Bruk en startverdi på 1:

Transkript

1 Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 9 Oversikt over grafisk fremstilling av følger Fremgangsmåte for grafisk fremstilling av følger Forskjeller mellom grafisk fremstilling av følger og funksjoner Velge Time-, Web- eller Custom-aksen Bruke nettplott (Web) Bruke tilpassede plott (Custom) Bruke en følge til å generere en tabell Dette kapitlet beskriver hvordan du fremstiller tallfølger grafisk på TI-89 / TI-92 Plus. Før du leser dette kapitlet, bør du være kjent med kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner. Ledd i tallfølger beregnes bare for heltallsverdier som følger etter hverandre. De to generelle typene av følger er: Ikke-rekursive Det n-te leddet i følgen er en funksjon av den uavhengige variabelen n. Hvert ledd er uavhengig av eventuelle andre ledd. I eksempelfølgen under kan du beregne u(5) direkte, uten at du behøver å beregne u(1) eller andre tidligere ledd først. u(n) = 2 ù n for n = 1, 2, 3,... n er alltid en serie med heltall som følger etter hverandre fra et positivt heltall eller null. u(n) = 2 ù n gir følgen 2, 4, 6, 8, 10,... Obs! En rekursiv følge kan henvise til en annen følge, som for eksempel u2(n) = nñ +u1(nì 1). Rekursive Det n-te leddet er definert i forhold til ett eller flere tidligere ledd representert ved u(nì 1), u(nì 2), osv. I tillegg til tidligere ledd, kan en rekursiv følge også være definert i forhold til n (f.eks. u(n) = u(nì 1) + n). I eksempelfølgen under kan du ikke beregne u(5) uten først å beregne u(1), u(2), u(3) og u(4). u(n) = 2 ù u(nì 1) for n = 1, 2, 3,... Bruk en startverdi på 1: u(n) = 2 ù u(nì 1) gir følgen 1, 2, 4, 8, 16,... Det første leddet er ikke definert ved dette, fordi det ikke har noe foregående ledd. Derfor må du angi en startverdi for den første termen. Antallet startverdier du må angi, avhenger av hvor dypt rekursjonen går. Hvis for eksempel hvert ledd er definert i forhold til de to tidligere ledd, må du angi startverdier for de to første ledd. Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 139

2 Oversikt over grafisk fremstilling av følger En liten skog består av 4000 trær. Hvert år felles 20% av trærne (og 80% står igjen), og 1000 nye trær vil bli plantet. Bruk en følge til å beregne antallet trær i skogen ved slutten av hvert år. Stabiliserer antallet seg ved et bestemt tall? Opprinnelig Etter 1 år Etter 2 år Etter 3 år x x (.8 x ).8 x (.8 x (.8 x ) ) Fremgangsmåte ³ TI-89 Tastetrykk TI-92 Plus Tastetrykk Skjermbilde 1. Åpne MODE-dialogboksen. Velg SEQUENCE som Graphmodus. 3 B 4 3 B 4 2. Åpne og tøm Y= Editor. Definer deretter følgen som u1(n) = ipart(.8ù u1(nì 1)+1000). Bruk ipart for å bruke heltallsdelen av resultatet. Ingen trær felles bare delvis. For å få tilgang til ipart(, kan du bruke 2I, skrive det inn direkte eller velge det fra CATALOG. 3. Definer ui1 som startverdien på den første perioden. # ƒ8 2I14.8jU1c jn 1d«1000d 4000 # ƒ8 2I14.8U1c N 1d«1000d Åpne Window Editor. Angi n og Window-variablene plot. nmin=0 og nmax=50 beregner størrelsen på skogen over 50 år. 5. Sett Window-variablene x og y til passende verdier for dette eksemplet. $ 0D50D 1D1D 0 D 50D 10D0D 6000D 1000 $ 0D50D 1D1D 0D50D 10D0D 6000D Åpne Graph-skjermbildet. % % 7. Velg Trace. Flytt markøren for å spore år for år. Hvor mange år (nc) tar det for at antallet trær (yc) skal stabilisere seg? Sporingen begynner ved nc=0. nc er antall år. xc = nc fordi n er plottet på x-aksen. yc = u1(n), antallet trær ved år n. B og A etter behov B og A etter behov Som standard bruker følger visningsstilen Square. 140 Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger

3 Fremgangsmåte for grafisk fremstilling av følger Når du skal fremstille følger grafisk, bruker du samme fremgangsmåte som ved y(x)-funksjoner, som beskrevet i kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner. Denne delen beskriver forskjellene. Grafisk fremstilling av følger Sett Graph-modus (3) til SEQUENCE. Angi også Angle-modus om nødvendig. Definer følger og, om nødvendig, startverdier i Y= Editor ( #). Tips: Du kan slå av eventuelle statiske dataplott (kapittel 16) ved å trykke på 5eller ved å bruke for å avmerke dem. Obs! Ved følger er standardstilen Square. Velg ( ) hvilke av de definerte følgene som skal fremstilles grafisk. Ikke velg startverdier. Angi visningsstilen for en følge. TI-89: 2 ˆ TI-92 Plus: ˆ Tips: Zoom endrer også visningsvinduet. Definer visningsvinduet ( $). Endre det grafiske formatet om nødvendig. ƒ 9 eller TI-89: Í TI-92 Plus: F Fremstill de valgte følgene grafisk ( %). Studere grafen Tips: Du kan også beregne en følge under sporing. Du kan angi n-verdiene direkte fra tastaturet. Fra Graph-skjermbildet kan du: Vise koordinatene til et piksel ved å bruke den frie markøren, eller koordinatene til et plottet punkt ved å spore en følge. Bruke verktøymenyen Zoom til å forstørre/forminske en del av grafen. Bruke verktøymenyen Math til å beregne en følge. Bare 1:Value er tilgjengelig for følger. Plotte følger på Time- (standard), Web- eller Custom-aksene. Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 141

4 Forskjeller mellom grafisk fremstilling av følger og funksjoner Dette kapitlet forutsetter at du allerede er kjent med grafisk fremstilling av y(x)-funksjoner, som beskrevet i kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner. Denne delen beskriver forskjellene i forbindelse med grafisk fremstilling av følger. Velge grafisk modus Bruk 3 for å sette Graph = SEQUENCE før du definerer følger eller angir Window-variabler. I Y= Editor og Window Editor kan du bare angi informasjon for gjeldende grafisk modus. Definere følger i Y= Editor Du kan definere følger fra u1(n) til u99(n). Bruk bare ui til rekursive følger. Dette krever én eller flere startverdier. Obs! Du må bruke en liste for å angi to eller flere startverdier. Hvis en følge krever mer enn én startverdi, må du angi dem som en liste i krøllparenteser { } og atskilt med komma. Tast inn {1,0} selv om {1 0} vises på følgelisten. Obs! Med følger kan du eventuelt velge ulike akser for grafen. TIME er standard. Tips: Du kan bruke Definekommandoen fra Homeskjermbildet (se tillegg A) for å definere funksjoner og ligninger for alle grafiske modi, uansett hvilken modus som er valgt. Hvis en følge krever en startverdi, men du ikke angir noen, vil du få en feilmelding når du forsøker å fremstille følgen grafisk. I Y= Editor lar Axes deg velge hvilke akser som skal brukes til å fremstille følgene grafisk. Hvis du vil vite mer, kan du se side 146. Akser TIME WEB CUSTOM Beskrivelse Plotter n på x-aksen og u(n) på y-aksen. Plotter u(n-1) på x-aksen og u(n) på y-aksen. Lar deg velge x- og y-akse. Y= Editor opprettholder en uavhengig funksjonsliste for hver Graphmodus. Anta for eksempel følgende: I Graph-modusen FUNCTION definerer du et sett med y(x)- funksjoner. Du bytter til SEQUENCE-innstillingen og definerer et sett med u(n)-følger. Når du returnerer til Graph-modusen FUNCTION, vil y(x)- funksjonene fortsatt være definert i Y= Editor. Når du går tilbake til SEQUENCE, vil u(n)-følgene fortsatt være definert. 142 Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger

5 Merke følger Med TIME- og WEB-aksene tegner TI-89 / TI-92 Plus bare grafen til de følgene som er merket. Hvis du har definert følger som krever en startverdi, må du oppgi den tilhørende ui-verdien. Obs! Med TIME- og CUSTOM-aksene beregnes alle definerte følger selv om de ikke fremstilles grafisk. Du kan velge en følge. Du kan ikke velge følgens startverdi. Når du angir en følge med egendefinerte innstillinger på CUSTOMaksene, fremstilles følgen grafisk uansett om den er merket eller ikke. Velge visningsstil Bare stilene Line, Dot, Square og Thick er tilgjengelige for følgegrafer. Dot og Square markerer bare de diskrete heltallsverdiene (i plotstepøkninger) som en følge er plottet med. Window-variabler Window Editor opprettholder et uavhengig sett med Windowvariabler for hver innstilling av grafisk modus (på samme måte som Y= Editor opprettholder uavhengige funksjonslister). Følgegrafer bruker følgende Window-variabler: Obs! Både nmin og nmax må være positive heltall, selv om nmin kan være null. Obs! nmin, nmax, plotstrt og plotstep må være heltall 1. Hvis du ikke angir heltall, rundes tallene av til heltall. Variabel nmin, nmax plotstrt plotstep xmin, xmax, ymin, ymax xscl, yscl Beskrivelse De minste og største n-verdiene som skal brukes i beregningen. Følger beregnes ved: u(nmin) u(nmin+1) u(nmin+2)... og ikke over... u(nmax) Leddnummeret, som vil være det første som plottes (avhengig av plotstep). Eksempel: Hvis du vil begynne å plotte ved ledd nr. 2 i følgen, må du sette plotstrt = 2. Det første leddet vil bli beregnet ved nmin, men vil ikke bli plottet. En økende n-verdi som bare gjelder for grafer. Dette påvirker ikke hvordan følgen beregnes, men bare de punktene som plottes. Anta for eksempel at plotstep = 2. Følgen beregnes for hvert påfølgende heltall, men plottes bare ved hvert 2. heltall. Visningsvinduets grenser. Avstanden mellom merkene på x- og y-aksene. Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 143

6 Window-variabler (fortsettes) Standardverdiene (som settes når du velger 6:ZoomStd fra verktøymenyen Zoom) er: nmin = 1. xmin = ë 10. ymin = ë 10. nmax = 10. xmax = 10. ymax = 10. plotstrt = 1. xscl = 1. yscl = 1. plotstep = 1. Det kan hende du blir nødt til å endre standardverdiene på variablene n og plot for å sikre at det plottes et tilstrekkelig antall punkter. Hvis du vil se hvordan plotstrt påvirker en graf, kan du se på følgende eksempler på en rekursiv følge. Denne grafen er plottet med start ved det første leddet. Obs! Begge disse grafene bruker de samme Windowvariablene, bortsett fra plotstrt. Denne grafen er plottet med start ved det niende leddet. plotstrt=1 plotstrt=9 Med TIME-akser (fra Axes på Y= Editor) kan du sette plotstrt = 1 og likevel bare fremstille en del av følgen. Du trenger bare å definere et visningsvindu som bare viser det området av koordinatplanet du vil se på. Du kan sette: xmin = første n-verdien som skal plottes xmax = nmax (selv om du kan bruke andre verdier) ymin og ymax = forventede verdier for følgen plotstrt=1 nmax Bytte det grafiske formatet Formatet Graph Order er ikke tilgjengelig. Med TIME- eller CUSTOM-aksene vil flere følger alltid plottes samtidig. Med WEB-akser vil flere følger alltid plottes sekvensielt, dvs. en etter en. 144 Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger

7 Studere grafen Som ved grafisk fremstilling av funksjoner, kan du studere en graf ved å bruke verktøyene nevnt nedenfor. De koordinatene som vises, er på rektangulær eller polar form, som angitt av det grafiske formatet. Verktøy Den frie markøren Ved grafisk fremstilling av følger: Fungerer på samme måte som med funksjonsgrafer. Zoom Fungerer på samme måte som med funksjonsgrafer. Bare Window-variablene x (xmin, xmax, xscl) og y (ymin, ymax, yscl) påvirkes. Window-variablene n og plot (nmin, nmax, plotstrt, plotstep) påvirkes ikke hvis du ikke velger 6:ZoomStd (som setter alle Window-variabler til standardverdiene). Tips: Ved sporing kan du beregne en følge ved å taste inn en verdi for n og trykke på. Tips: Du kan bruke QuickCenter når som helst under sporing, selv om markøren fortsatt er på skjermen. Trace Avhengig av om du bruker TIME-, CUSTOM-, eller WEB-aksen, fungerer Trace ulikt. Med TIME- eller CUSTOM-aksen flytter du markøren langs følgen ett trinn (plotstep) om gangen. Hvis du for eksempel vil flytte ti plottede punkter samtidig, trykker du på 2Beller 2A. Når du begynner å spore, vil markøren være på den første følgen som er merket, ved leddnummeret angitt av plotstrt, selv om det er utenfor visningsvinduet. QuickCenter kan brukes i alle retninger. Hvis du beveger markøren utenfor skjermbildet (øverst, nederst, venstre eller høyre), må du trykke på for å sentrere visningsbildet på markørens posisjon. Med WEB-aksene følger sporingsmarkøren nettet, ikke følgen. Se også side 147. Math Bare 1:Value er tilgjengelig for følgegrafer. Med TIME- og WEB-aksene vises u(n)-verdien (representert ved yc) for en angitt n-verdi. Med CUSTOM-aksene avhenger verdiene som svarer til x og y, av hvilke akser du velger. Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 145

8 Velge Time-, Web- eller Custom-aksen Ved følger kan du velge ulike typer akser på grafen. Eksempler på ulike typer finner du senere i dette kapittel. Åpne dialogboksen AXES Dialogboksen Axes fra Y= Editor: Avhengig av den gjeldende innstillingen for Axes, kan enkelte elementer være nedtonet. Trykk på N hvis du vil avslutte uten å gjøre noen endringer. Element Axes Build Web X Axis og Y Axis Beskrivelse TIME Plotter u(n) på y-aksen og n på x-aksen. WEB Plotter u(n) på y-aksen og u(n-1) på x-aksen. CUSTOM Lar deg velge x- og y-aksene. Dette er bare aktivt når Axes = WEB, og angir om et nett skal tegnes manuelt (TRACE) eller automatisk (AUTO). Hvis du vil vite mer, kan du se side 147. Dette er bare aktivt når Axes = CUSTOM. Lar deg velge hvilken verdi eller følge som skal plottes på x- og y-aksene. Hvis du vil vite mer, kan du se side 150. Hvis du vil endre noen av disse innstillingene, kan du bruke den samme fremgangsmåten som ved endring av de andre dialogboksene, for eksempel MODE-dialogboksen. 146 Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger

9 Bruke nettplott (Web) Et web-plott lager en graf av u(n) mot u(nì 1). I denne grafen kan du studere den langsiktige atferden til en rekursiv følge. Eksemplene i denne delen viser også hvordan startverdien kan påvirke atferden til en følge. Gyldige funksjoner for nettplott En følge må oppfylle vilkårene nevnt nedenfor, ellers vil den ikke bli fremstilt grafisk på riktig måte på WEB-aksene. Følgen: Må være rekursiv med bare ett rekursivt nivå; u(nì 1), men ikke u(nì 2). Kan ikke henvise direkte til n. Kan ikke henvise til andre definerte følger bortsett fra seg selv. Når du viser Graphskjermbildet Når du har valgt WEB-aksene og viser Graph-skjermbildet, gjør TI-89 / TI-92 Plus følgenede: Tegner en y=x-referanselinje. Plotter de valgte følgedefinisjonene som funksjoner, der u(nì 1) er den uavhengige variabelen. Dette konverterer en rekursiv følge til en ikke-rekursiv form for grafisk fremstilling. Ta for eksempel følgen u1(n) = 5ìu1(nì1) og en startverdi på ui1=1. TI-89 / TI-92 Plus tegner y=x-referanselinjen og plotter deretter y = 5ìx. Tegne opp nettet Når følgen er plottet, kan nettet vises manuelt eller automatisk, avhengig av hvordan du angir Build Web i AXES-dialogboksen. Hvis Build Web = TRACE AUTO Betyr det at: Nettet ikke tegnes opp før du trykker på. Nettet tegnes deretter steg for steg ettersom du flytter sporingsmarkøren (du må ha en startverdi før du bruker Trace). Obs! Med WEB-aksene kan du ikke spore langs selve følgen på samme måte som i andre grafmodi. Nettet tegnes opp automatisk. Du kan deretter trykke på for å spore nettet og vise dets koordinater. Nettet: Obs! Nettet starter ved plotstrt. Verdien på n økes med 1 hver gang nettet flyttes mot følgen (plotstep ignoreres). 1. Starter på x-aksen ved startverdien ui (når plotstrt = 1). 2. Flytter seg loddrett (enten opp eller ned) til følgen. 3. Flytter seg vannrett mot y=x-referanselinjen. 4. Repeterer disse loddrette og vannrette bevegelsene til n=nmax. Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 147

