Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 10 Forhåndsvisning av tredimensjonale grafer... 154 Grafisk fremstilling av tredimensjonale ligninger... 156 Forskjeller mellom tredimensjonale grafer og funksjonsgrafer... 157 Bevege markøren i tredimensjonale grafer... 160 Rotere og heve synsvinkelen... 162 Animere tredimensjonale grafer interaktivt... 164 Bytte format på akser og stiler... 165 Plotting av konturer... 167 Eksempel: Konturer av en kompleks moduloverflate... 170 Implisitte plott... 171 Eksempel: Det implisitte plottet av en komplisert ligning... 173 Dette kapitlet beskriver hvordan du fremstiller tredimensjonale ligninger på TI-89 / TI-92 Plus. Før Z du leser dette kapitlet, bør du gjøre deg kjent med kapittel 6: (x,y,z) Grafisk fremstilling av funksjoner. z I en tredimensjonal graf av en ligning for z(x,y), er plasseringen av et punkt definert slik det er vist her. x y Det utvidete bildet lar deg studere en tredimensjonal graf mer inngående. Eksempel: Normalt bilde Utvidet bilde Tips: Hvis du vil vise grafen langs x, y,eller z-aksen, kan du trykke henholdsvis X, Y, eller Z. Tips: Hvis du skal skifte fra en formatstil til en annen (og hoppe over IMPLICIT PLOT), trykker du: TI-89: j [F] TI-92 Plus: F Du beholder den gjeldende visningen (utvidet/normal). Obs! Hvis du skal skifte til IMPLICIT PLOT (via dialogboksen GRAPH FORMATS), trykker du: Hvis du vil bytte mellom normalt og utvidet bilde, trykk på p (multiplikasjonstasten, ikke bokstaven X). Når du fremstiller en tredimensjonal graf, brukes det utvidete bildet automatisk hvis: Du definerer eller endrer det grafiske formatet til CONTOUR LEVELS eller IMPLICIT PLOT. Den forrige grafen brukte det utvidete bildet. Hvis du trykker en tast for å forandre grafen, bytter skjermen automatisk til normalt bilde. Du kan ikke forandre eller fremstille en graf i det utvidete bildet. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 153
Forhåndsvisning av tredimensjonale grafer Lag en graf av den tredimensjonale ligningen z(x,y) = (xò y ì yò x) / 390. Fremstill grafen ved å bruke markøren til å endre verdiene på vindusvariablene eye, som kontrollerer synsvinkelen. Vis deretter grafen i ulike grafiske formater. Fremgangsmåte ³ TI-89 Tastetrykk TI-92 Plus Tastetrykk Skjermbilde 1. Åpne dialogboksen MODE. Velg 3D for å få Graph-modus. 3 B 5 3 B 5 2. Vis og tøm Y= Editor. Definer deretter den tredimensjonale ligningen z1(x,y) = (xò y ì yò x) / 390. Legg merke til at implisitt multiplikasjon er brukt i tastetrykkene. # ƒ8 cxz3y YZ3Xd e390 # ƒ8 cxz3y YZ3Xd e390 3. Bytt grafisk format for å vise og merke aksene. Sett også Style = WIRE FRAME. Du kan tegne i alle grafiske formater, men WIRE FRAME er det raskeste formatet. 4. Velg visningskuben ZoomStd. Denne tegner automatisk opp en graf av ligningen. Mens ligningen beregnes (før den tegnes), vises en beregningsprosent i den øverste delen til venstre på skjermen. Obs! Hvis du allerede har brukt tredimensjonale grafer, kan det hende grafen vises i utvidet bilde. Når du fremstiller grafen, returnerer skjermen til normalt bilde automatisk. (Bortsett fra ved grafisk fremstilling, kan du gjøre de samme tingene i normalt og utvidet bilde.) Í DB2 DB2 DB1 F DB2 DB2 DB1 6 6 p (trykk på p for å bytte mellom utvidet og normalt bilde) p (trykk på p for å bytte mellom utvidet og normalt bilde) 5. Vis grafen ved å redusere variabelverdien eyef. D eller C kan påvirke eyeq og eyeψ, men i mindre grad enn eyef. Hvis du vil animere grafen, trykk og hold markøren nede i ca. 1 sekund, og slipp den opp igjen. Trykk for å stoppe. DDDD DDDD DDDD DDDD 154 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Fremgangsmåte ³ TI-89 Tastetrykk TI-92 Plus Tastetrykk Skjermbilde 6. Sett grafen tilbake i den opprinnelige retningen. Flytt deretter synsvinkelen langs bildebanen rundt grafen. 0 (null, ikke bokstaven O) AAA 0 (null, ikke bokstaven O) AAA Hvis du vil vite mer om bildebanen, kan du se side 164. 7. Vis grafen langs x-aksen, y- aksen, og deretter z-aksen. X X Grafen har den samme formen langs y-aksen og x-aksen. Y Y Z Z 8. Returner til den opprinnelige retningen. 9. Vis grafen i ulike grafiske formater. 0 0 Í (trykk Í for å bytte fra én stil til den neste) F (trykk F for å bytte fra én stil til den neste) HIDDEN SURFACE CONTOUR LEVELS (kan kreve ekstra tid for å beregne konturer) WIRE AND CONTOUR WIRE FRAME Obs! Du kan også vise grafen som et implisitt plott ved å bruke dialogboksen GRAPH FORMATS (ƒ 9 eller ). Hvis du trykker TI-89: Í TI-92 Plus: F for å bytte mellom stiler, vises ikke det implisitte plottet. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 155
Grafisk fremstilling av tredimensjonale ligninger Når du skal fremstille tredimensjonale ligninger grafisk, bruker du samme fremgangsmåte som for y(x)-funksjonene beskrevet i kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner. De forskjellene som gjelder for tredimensjonale ligninger, er beskrevet nedenfor. Grafisk fremstilling av tredimensjonale ligninger Sett grafisk modus (3) til 3D. Velg også vinkelmodusen (Angle), om nødvendig. Definer tredimensjonale ligninger i Y= Editor ( #). Tips: Hvis du vil slå av statistiske plott (kapittel 16), trykk 5 eller bruk for å deaktivisere dem. Velg ( ) hvilken ligning som skal fremstilles grafisk. Du kan bare velge én tredimensjonal ligning. Obs! Når det gjelder tredimensjonale grafer, kalles skjermbildet "visningskuben". Zoom endrer også visningskuben. Tips: For å hjelpe deg med å se retningen på 3D-grafer, kan du slå på Axes og Labels. Obs! Før grafen vises, viser skjermen en beregningsprosent. Definer visningskuben ( $). Bytt grafisk format etter behov. ƒ 9 eller TI-89: Í Fremstill grafen for ligningen ( %). Studere grafen Tips: Du kan også regne ut z(x,y) under sporingen. Tast inn x-verdien og trykk på ; tast deretter inn y- verdien og trykk på. Fra Graph-skjermbildet kan du: Spore ligningen. Bruke Zoom-verktøyene på menyen til å forstørre eller forminske en del av grafen. Enkelte av menyvalgene er nedtonet fordi de ikke gjelder for tredimensjonale grafer. Bruke verktøymenyen Math til å beregne ligningen ved det angitte punktet. Bare 1:Value er tilgjengelig for tredimensjonale grafer. 156 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Forskjeller mellom tredimensjonale grafer og funksjonsgrafer Dette kapitlet forutsetter at du allerede er kjent med hvordan du tegner grafer til y(x)-funksjoner, som beskrevet i kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner. Denne delen beskriver forskjellene ved tredimensjonale ligninger. Definere grafisk modus Bruk 3 for å sette Graph = 3D før du definerer ligninger eller Window-variabler. I Y= Editor og Window Editor kan du bare angi informasjon for den gjeldende modusinnstillingen Graph. Definere tredimensjonale ligninger i Y= Editor Du kan definere tredimensjonale ligninger for z1(x,y) til z99(x,y). Tips: Du kan bruke Definekommandoen i Homeskjermbildet (se tillegg A) til å definere funksjoner og ligninger for alle grafiske modi, uansett hva som er gjeldende modus. Y= Editor opprettholder en uavhengig funksjonsliste for hver innstilling av Graph-modus. Anta følgende: I den grafiske modusen FUNCTION definerer du et sett med y(x)- funksjoner. Du bytter til den grafiske modusen 3D, og definerer et sett med z(x,y)-ligninger. Når du returnerer til den grafiske modusen FUNCTION, vil y(x)- funksjonene fortsatt være definert i Y= Editor. Når du returnerer til den grafiske modusen 3D, vil z(x,y)-ligningene fortsatt være definert. Velge visningsstil Fordi du bare kan fremstille én tredimensjonal ligning om gangen, vil ikke visningsstilene være tilgjengelige. I Y= Editor er verktøymenyen Style nedtonet. Når det gjelder tredimensjonale ligninger, kan du imidlertid bruke: ƒ 9 eller til å sette Style-formatet til WIRE FRAME eller HIDDEN SURFACE. Se også Bytte format på akser og stiler på side 165. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 157
Window-variabler Window Editor opprettholder et uavhengig sett med Window-variabler for hver innstilling av Graph-modus (på samme måte som Y= Editor opprettholder uavhengige funksjonslister). Tredimensjonale grafer bruker følgende Window-variabler. Obs! Hvis du angir et desimaltall for xgrid eller ygrid, rundes det av til nærmeste hele tall 1. Obs! 3D-modus har ikke Window-variabler, så du kan ikke sette avstandsmerker på aksene. Variabel eyeq, eyef, eyeψ xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax xgrid, ygrid Beskrivelse Vinkler (alltid i grader) brukt til å presentere grafen. Se også Rotere og heve synsvinkelen på side 162. Grensene til visningskuben. Avstanden mellom xmin og xmax og mellom ymin og ymax er delt opp i det angitte antallet ruter. z(x,y)-ligningen beregnes ved hvert rutepunkt der rutelinjene møtes. Stigningsverdien langs x og y beregnes som: xmax ì xmin x-trinn = xgrid ymax ì ymin y-trinn = ygrid Antallet rutelinjer er xgrid + 1 og ygrid + 1. Hvis for eksempel xgrid = 14 og ygrid = 14, består xy-ruten av 225 (15 15) rutelinjer. z(xmin,ymin) z(xmin,ymax) z(xmax,ymin) z(xmax,ymax) ncontour Antall konturer som er jevnt fordelt i det viste intervallet av z-verdier. Se side 168. Standardverdiene (defineres når du velger 6:ZoomStd fra Zoom verktøymenyen) er: eyeq = 20. xmin = ë 10. ymin = ë 10. zmin = ë 10. eyef = 70. xmax = 10. ymax = 10. zmax = 10. eyeψ = 0. xgrid = 14. ygrid = 14. ncontour = 5. Obs! Hvis du øker gridvariablene, reduseres hastigheten på fremstillingen av grafen. Det kan bli nødvendig å øke standardverdiene til grid-variablene (xgrid, ygrid) for å sikre at et tilstrekkelig antall punkter plottes. 158 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Definere det grafiske formatet Studere en graf Formatene for Axes og Style gjelder bare den grafiske modusen 3D. Se også Bytte format på akser og stiler på side 165. Som ved fremstilling av funksjonsgrafer, kan du studere en graf ved hjelp av følgende verktøy. De koordinatene som vises, presenteres i rektangulær eller sylindrisk form, som definert i det grafiske formatet. (I tredimensjonale grafer vises sylindriske koordinater når du bruker: ƒ 9 eller til å sette Coordinates = POLAR.) Verktøy Fri markør For tredimensjonale grafer: Den frie markøren er ikke tilgjengelig. Zoom Fungerer stort sett på samme måte som ved funksjonsgrafer, men husk at du nå bruker tre dimensjoner i stedet for to. Bare følgende zoom-stikkord kan velges: 2:ZoomIn 5:ZoomSqr A:ZoomFit 3:ZoomOut 6:ZoomStd B:Memory C:SetFactors Bare Window-variablene x (xmin, xmax), y (ymin, ymax) og z (zmin, zmax) påvirkes. Window-variablene grid (xgrid, ygrid) og eye (eyeq, eyef, eyeψ) påvirkes ikke, med mindre du velger 6:ZoomStd (som tilbakestiller disse variablene til standardverdiene). Tips: Se også Bevege markøren i tredimensjonale grafer på side 160 Tips: Under en sporing kan du også beregne z(x,y). Tast inn x-verdien og trykk ; tast deretter inn y- verdi og trykk. Trace Lar deg bevege markøren langs en rutelinje fra ett rutepunkt til det neste på den tredimensjonale overflaten. Når du begynner en sporing, vises markøren ved midtpunktet av xy-ruten. QuickCenter er tilgjengelig. Når som helst i løpet av en sporing og uansett hvor markøren er plassert, kan du trykke for å midstille visningskuben på markøren. Markørflytting er ikke tillatt i x- og y-retningene. Du kan ikke flytte markøren utenfor visningskubens grenser, som er definert av xmin, xmax, ymin og ymax. Math Bare 1:Value er tilgjengelig for tredimensjonale grafer, og viser z-verdien for en gitt x- og y-verdi. Etter at du har valgt 1:Value, tast inn x- verdien og trykk på. Tast deretter inn y- verdien og trykk på. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 159
Bevege markøren i tredimensjonale grafer Når du beveger markøren langs en tredimensjonal overflate, kan det virke litt merkelig hvorfor markøren beveger seg slik den gjør. Tredimensjonale grafer har to uavhengige variabler (x,y) i stedet for én, og x- og y-aksene har en annen retning enn i de andre grafiske modiene. Slik beveges markøren På en tredimensjonal overflate følger markøren alltid en rutelinje. Markørtast Flytter markøren til det neste rutepunktet i: Obs! Du kan bare bevege markøren innenfor x- og y- grensene definert av Windowvariablene xmin, xmax, ymin og ymax. B A C D Positiv x-retning Negativ x-retning Positiv y-retning Negativ y-retning Selv om reglene skulle være relativt klare, kan markørflytting virke forvirrende hvis du ikke kjenner aksenes retning. I todimensjonale grafer har x- og y- aksene alltid samme retning i forhold til Graph-skjermbildet. Tips: Hvis du skal vise aksene og etikettene fra Y= Editor, Window Editor eller Graph screen, bruk: I tredimensjonale grafer har x og y forskjellig retning i forhold til Graph-skjermbildet. I tillegg kan du rotere og/eller heve synsvinkelen. eyeq=20 eyef=70 eyeψ=0 Enkelt eksempel på markørflytting Følgende graf viser en skrånende overflate som har ligningen z1(x,y) = ë (x + y) / 2. Anta at du vil følge de viste yttergrensene. Tips: Ved å vise aksene og sette navn på dem, blir det enklere å se mønsteret ved bevegelse av markøren. B flytter i positiv x-retning, opp til xmax. Når du trykker på, vises sporingsmarkøren som midtpunktet av xy-ruten. Bruk markørtasten for å flytte markøren til en av kantene. D flytter i negativ y-retning, tilbake til ymin. C flytter i positiv y-retning, opp til ymax. A flytter i negativ x-retning, tilbake til xmin. Tips: Hvis du vil flytte rutelinjene nærmere hverandre, kan du øke Window-variablene xgrid og ygrid. Når sporingsmarkøren befinner seg på et indre punkt på den viste overflaten, flyttes markøren fra ett rutepunkt til det neste langs en av rutelinjene. Du kan ikke flytte markøren diagonalt, på tvers av ruten. Legg merke til at rutelinjene kanskje ikke vises parallelt med aksene. 160 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Eksempel på markøren på en skjult overflate I mer kompliserte former kan det hende markøren vises som om den ikke skulle være på en rutelinje. Dette er et synsbedrag som skyldes at markøren befinner seg på en skjult overflate. Se for eksempel på sadelflaten til z1(x,y) = (xñìyñ) / 3. Grafen nedenfor viser bildet sett ovenfra og nedover langs y-aksen. Se nå på den samme formen 10 fra x-aksen (eyeq = 10). Tips: Hvis du vil ta bort fronten av sadelen i dette eksemplet, kan du sette xmax=0 for å vise bare de negative x-verdiene. Du kan flytte markøren slik at den ikke ser ut til å være på et rutepunkt. Hvis du går bort fra fronten, kan du se at markøren faktisk er plassert på et rutepunkt på den skjulte baksiden. Eksempel på en markør "utenfor kurven" Selv om markøren bare kan beveges langs et rutenett, vil du se mange situasjoner der det virker som om markøren ikke befinner seg på den tredimensjonale overflaten i det hele tatt. Dette skjer når z-aksen er for kort til at den kan vise z(x,y) for de tilhørende x- og y-verdiene. Anta at du sporer parabolgrafen for ligningen z(x,y) = xñ +.5yñ som er fremstilt med de angitte Window-variabler. Du kan enkelt flytte markøren til en posisjon, slik: Spormarkør Gyldige sporingskoordinater Tips: Med QuickCenter kan du midtstille visningskuben rundt markøren. Trykk på. Selv om markøren faktisk sporer den parabole grafen, vises den utenfor kurven fordi sporet koordinerer: xc og yc er innenfor visningskuben. men zc er utenfor visningskuben. Når zc er utenfor z-grensen av visningskuben, vises markøren fysisk ved zmin eller zmax (selv om skjermen viser de korrekte sporingskoordinatene). Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 161
Rotere og heve synsvinkelen I tredimensjonal grafisk modus kan du bruke Window-variablene eyeq og eyef til å definere synsvinkelen, som bestemmer siktelinjen. Med Window-variabelen eyeψ kan du rotere grafen rundt denne siktelinjen. Hvordan synsvinkelen måles Synsvinkelen består av tre komponenter: eyeq vinkel i grader fra den positive x-aksen. eyef Z Obs! Når eyeψ=0, vil z- aksen være loddrett på skjermen. Når eyeψ=90, roteres z-aksen 90 mot klokka og vil være vannrett. eyef vinkel i grader fra den positive z-aksen. eyeψ vinkel i grader. Med denne vinkelen roterer grafen mot urviseren rundt synsvinkelen definert av eyeq og eyef. I Window Editor ( $) må du alltid angi eyeq, eyef og eyeψ i grader, uansett gjeldende vinkelmodus. X eyeψ eyeq Y Angi ikke et -symbol. Tast f.eks. inn 20, 70 og 0, ikke 20, 70 og 0. Virkningen av å endre eyeq Visningen på Graph-skjermbildet er alltid rettet inn etter synsvinkelen. Fra denne synsvinkelen kan du endre eyeq slik at synsvinkelen roteres rundt z-aksen. z1(x,y) = (x 3 y - y 3 x) / 390 I dette eksemplet er eyef = 70 Obs! Dette eksemplet øker eyeq i trinn på 30. eyeq = 20 eyeq = 50 eyeq = 80 162 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Virkningen av å endre eyef Ved å endre eyef, kan du heve synsvinkelen over xy-planet. Hvis 90 < eyef < 270, ligger synsvinkelen under xy-planet. z1(x,y) = (x 3 y - y 3 x) / 390 I dette eksemplet er eyeq = 20 Obs! Dette eksemplet starter på xy-planet (eyef = 90) og reduserer eyef i trinn på 20 for å heve synsvinkelen. eyef = 90 eyef = 70 eyef = 50 Virkningen av å endre eyeψ Visningen på Graph-skjermbildet er alltid rettet inn langs synsvinklene definert av eyeq og eyef. Du kan endre eyeψ slik at grafen roteres rundt denne synsvinkelen (siktelinjen). Obs! Under rotasjonen utvides eller trekkes aksene sammen for å få plass innenfor skjermens bredde og høyde. Dette kan føre til skjevheter, som vist i eksemplet. z=10 Når eyeψ=0, fyller z-aksen høyden av skjerme. z=ë10 z1(x,y)=(x 3 yì y 3 x) / 390 eyeψ=0 I dette eksemplet er eyeq=20 og eyef=70 eyeψ=45 Når eyeψ=90, fyller z-aksen bredden av skjermen. z=10 z=ë10 Når z-aksen roterer 90, utvides lengden (ë10 til 10 i dette eksemplet) til nær det dobbelte av den opprinnelige lengden. På samme måte utvides eller trekkes også x- og y-aksene sammen. Fra Home-skjermbildet eller et program eyeψ=90 Verdiene for eye lagres i systemvariablene eyeq, eyef og eyeψ. Du kan lese fra eller skrive til disse variablene etter behov. TI-89: Hvis du vil skrive f eller ψ, trykk på henholdsvis c j [F] eller c Ú. Du kan også trykke på 2 og bruke Greek-menyen. TI-92 Plus: For å skrive inn f eller ψ, trykker du på henholdsvis 2 G F eller 2 G Y. Du kan også trykke på 2 og bruke menyen for greske bokstaver. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 163
Animere tredimensjonale grafer interaktivt Etter plotting av en tredimensjonal graf kan du endre synsvinkelen interaktivt ved hjelp av markøren. Se også eksemplet på side 154. Bildebanen Obs! Bildebanen påvirker Window-variablene eye i ulik grad. Når du bruker A og B til å forandre (animere) en graf, kan du se på det som om du flytter synsvinkelen langs grafens bildebane rundt grafen. Bevegelser langs denne banen kan føre til at z-aksen vakler noe under fremstillingen (som du kan se i eksemplet på side 154). Animere grafen Obs! Hvis grafen vises i utvidet bilde, returnerer den til normalt bilde automatisk når du trykker en markørtast. Tips: Når du har animert grafen, kan du stoppe animasjonen og starte den på nytt i samme retning ved å trykke på: TI-89: eller j TI-92 Plus: eller mellomrom Tips: Under animasjonen kan du skifte til neste grafformatstil ved å trykke på: TI-89: Í TI-92 Plus: F Tips: Hvis du vil se en graf som viser eye-vinklene, kan du se side 162. Hvis du vil: Gjør dette: Forandre grafen trinnvis Trykk og slipp markøren raskt. Flytte langs bildebanen: A eller B Endre bildebanens stigning: C eller D (øker eller reduserer eyef) Animere grafen kontinuerlig Bytte mellom 4 tegnehastigheter(øke eller redusere de trinnvise endringene i Window-variablene eye) Bytte synsvinkelen for en graf som ikke er animert slik at den viser x-, y-, eller z-aksen Returnere til de opprinnelige eyevinkelverdiene Trykk og hold markøren nede i ca. 1 sekund, og slipp den deretter opp. TI-89: For å stoppe, trykker du på N,, eller (mellomrom). TI-92 Plus: For å stoppe, trykker du på N,, eller mellomrom. Trykk «eller. Trykk henholdsvis X, Y eller Z. Trykk 0 (null, ikke bokstaven O). Fremstille en serie av grafiske bilder Du kan også animere en graf ved å lagre en serie av grafiske bilder og deretter bla deg gjennom disse bildene. Se også Fremstille en serie av grafiske bilder i kapittel 12: Flere grafiske emner. Denne metoden gir deg bedre kontroll over verdiene på Window-variablene, og især eyeψ (side 162), som roterer grafen. 164 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Bytte format på akser og stiler Med standardinnstillinger viser TI-89 / TI-92 Plus skjulte overflater på en tredimensjonal graf, men ikke aksene. Du kan imidlertid endre det grafiske formatet når som helst. Vise dialogboksen GRAPH FORMATS Fra Y= Editor, Window Editor eller Graph-skjermbildet: ƒ 9 eller Dialogboksen viser de gjeldende innstillingene for de grafiske formatene. Hvis du vil avslutte uten endringer, trykk på N. Hvis du vil endre noen av disse innstillingene, kan du bruke samme fremgangsmåte som når du endrer andre typer dialogbokser, for eksempel dialogboksen MODE. Eksempler på innstillinger av akser Tips: Det kan være nyttig å sette Labels = ON når du viser en av de tredimensjonale aksene. Hvis du vil vise de gyldige innstillingene på Axes, kan du merke den gjeldende innstillingen og trykke B. AXES Viser standard xyz-akser. BOX Viser tredimensjonale boksakser. Kantene på boksen bestemmes av Windowvariablene xmin, xmax, osv. z1(x,y) = xñ+.5yñ I mange tilfeller er origo (0,0,0) innenfor boksen, og ikke ved et hjørne. Hvis for eksempel xmin = ymin = zmin = ë10 og xmax = ymax = zmax = 10, vil origo være midtpunktet i boksen. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 165
Eksempler på innstillinger av stiler Tips: WIRE FRAME fremstiller grafer raskere og kan være mer praktisk når du eksperimenterer med ulike former. Vær forberedt på synsbedrag! Hvis du vil vise de gyldige Styleinnstillingene, kan du merke gjeldende innstilling og trykke B. WIRE FRAME Viser den tredimensjonale formen som et gjennomsiktig nett. HIDDEN SURFACES Bruker skygger for å skille de to sidene av den tredimensjonale formen fra hverandre. Lenger bak i dette kapitlet finner du beskrivelser av CONTOUR LEVELS, WIRE AND CONTOUR (side 167) og IMPLICIT PLOT (side 171). eye-vinklene som brukes til å vise en graf (Window-variablene eyeq, eyef og eyeψ), kan føre til synsbedrag som gjør at du mister perspektivet i en graf. De fleste synsbedrag oppstår normalt når eye-vinklene er i en negativ kvadrant av koordinatsystemet. Synsbedrag kan være lettere å oppdage med boksakser. Det er for eksempel ikke opplagt hva som er fronten av boksen. Sett ovenifra og ned langs xy-planet Sett nedenifra og opp langs xy- planet Obs! Disse eksemplene viser grafen slik den er fremstilt på skjermen. eyeq = 20, eyef = 55, eyeψ = 0 eyeq = 20, eyef = 120, eyeψ= 0 Obs! Disse eksemplene bruker kunstig skyggelegging (som ikke vises på skjermen) til å vise fronten av boksen. For å redusere virkningen av synsbedrag, kan du sette Style = HIDDEN SURFACE i dialogboksen GRAPH FORMATS. 166 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Plotting av konturer I et konturplott tegnes en linje slik at den kobler sammen påfølgende punkter på den tredimensjonale grafen som har den samme z-verdien. I denne delen beskrives de grafiske formatene CONTOUR LEVELS og WIRE AND CONTOUR. Velge grafisk format Tips: Fra Graphskjermbildet kan du skifte fra en grafformatstil til den neste (og hoppe over IMPLICIT PLOT) ved å trykke på: TI-89: Í TI-92 Plus: F Obs! Å trykke: TI-89: Í TI-92 Plus: F for å velge CONTOUR LEVELS, påvirker ikke synsvinkelen, bildeformatet eller Labels-format slik det gjør når du bruker: Definer en ligning og fremstill grafen for den i tredimensjonal grafisk modus. Bruk samme fremgangsmåte som for andre tredimensjonale grafer, men med følgende unntak: Vis dialogboksen GRAPH FORMATS ved å trykke ƒ 9 fra Y= Editor, Window editor eller Graph-skjermbildet. Sett deretter: Style = CONTOUR LEVELS eller Style = WIRE AND CONTOUR Når det gjelder CONTOUR LEVELS, vises bare konturer. Synsvinkelen settes først, slik at du får vist konturene ved å se nedover langs z-aksen. Du kan endre synsvinkelen etter behov. Grafen vises i utvidet bilde. Hvis du vil bytte mellom utvidet og normalt bilde, trykk p. Labels-formatet settes automatisk til OFF. Når det gjelder WIRE AND CONTOUR, tegnes konturene i et nett. Synsvinkelen, bildeformatet (utvidet eller normalt) og Labelsformatet beholder sine tidligere innstillinger. Stil z1(x,y)=(xò yì yò x) / 390 z1(x,y)=xñ +.5yñ ì 5 Sett nedover langs z-aksen Obs! Disse eksemplene bruker de samme verdiene på Window-variablene x, y og z som visningskuben ZoomStd. Hvis du brukerzoomstd, kan du trykke Z for å se nedover langs z-aksen. CONTOUR LEVELS Bruker eyeq=20, eyef=70, eyeψ=0 CONTOUR LEVELS Obs! Bland ikke sammen konturer med rutelinjer. Konturene er mørkere. WIRE AND CONTOUR Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 167
Hvordan finner man z- verdiene? Du kan sette Window-variabelen ncontour ( $ ) til å angi hvor mange konturer som skal fordeles jevnt langs det viste området av z- verdiene, der: zmax ì zmin økning = ncontour + 1 z-verdiene for konturene er: zmin + økning zmin + 2(økning) zmin + 3(økning) zmin + ncontour(økning) 5 er standard. Du kan sette denne mellom 0 og 20. Hvis ncontour=5 og du bruker standardvinduet (zmin=ë10 og zmax=10), vil økningen være 3.333. Fem konturer tegnes opp for z=ë 6.666, ë 3.333, 0, 3.333 og 6.666. Legg imidlertid merke til at en kontur ikke tegnes opp for en z-verdi hvis den tredimensjonale grafen ikke er definert ved denne z-verdien. Tegne en kontur interaktivt for z-verdien av et valgt punkt Tips: Eventuelle eksisterende konturer beholdes på grafen. Hvis du vil fjerne standardkonturene, kan du vise Window editor ( $) og sette ncontour=0. Hvis det vises en konturgraf, kan du angi et punkt på grafen og tegne en kontur for den tilsvarende z-verdien. 1. For å åpne menyen Draw, trykker du på: TI-89: 2ˆ TI-92 Plus: ˆ 2. Velg 7:Draw Contour. 3. Enten: Skriv inn punktets x-verdi og trykk, og skriv deretter inn y verdien og trykk. eller Flytt markøren til et aktuelt punkt. (Markøren beveger seg langs rutelinjene.) Trykk deretter. Anta at den gjeldende grafen er z1(x,y)=xñ +.5yñì5. Hvis du angir at x=2 og y=3, tegnes det opp en kontur for z=3.5. 168 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Tegne konturer for angitte z-verdier Åpne menyen Draw fra Graph-skjermbildet og velg 8:DrwCtour. Home-skjermbildet vises automatisk med DrwCtour på tekstlinjen. Du kan deretter angi en eller flere z-verdier enkeltvis eller generere en sekvens av z-verdier. Noen eksempler: Tips: Hvis du vil fjerne standardkonturene, kan du bruke $og sette ncontour=0. DrwCtour 5 DrwCtour {1,2,3} DrwCtour seq(n,n,ë 10,10,2) Tegner en kontur for z=5. Tegner konturer for z=1, 2, og 3. Tegner konturer for en sekvens av z-verdier fra ë10 til 10 iitrinn på 2 (ë10, ë8, ë6, osv.). De angitte konturene tegnes på den gjeldende tredimensjonale grafen. (Det tegnes ingen kontur hvis den angitte z-verdien ligger utenfor visningskuben, eller hvis den tredimensjonale grafen ikke er definert ved denne z-verdien.) Merknader om konturplott For konturplott gjelder følgende: Du kan bruke markørtastene(se side 164) til å fremstille animere konturplott. Du kan ikke spore ( ) selve konturene. Du kan imidlertid spore nettverket slik det fremstår når Style=WIRE AND CONTOUR. Det kan ta litt tid å utføre beregningene. På grunn av mulig lang beregningstid bør du først eksperimentere litt med den tredimensjonale ligningen ved hjelp av Style=WIRE FRAME. Beregningstiden er langt kortere. Deretter, når du er sikker på at du har riktige verdier for vindusvariablene, åpner du dialogboksen Graph Formats og setter Style=CONTOUR LEVELS eller WIRE AND CONTOUR. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 169
Eksempel: Konturer av en kompleks moduloverflate Den komplekse moduloverflaten gitt ved z(a,b) = abs(f(a+bi)), viser alle de komplekse nullpunkter til polynomet y=f(x). Eksempel I dette eksemplet er f(x)=x 3 +1. Ved å erstatte x med den komplekse formen x+yi, kan du uttrykke den komplekse overflateligningen som z(x,y)=abs((x+yù i) 3 +1). 1. Bruk 3 til å sette Graph=3D. 2. Trykk #, og definer ligningen: z1(x,y)=abs((x+yù i)^3+1) 3. Trykk $, og angi Window-variablene som vist. 4. Åpne dialogboksen Graph Formats: Slå aksene på, sett Style = CONTOUR LEVELS, og gå tilbake til Window editor. 5. Trykk %for å fremstille grafen for ligningen. Det vil ta litt tid å beregne grafen. Når grafen vises, berører den komplekse moduloverflaten xy-planet nøyaktig ved de komplekse nullpunktene til polynomet: ë 1, 1 2 + 3 2 i og 1 2 ì 3 2 i Obs! Du kan oppnå mer nøyaktige estimater ved å øke Window-variablene xgrid og ygrid. Dette vil imidlertid øke beregningstiden for grafen. Tips: Når du fremstiller grafen,endres skjermbildet til normalt bilde. Bruk p for å bytte mellom normalt og utvidet bilde. 6. Trykk, og flytt sporingsmarkøren til nullverdien i den fjerde kvadranten. Med koordinatene kan du estimere.428ì.857 i som null. 7. Trykk N. Bruk deretter markørtastene til å animere grafen og vise den fra andre eyevinkler. Nullverdien er eksakt når z=0. Dette eksemplet viser eyeq=70, eyef=70 og eyeψ=0. 170 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Implisitte plott Et implisitt plott brukes primært som en metode for å fremstille todimensjonale kurver som ikke kan fremstilles i vanlig funksjonsmodus. Teknisk sett er et implisitt plott et tredimensjonalt konturplott med en kontur tegnet bare for z=0. Eksplisitte og implisitte former I todimensjonal grafisk funksjonsmodus har ligninger den eksplisitte formen y=f(x), der y er entydig for hver verdi av x. Mange ligninger har imidlertid den implisitte formen f(x,y)=g(x,y), der du ikke eksplisitt kan løse y ved hjelp av x eller x ved hjelp av y. y er ikke entydig for hver x, så du kan ikke fremstille dette som en graf i grafisk funksjonsmodus. Tips: Du kan også tegne grafen til mange implisitt gitte kurver hvis du enten: Uttrykker dem som parametriske ligninger. Se også kapittel 7. Deler dem opp i separate, eksplisitte funksjoner. Se også eksemplet i kapittel 6. Ved å bruke implisitte plott i tredimensjonal grafisk modus, kan du fremstille disse kurvene grafisk uten å løse y eller x. Omorganiser den implisitte f(x,y)ì g(x,y)=0 formen som en ligning med null på høyre side. Skriv venstre side av ligningen inn på Y= Editor. Dette er gyldig fordi et implisitt plott automatisk setter ligningen til å være lik null. z1(x,y)=f(x,y)ì g(x,y) Anta at du har ellipseligningen vist til høyre, og velg den implisitte formen i Y= Editor. Hvis xñ +.5yñ =30, sett z1(x,y)=xñ +.5yñì30. Velge grafisk format Obs! Fra Graph-skjermbildet kan du trykke: TI-89: Í TI-92 Plus: F for å bytte til de andre grafiske formatene. Du må imidlertid bruke: for å returnere til IMPLICIT PLOT. Definer en ligning og fremstill den i tredimensjonal grafisk modus, på samme måte som for alle andre tredimensjonale ligninger, men med følgende unntak: Vis dialogboksen GRAPH FORMATS ved å trykke Ífra Y= Editor, Window editor eller Graph-skjermbildet. Sett deretter: Style = IMPLICIT PLOT Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 171
Synsvinkelen settes innledningsvis slik at du får vist plottet ved å se nedover langs z-aksen. Du kan endre synsvinkelen etter behov. Plottet vises i utvidet bilde. Hvis du vil bytte mellom utvidet og normalt bilde, trykk p. Labels-formatet settes automatisk til OFF. Obs! Disse eksemplene bruker de samme verdiene på Window-variablene x, y og z som visningskuben ZoomStd. Hvis du bruker ZoomStd, kan du trykke Z for å se nedover langs z- aksen. Style IMPLICIT PLOT xñìyñ=4 z1(x,y)=xñìyñì4 (xù y) sin(x)+cos(y)= e (xù y) z1(x,y)=sin(x)+cos(y)ì e Merknader om implisitte plott Følgende gjelder ved implisitt plott: Window-variabelen ncontour (se side 168) har ingen effekt. Bare konturen z=0 tegnes, uansett verdien på ncontour. Det fremstilte plottet viser hvor den implisitte formen møter xy-planet. Du kan bruke markørtastene(se side 164) til å fremstille plottet. Du kan ikke spore ( ) det implisitte plottet. Du kan imidlertid spore det usynlige nettverket i grafen til en tredimensjonal ligning. Det kan ta litt tid å regne ut verdiene. På grunn av mulig lang beregningstid bør du først eksperimentere litt med den tredimensjonale ligningen med Style=WIRE FRAME. Da vil beregningstiden bli atskillig kortere. Når du er sikker på at du har de riktige verdiene på Window-variablene, kan du sette Style=IMPLICIT PLOT. 172 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer
Eksempel: Det implisitte plottet av en komplisert ligning Du kan bruke det grafiske formatet IMPLICIT PLOT til å tegne og animere grafen til en komplisert ligning som ikke kan fremstilles på andre måter. Selv om det kan ta litt tid å beregne en slik graf, rettferdiggjør det visuelle resultatet den lange ventetiden. Eksempel Fremstill grafen til ligningen sin(x 4 +yìx 3 y) =.1. 1. Bruk 3 til å sette Graph=3D. 2. Trykk #, og definer ligningen: z1(x,y)=sin(x^4+yì x^3y)ì.1 3. Trykk $, og sett Window-variablene som vist. Obs! Hvis du vil ha et mer detaljert bilde, kan du øke verdiene på Windowvariablene xgrid og ygrid. Dette øker imidlertid beregningstiden. Tips: Når du tegner grafen, endres skjermbildet til normalt bilde. Trykk p for å bytte mellom normalt og utvidet bilde. 4. Trykk: slå på aksene, sett Style = IMPLICIT PLOT og returner til Window editor. 5. Trykk %for å fremstille en graf av ligningen. Vær oppmerksom på at det vil ta litt tid å beregne grafen. 6. Bruk markørtastene til å fremstille grafen og presenter den fra ulike eye-vinkler. Grafen viser hvor sin(x 4 +yìx 3 y) =.1 I utvidet bilde viser dette eksemplet eyeq=ë127.85, eyef=52.86 og eyeψ=ë18.26. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 173
174 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer