms 0,40 20 21 0,12 2,40 40,80 60 70 2) 24,0 80,120 100 49 3) 28,0 120,160 140 21 0,12 16,8 160,200 180 1) 0,08 14,4 Totalt 175 1,00 85,6 a) Hvilke tall skal stå i feltene som ikke er fylt ut, og som er merket 1), 2) og 3)? 1) 175 21 70 49 21 14 2) 70 70: 7 10 10: 5 2 2 2 4 0,4 175 175: 7 25 25: 5 5 5 2 10 3) 1 0,08 0,12 0,12 0,4 0,28 b) Framstill dataene over pengeforbruket i et egnet diagram. 4
c) Hvor mye penger brukte hver av de 175 elevene i gjennomsnitt? Vi ser av tabellen at hver av de 175 elevene brukte 85,6 kroner i gjennomsnitt. Kristian påstår at han med én gang kan si at for dette datamaterialet er medianen lavere enn gjennomsnittet. d) Forklar hvordan Kristian kan se dette direkte ut fra tabellen ovenfor. Kristian kan se direkte ut fra tabellen ovenfor at medianen lavere enn gjennomsnittet fordi over halvparten (70 + 21 = 91) av elevene bruker mindre enn 80 kroner. Del 2 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 4 (6 poeng) Noen elever i Oslo ville undersøke hvor mange personer det var i hver bil som kjørte inn til sentrum om morgenen. De telte antall personer i 30 biler og fikk følgende resultat: 2 1 4 3 3 1 1 2 5 1 3 1 2 2 1 4 5 1 1 4 4 1 2 1 1 1 2 2 4 4 5
Vi bruker regneark for å løse denne oppgaven. Vi legger inn verdiene fra Oslo og fra den andre byen, og finner gjennomsnitt, median og standardavvik. Formlene i cellene B33 C35: a) Finn medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet. Medianen er 2. Gjennomsnittet er 2,3. (Se regnearket ovenfor.) 6
b) Framstill datamaterialet i et sektordiagram. Hvor stor del av bilene har mer enn én passasjer? Vi bruker regneark. Vi lager et sektordiagram ut fra verdiene i kolonne B, og bruker kolonne A som kategorinavn for dataetiketter. Vi velger å vise prosent og antall. 100% 40% 60% Det er mer enn én passasjer i 60 % av bilene. Elever i en annen by gjennomførte en tilsvarende undersøkelse. De fikk følgende resultat: 1 2 1 3 2 4 1 1 3 2 2 2 3 2 3 2 1 2 4 1 2 4 1 3 2 1 2 2 3 1 7
c) Finn standardavviket både for dette datamaterialet og for datamaterialet fra Oslo. Det ene standardavviket er større enn det andre. Per påstår at han kunne sett dette direkte ut fra resultatene fra undersøkelsene. Hvordan kunne han klart det? Standardavvik, Oslo er 1,35. Standardavvik, annen by er 0,94. (Se regnearket ovenfor.) Per kan se at spredingen i datamaterialet fra Oslo er større. Oslo: 1 passasjer: 11 biler 4 passasjerer: 6 biler 5 passasjerer: 2 biler Resten av bilene har 2 eller 3 passasjerer. Annen by: 1 passasjer: 9 biler 4 passasjerer: 3 biler Resten av bilene har 2 eller 3 passasjerer. Oppgave 5 (10 poeng) Marit vil låne 75 000 kroner i banken til 9,5 % rente per år. Hun lurer på hvordan lånet vil vokse dersom hun verken betaler renter eller avdrag. 8
a) Hvor stort vil lånet være etter 10 år? Vi regner først ut vekstfaktor. Lånebeløpet vil være på 185 867 kroner etter 10 år. b) Forklar at størrelsen på lånet etter x år kan uttrykkes ved funksjonen f gitt ved f x 75000 1,095 x Startbeløpet er 75 000 kroner. Dette beløpet øker med 9,5 % per år. Det vil si at vekstfaktoren er 1,095. Beløpet multipliseres med vekstfaktoren for hvert nytt år det skal forrentes. Etter 1 år: 75000 1,095 Etter 2 år: 75000 1,095 1,095 75000 1,095 Etter 3 år: 75000 1,095 1,095 75000 1,095 Etter x år: 75000 1,095 x 1 2 3 2 9
c) Tegn grafen til f. Bruk x - verdier fra og med 0 til og med 10. d) Hvor lang tid går det før lånet er dobbelt så stort? Lånet blir dobbelt så stort i løpet av det åttende året. (Se koordinatsystemet ovenfor.) Espen tok opp et lån for fem år siden. Han har verken betalt renter eller avdrag. I dag er lånet dobbelt så stort som det var opprinnelig. Vi regner at renten i prosent per år har vært den samme hele denne perioden. e) Hvor stor har renten i prosent per år vært for dette lånet? Vi antar at Espen lånte 100 000 kroner. Lånet har da vokst til 200 000 kroner i løpet av 5 år. 5 p Vi løser likningen 100000 1 200000 i wxmaxima for å finne prosenten, p. 100 Renten har vært på ca. 14,9 %. 10
Oppgave 6 (9 poeng) Sted i universet Jorda Saturn Pluto Sentrum av Melkeveien Avstand til sola (meter) 1,50 10 1,43 10 5,96 10 11 12 12 20 1,20 10 Tabellen ovenfor viser avstanden fra noen steder i universet til sola. a) Et fly har farten 250 m/s. Hvor mange år ville dette flyet brukt på en reise fra jorda til sola? 11 8 1,50 10 8 6,0 10 166667 sekunder 6,0 10 sekunder timer 166667timer år 19år 250 3600 24 365 b) Tenk deg at du lager en modell der avstanden fra jorda til sola er 40 cm. Finn avstanden til sola fra Saturn, Pluto og sentrum av Melkeveien i denne modellen. Vurder om ett eller flere av de svarene du får, bør skrives på standardform. 0,40 x 1,50 10 1,43 10 11 12 0,40 1,43 10 x 11 1,50 10 x 3,8 12 Avstanden til Sola fra Saturn ville være 3,8 m. 0,40 x 1,50 10 5,96 10 11 12 0,40 5,96 10 x 11 1,50 10 x 15,9 12 Avstanden til Sola fra Pluto ville være 15,9 m. 11
0,40 x 1,50 10 1,2 10 11 20 0,40 1,2 10 x 11 1,50 10 8 x 3,2 10 m 20 Avstanden fra Sola til sentrum av melkeveien ville være 3,2 10 m. 8 Fra oppgave b) vil du se at avstanden fra sola til sentrum av Melkeveien blir stor i modellen. Du bestemmer deg derfor for å lage modellen mindre. I den nye modellen skal avstanden fra sola til Melkeveiens sentrum være 5,0 m. c) Hvor stor blir avstanden fra sola til jorda i den nye modellen? Skriv svaret på standardform. x 5,0 1,50 10 1,2 10 11 20 5,0 1,5 10 x 20 1,2 10 x 6,25 10 9 11 9 Avstanden fra Sola til jorda blir 6,25 10 m. 12
Oppgave 7 (8 poeng) Hvis du skal legge opp et effektivt treningsprogram, er det lurt å kjenne til makspulsen din (den høyeste hjertefrekvensen du kan oppnå). Makspuls er avhengig av alder. Du kan finne en tilnærmet verdi for makspulsen din ved å regne ut 220 minus alderen din. a) Finn et funksjonsuttrykk fx ( ) som viser denne sammenhengen mellom alderen til en person og makspulsen til personen. Vi setter alderen lik x. Makspulsen er da gitt ved f x 220 x Den mest nøyaktige måten å finne makspulsen din på er å gjennomføre en fysisk test der du presser deg maksimalt for å se hvor høy puls det er mulig å oppnå. Fem personer med ulik alder har gjennomført en slik test. Resultatene ser du i tabellen nedenfor. Alder, x år 18 25 37 48 60 Makspuls 195 189 183 175 166 13
b) Bruk regresjon til å vise at funksjonen g gitt ved g( x) 0,67x 207, der x er alder, er en matematisk modell som viser sammenhengen mellom alder og makspuls dersom man tar utgangspunkt i datamaterialet ovenfor. Vi bruker GeoGebra, legger punktene inn i en liste, og velger RegLin[liste1]. Vi får g( x) 0,67x 207. 14
c) Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem. Velg x - verdier fra og med 18 til og med 60. 15
De to modellene f og g gir litt ulike verdier for makspuls. d) For hvilken aldersgruppe er forskjellen mellom verdien de to modellene gir for makspuls mindre enn 3? Vi tegner grafen til funksjonen h gitt ved h x f x g x. Vi ser at grafen til h skjærer linja y 3 i 30,73, 3 og linja y 3 i 48,91, 3. Forskjellen mellom verdiene de to modellene gir for makspuls er mindre enn tre for aldersgruppen 31 49 år. 16
Oppgave 8 (6 poeng) På første stolrad i en teatersal er det 10 plasser. På andre rad er det 12 plasser, og på tredje rad er det 14 plasser. Se figuren nedenfor. Slik fortsetter det å øke med to plasser for hver rad bakover i salen. a) 1) Hvor mange plasser er det på rad 6 og på rad 10? Plasser på rad 6: 8 2 2 2 2 2 2 8 6 2 20 Plasser på rad 10: 8 10 2 28 2) Forklar at det på rad n vil være (8 2 n ) plasser. På rad n vil være hver rad. (8 2 n ) plasser fordi vi starter med 8 plasser og legger til to plasser for På første rad er billettprisen 350 kroner. På rad nummer to er prisen 340 kroner. Slik avtar prisen med 10 kroner for hver rad bakover i salen. b) Forklar at billettene på rad n til sammen koster (8 2 n) (360 10 n ) kroner. Billettene på rad n koster til sammen (8 2 n) (360 10 n ) kroner fordi det på rad n til sammen er (8 2 n) plasser og dette antallet må multipliseres med prisen for hver plass. Prisen for hver plass er 350 kroner på rad 1, dvs. 360 10 1 På rad 2 er den 340, eller 360 10 2 På rad 3 er den 330, eller 360 10 3 På rad n er den 360 10 n 17
c) På hvilken rad koster billettene mest til sammen? Vi tegner grafen til K x (8 2 x) (360 10 x) og finner toppunktet ved kommandoen Ekstremalpunkt[K]. Billetttene koster til sammen mest på rad 16. (Se koordinatsystemet ovenfor.) 18
Formler som skal være kjent ved Del 1 av eksamen i MAT1015 Matematikk 2P (Formelarket kan ikke brukes på Del 1 av eksamen.) p q p q a a a p p p p a a b a b p q a q 0 a a 1 Potenser p q p q a a p 1 a p p a p a a p b b Standardform n a k 10 1 k 10 og n er et helttall Plassverdisystemer Enkle omregninger Vekstfaktor p 1 100 p 1 100 Statistikk Gjennomsnitt Median Eksamensoppgavene lages ut fra kompetansemålene i læreplanen, og utvalget av formler ovenfor angir derfor ikke begrensninger av kompetansemål som kan prøves i Del 1. Dersom oppgavetemaet krever det, kan mer kompliserte formler bli oppgitt som en del av oppgaveteksten i Del 1. Det forutsettes at en behersker grunnleggende formler og framgangsmåter fra tidligere kurs og skolegang. 19
Bildeliste Trafikk Foto: Erik Johansen/Scanpix Penger Bilde: Utdanningsdirektoratet Tredemølle Foto: Science Photo Library/Scanpix 20