10 Eksempel: Konvergens 1. Definer u1(n) = ë.8u1(nì 1) på Y= Editor ( #), Sett startverdien til ui1 = ë Sett Axes = TIME. 3. Angi Window-variablene slik i Window Editor ( $). nmin=1. xmin=0. ymin=ë 10. nmax=25. xmax=25. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. 4. Fremstill følgen grafisk ( %). En følge bruker visningsstilen Square som standard. 5. På Y= Editor, sett Axes = WEB og Build Web = AUTO. 6. Endre Window-variablene slik i Window Editor. u(n) nmin=1. xmin=ë 10. ymin=ë 10. nmax=25. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. n Tips: Ved sporing kan du flytte markøren til en angitt n-verdi ved å taste inn verdien og trykke på. 7. Fremstill følgen grafisk på nytt. y=ë.8x Nettplott vises alltid som linjer, uansett hvilken visningsstil som er valgt. y=x u(n) u(nì1) Tips: Når nc-verdien endres, vil markøren være på følgen. Neste gang du trykker på B, vil nc fortsatt være det samme, men markøren vil nå være på y=x-referanselinjen. 8. Trykk på. Når du trykker på B, følger sporingsmarkøren nettet. Skjermen viser markørkoordinatene nc, xc og yc (der xc og yc representerer henholdsvis u(nì 1) og u(n)). Når du sporer mot større verdier av nc, vil du se at xc og yc nærmer seg konvergenspunktet. Eksempel: Divergens 1. Definer u1(n) = 3.2u1(nì 1) ì.8(u1(nì 1)) 2 på Y= Editor ( #). Sett startverdien til ui1 = Sett Axes = TIME. 3. Angi Window-variablene slik i Window Editor ( $). 4. Fremstill følgen grafisk ( %). Fordi følgen raskt divergerer til store, negative verdier, plottes bare noen få punkter. nmin=0. xmin=0. ymin=ë 75. nmax=10. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. u(n) n 148 Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger

11 5. På Y= Editor, sett Axes = WEB og Build Web = AUTO. 6. Endre Window-variablene i Window Editor. nmin=0. xmin=ë 10. ymin=ë 10. nmax=10. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. 7. Fremstill følgen grafisk på nytt. u(n) Nettplottet viser hvor raskt følgen divergerer til store, negative verdier. y=x u(nì1) y=3.2xì.8xñ Eksempel: Oscillering Obs! Sammenlign denne grafen med divergenseksemplet. Dette er den samme følgen, men med en annen startverdi. Dette eksemplet viser hvordan startverdien kan påvirke en følge. 1. Bruk den samme følgen som ble definert i divergens-eksemplet i Y= Editor ( #): u1(n) = 3.2u1(nì1) ì.8(u1(nì1)) 2. Sett startverdien til ui1 = Sett Axes = TIME. 3. AngiWindow-variablene slik i Window Editor ( $). 4. Fremstill følgen grafisk( %). nmin=1. xmin=0. ymin=0. nmax=100. xmax=100. ymax=5. plotstrt=1. xscl=10. yscl=1. u(n) n 5. I Y= Editor, sett Axes = WEB og Build Web = AUTO. 6. Endre Window-variablene i Window Editor. nmin=1. xmin=ë 2.68 ymin=ë 4.7 nmax=100. xmax=6.47 ymax=4.7 plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. Obs! Nettet går til en bane som oscillerer mellom to stabile punkter. 7. Fremstill følgen grafisk på nytt. u(n) u(nì1) Obs! Ved å starte webplottet ved et senere ledd, vises den stabile, oscillerende banen tydeligere. y=x y=3.2xì.8xñ 8. Trykk på. Bruk deretter B for å spore nettet. Når du sporer mot større verdier av nc, kan du legge merke til at xc og yc oscillerer mellom 2,05218 og 3, Sett plotstrt=50 i Window Editor. Fremstill deretter følgen på nytt. Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 149

12 Bruke tilpassede plott (Custom) CUSTOM-aksene gir deg en stor grad av fleksibilitet ved grafisk fremstilling av følger. Som du vil se av følgende eksempel, er CUSTOM-aksene spesielt effektive når du vil vise sammenhengen mellom to følger. Eksempel: Rovdyr/byttedyrmodellen Bruk rovdyr/byttedyr-modellen fra biologien, og finn ut hvor mange harer og rever som utgjør likevekten i bestanden i et bestemt område. R = Antall harer M = Vekstraten for harer hvis det ikke finnes noen rever (bruk.05) K = Hvor ofte rever kan drepe harer (bruk.001) W = Antall rever G = Vekstraten for rever hvis det finnes harer (bruk.0002) D = Dødeligheten for rever hvis det ikke finnes harer (bruk.03) R n = R n-1 (1 + M ì K W n-1 ) W n = W n-1 (1 + G R n-1 ì D) 1. Definer følgene og startverdiene for R n og W n i Y= Editor ( #), Obs! Vi antar at det i utgangspunktet er 200 harer og 50 rever. u1(n) = u1(nì 1) ù ( ì.001 ù u2(nì 1)) ui1 = 200 u2(n) = u2(nì 1) ù ( ù u1(nì 1) ì.03) ui2 = Sett Axes = TIME. 3. Angi Window-variablene i Window Editor ( $). nmin=0. xmin=0. ymin=0. nmax=400. xmax=400. ymax=300. plotstrt=1. xscl=100. yscl=100. Obs! Bruk for å spore antallet harer u1(n) og rever u2(n) hver for seg over tid (n). 4. Fremstill følgen grafisk( %). u1(n) u(n) u2(n) n 5. I Y= Editor, sett Axes = CUSTOM, X Axis = u1 og Y Axis = u2. 6. Endre Window-variablene i Window Editor. nmin=0. xmin=84. ymin=25. nmax=400. xmax=237. ymax=75. plotstrt=1. xscl=50. yscl=10. Obs! Bruk for å spore både antallet harer (xc) og rever (yc) over en periode på 400 generasjoner. 7. Fremstill følgen grafisk på nytt. u2(n) u1(n) 150 Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger

13 Bruke en følge til å generere en tabell Foran i dette kapitlet er det beskrevet hvordan en følge fremstilles grafisk. Du kan også bruke en følge til å lage en tabell. Hvis du vil vite mer om tabeller, kan du se kapittel 13. Eksempel: Fibonacci-følge I en Fibonacci-følge er de to første leddene 1 og 1. Hvert påfølgende ledd er summen av de to leddene umiddelbart før. 1. Definer følgen og angi startverdier i Y= Editor ( #), slik illustrasjonen viser. Du må taste inn {1,1} selv om {1 1} vises på følgelisten. 2. Sett tabellparameterne ( &) til: tblstart = = 1 Independent = AUTO Denne setningen tones ned hvis du ikke bruker tidsaksene. 3. Sett Window-variablene ( $) slik at nmin har den samme verdien som tblstart. 4. Vis tabellen ( '). 5. Bla deg nedover i tabellen (D eller 2D) for å se mer av følgen. Fibonacci-følgen er i kolonne 2. Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 151

14 152 Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger