GeoGebra på vgs. Versjon 2.7

GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 Nynorsk Lær å bruke eit gratis program for grafteikning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals

GeoGebra på vgs. Innhald: KVA ER GEOGEBRA?... 3 KVAR KAN EG FÅ TAK I DETTE PROGRAMMET?... 3 KORLEIS KJEM EG I GONG MED Å BRUKE PROGRAMMET?... 4 KOMPETANSEMÅL I LK-06 SOM GEOGEBRA PASSAR TIL.... 5 OPPGÅVER OG LØYSINGAR MED GEOGEBRA.... 8 Oppgåve 1. Grafen til ein funksjon. Funksjonsanalyse.... 8 Løysing på oppgåve 1... 8 Oppgåve 2. Skjeringspunkt og areal mellom grafar... 10 Løysing på oppgåve 2... 10 Oppgåve 3. To likningar med to ukjende.... 11 Løysing på oppgåve 3... 12 Oppgåve 4. Andregradsfunksjonen ax 2 +bx+c. Integral og sum av rektangel... 13 Løysing på oppgåve 4... 13 Oppgåve 5. Medianar, midtnormalar og halveringslinjer for vinklar i trekantar.... 16 Løysing på oppgåve 5... 16 Oppgåve 6. Konstruksjonsoppgåver... 19 Løysing på oppgåve 6... 19 Oppgåve 7. Vektorrekning.... 24 Løysing på oppgåve 7... 24 Oppgåve 8. Litt algebra... 26 Løysing på oppgåve 8... 26 Vedlegg med løysing av utforskande oppgåve... 26 Stikkordregister..... 31 2

Kva er GeoGebra? GeoGebra er eit gratis dataprogram for dynamisk geometri, laga av Markus Hohenwarter frå Austerrike og Yves Kreis frå Luxemburg. Namnet er sett saman av orda geometri og algebra. Med GeoGebra kan ein lett konstruere ulike geometriske figurar i planet og teikne og analysere grafar og funksjonar. GeoGebra finst på ei rekkje språk, og er omsett til både bokmål og nynorsk. Programmet kan brukast med både Windows, Linux og Mac. I februar 2006 tok Markus Hohenwarter doktorgrad i matematikkdidaktikk på bruken av dette programmet. Dei som er flinke i tysk kan laste ned og lese doktoravhandlinga frå www.geogebra.org. Du kan endre språket på sida frå arabisk til engelsk, og om kort tid til norsk. Då eg spurde Markus Hohenwarter om kvifor han ikkje ville ta betalt for dette kvalitetsprogrammet, svara han at han meinte utdanning i prinsippet burde vere gratis. Programmet har vunne ei rad med prisar: EASA 2002: European Academic Software Award (Sverige.) Learnie Award 2003: Austrian Educational Software Award (Austerrike.) digita 2004: German Educational Software Award (Tyskland.) Comenius 2004: German Educational Media Award (Tyskland.) Learnie Award 2005: Austrian Educational Software Award for Spezielle Relativitätstheorie mit GeoGebra (Austerrike.) Trophées du Libre 2005: International Free Software Award, category Education (Frankrike.) etwinning Award 2006: 1 st prize for Crop Circles Challenge with GeoGebra (Austerrike.) Learnie Award 2006: Austrian Educational Software Award (Austerrike.) Kvar kan eg få tak i dette programmet? Den lettaste måten å skaffe og installere GeoGebra på, er å gå til www.geogebra.org, klikke på Start GeoGebra og deretter på GeoGebra WebStart. Då blir programmet installert på maskina di automatisk, samtidig som du opnar det frå nettsida første gongen. Det legg seg eit ikon på skrivebordet. Når du seinare klikkar på dette ikonet, blir GeoGebra opna frå di eiga maskin. Då treng du ikkje bruke nettsida. Ein alternativ måte å installere programmet på, er å gå til www.geogebra.org, klikke på Download og laste ned den installasjonsfila som passar til ditt operativsystem. Viktig: For at GeoGebra skal fungere, treng du å ha installert ei ny utgåve av Java på datamaskina. Java kan lastast ned gratis frå http://java.com/en/download/index.jsp 3

Korleis kjem eg i gong med å bruke programmet? For å komme raskt i gong, er det lurt å starte med å gjere seg kjend med dei ulike vindauga og verktøya i GeoGebra. Nedanfor finn du ei oversikt over desse: 1 2 3 4 5 6 1 Verktøylinja. Kvart ikon har ein trekant i nedste høgre hjørne. Ved å klikke på denne trekanten, får du fram fleire verktøy. Vi skal sjå på fleire av desse etter kvart. 2 Angreknapp. Ved å klikke på desse pilene, kan du gå eitt steg fram eller eitt tilbake. 3 Algebravindauget. Her kjem likningane eller funksjonsuttrykka du har skrive inn i inntastingsfeltet (4). Her ser vi òg lengder på linjestykke, areal av mangekantar og alle målingar eller utrekningar som du ber programmet om å utføre. 4 Teikneflata. Her får du teikna geometriske figurar eller grafar. Du kan ta av og på aksar og rutenett ved å klikke på Vis og fjerne eller ta på hakar framfor desse orda i menyen. Ved å høgreklikke på teikneflata, kan du endre verdiane langs aksane og justere mange andre eigenskapar. 5 Inntastingsfeltet. I dette feltet skriv du inn kommandoar for å få fram det du ønskjer på teikneflata. Du kan t.d. skrive f(x)=x^2-5x+6 og trykkje Enter. Då får du fram grafen til denne funksjonen. Skriv du dei to første bokstavane i Nullpunkt, kjem dette fram i inntastingsfeltet: Nullpunkt[]. For å finne nullpunkta til f(x), klikkar du 4

mellom hakeparentesane og skriv inn f, slik at det står Nullpunkt[f]. Då finn GeoGebra nullpunkta automatisk, markerer dei på grafen, og skriv koordinatane i algebravindauget. 6 Kommandofeltet. Dersom du klikkar på pila til høgre for dette feltet, kjem det fram ein alfabetisk kommandomeny som du kan velje frå. Vel du t.d. Ekstremalpunkt, kjem Ekstremalpunkt[] fram i inntastingfeltet. Då klikkar du mellom parentesane og skriv inn namnet på funksjonen du vil finne ekstremalverdiane til. Det kan t.d. stå ekstremalpunkt[f]. Kompetansemål i LK-06 som GeoGebra passar til Eg vil først liste opp nokre mål i læreplanen LK-06, der GeoGebra med fordel kan nyttast. Kompetansemål etter Vg1T Tal og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne tolke, tilarbeide og vurdere det matematiske innhaldet i ulike tekstar bruke matematiske metodar og hjelpemiddel til å løyse problem frå ulike fag og samfunnsområde rekne med potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, og bruke kvadratsetningane til å faktorisere algebrauttrykk løyse likningar, ulikskapar og likningssystem av første og andre grad og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både med rekning og med digitale hjelpemiddel (Mål VG1T-T-4) omforme ei praktisk problemstilling til ei likning, ein ulikskap eller eit likningssystem, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere greie for funksjonsomgrepet og teikne grafar ved å analysere funksjonsomgrepet (VG1T-F-1) berekne nullpunkt, skjeringspunkt og gjennomsnittleg vekstfart, finne tilnærma verdiar for momentan vekstfart og gje nokre praktiske tolkingar av desse aspekta (VG1T-F-2) gjere greie for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utleie ein derivasjonsregel for polynomfunksjonar og bruke denne regelen til å drøfte funksjonar (Mål VG1-T-F-3) lage og tolke funksjonar som beskriv praktiske problemstillingar, analysere empiriske funksjonar og finne uttrykk for ein tilnærma lineær funksjon bruke digitale hjelpemiddel til å drøfte polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (VG1T-F-5) 5

Kompetansemål etter Vg1P Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne bruke formlikskap og setninga til Pytagoras til utrekningar og i praktisk arbeid (VG1P-G-1) løyse praktiske problem som gjeld lengd, vinkel, areal og volum bruke varierte måleiningar og målereiskapar, og analysere og drøfte presisjon og målenøyaktigheit tolke og framstille arbeidsteikningar, kart, skisser og perspektivteikningar knytte til yrkesliv, kunst og arkitektur (VG1P-G-4) lage og kjenne att mønster av like eller ulike former som kan fylle heile planet Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje skjeringspunkt, nullpunkt, ekstremalpunkt og stiging, og tolke den praktiske verdien av resultata (VG1P-F-1) omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar gjere greie for omgrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske døme, også digitalt (VG1P-F-3) Kompetansemål etter Vg2T Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere greie for det geometriske biletet av vektorar som piler i planet, og berekne sum, differanse og skalarprodukt av vektorar og produktet av tal og vektor (VG2T-G-1) rekne med vektorar i planet skrivne på koordinatform, berekne lengder, avstandar og vinklar med vektorrekning og avgjere når to vektorar er parallelle eller ortogonale (VG2T-G-2) teikne og beskrive kurver på parameterform og berekne skjeringspunkt mellom slike kurver Kompetansemål etter Matematikk R1 Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne bruke linjer og sirklar som geometriske stadar saman med formlikskap og setninga om periferivinklar i geometriske resonnement og utrekningar utføre og analysere konstruksjonar definert av rette linjer, trekantar og sirklar i planet, med og utan bruk av dynamisk programvare (Mål R1-G-2) utleie og bruke skjeringssetningane for høgdene, halveringslinjene, midtnormalane og medianane i ein trekant (Mål R1-G-3) 6

gjere greie for forskjellige bevis for setninga til Pytagoras, både matematisk og kulturhistorisk (Mål R1-G-4) rekne med vektorar i planet, både geometrisk som piler og analytisk på koordinatform (Mål R1-G-5) berekne og analysere lengder og vinklar til å avgjere parallellitet og ortogonalitet ved å kombinere reknereglar for vektorar (Mål R1-G-6) Funksjoner Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere greie for omgrepa grenseverdi, kontinuitet og deriverbar, og gje eksempel på funksjonar som ikkje er kontinuerlege eller deriverbare bruke formlar for den deriverte til potens-, eksponential- og logaritmefunksjonar, og derivere summar, differansar, produkt, kvotientar og samansettingar av desse funksjonane bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjonar og tolke dei deriverte i modellar av praktiske situasjonar (Mål R1-F-3) teikne grafar til funksjonar med og utan digitale hjelpemiddel, og tolke grunnleggande eigenskapar til ein funksjon ved hjelp av grafen (Mål R1-F-4) finne likninga for horisontale og vertikale asymptotar til rasjonale funksjonar og teikne asymptotane (Mål R1-F-5) bruke vektorfunksjonar med parameterframstilling for ei kurve i planet, teikne kurva og derivere vektorfunksjonen for å finne fart og akselerasjon Kompetansemål etter Matematikk R2 Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne forenkle og løyse lineære og kvadratiske likningar i trigonometriske uttrykk ved å bruke samanhengar mellom dei trigonometriske funksjonane derivere sentrale funksjonar og bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike funksjonar (Mål-R2-F-2) omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx, og bruke dei til å modellere periodiske fenomen gjere greie for definisjonen av bestemt integral som grense for ein sum og ubestemt integral som antiderivert (Mål R2-F-4) rekne ut integral av dei sentrale funksjonane ved antiderivasjon og ved hjelp av variabelskifte, ved delbrøkoppspalting med lineære nemnarar og ved delvis integrasjon tolke det bestemte integralet i modellar av praktiske situasjonar og bruke det til å rekne ut areal av plane område og volum av omdreiiningslekamar (Mål R2-F- 6) I dette korte heftet kan eg sjølvsagt ikkje få vist alt som GeoGebra kan brukast til i forhold til læreplanmåla i LK-06. Her vil eg berre gje nokre varierte illustrerande eksempel, og håpar at dette gje ei innføring i programmet og vere til inspirasjon for vidare arbeid på eiga hand. 7

Oppgåver og løysingar med GeoGebra Oppgåve 1. Grafen til ein funksjon. Funksjonsanalyse a) Teikn grafen til funksjonen f(x)= 1 3 x3 + 2x 2 3x 18. (Mål VG1T-F-1) b) Finn nullpunkta til funksjonen. (Mål VG1T-F-2, VG1T-F-5, VG1P-F-1) c) Finn ekstremalpunkta. (Mål VG1T-F-2, VG1T-F-5, VG1P-F-1) d) Finn vendepunktet og likninga for vendetangenten. (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) e) Finn arealet som er avgrensa av x-aksen og grafen over x-aksen. (Mål R2-F-6) f) Bruk GeoGebra til å studere korleis den deriverte endrar seg med x. (Mål VG1T-F-3, R1-F-3) Løysing på oppgåve 1 a) Opne GeoGebra. Klikk på Vis. Hak av for Rutenett. Skriv i inntastingsfeltet nedst på skjermen: f(x)=1/3x^3+2x^2-3x-18. Trykk Enter. Vi ser no at viktige delar av grafen ikkje er med på teikneflata. Høgreklikk ein plass på teikneflata, vel Eigenskapar og la x gå frå 8 til 5. Klikk på y-aksen og la y gå frå 20 til 10. Klikk på Bruk. 8

b) Skriv i inntastingsfeltet: Nullpunkt. Når du har skrive dei to første bokstavane kjem heile ordet fram automatisk. Klikk mellom klammeparentesane og skriv f (fordi funksjonen heiter f ). Trykk Enter. Du kan no lese av nullpunkta i algebravindauget. (Feltet til venstre for der grafen er teikna.) GeoGebra merkar og av nullpunkta på grafen. Alternativt kan du klikke på pila ved Kommando til høgre for inntastingsfeltet og bla deg nedover til du finn ordet Nullpunkt. c) Skriv inn Ekstremalpunkt[f] og klikk Enter. Du finn ekstremalpunkta på grafen og i algebravindauget. d) Skriv inn Vendepunkt[f] og trykk Enter. Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på dette ikonet, og vel Tangentar. Klikk på vendepunktet F og deretter på grafen. Likninga for vendetangenen kjem opp i algebravindauget. e) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[f,-6,-3] og trykk Enter. Arealet er 11,25. 9

Oppgåve 2. Skjeringspunkt og areal mellom grafar a) Teikn grafane til desse funksjonane: (Mål VG1T-T-4, VG1T-F-1) f(x) = x 2 g(x) = x + 6 b) Finn skjeringspunkta mellom grafane. (VG1T-F-1, VG1P-F-1) c) Finn arealet som er avgrensa av dei to grafane. (Mål R2-F-6) Løysing på oppgåve 2 a) Lag ei ny teikning ved å klikke Fil, Ny og svar Nei på spørsmålet om du vil lagre fila du har jobba med. Skriv inn f(x)=x^2 og trykk Enter. Skriv inn g(x)=x + 6 og trykk Enter. Dersom du vil flytte litt på teikninga for å få grafane meir midt på skjermen, kan du klikke på dette ikonet og dra koordinatsystemet med grafane dit du vil. 10

b) Skriv i inntastingsfeltet: Skjæring[f,g] og trykk Enter. c) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[g,f,-2,3] og trykk Enter. Vi skriv g føre f, fordi grafen til g ligg høgst. Oppgåve 3. To likningar med to ukjende a) Bruk GeoGebra til å løyse likningssettet (Mål VG1T-T-4) 2x + y = 13 4x 5y = 5 b) La GeoGebra ordne likningane på forma y = a x + b. (Mål VG1T-T-4) c) Finn den minste vinkelen mellom desse linjene. d) Opne ei ny fil og bruk GeoGebra til å lære om stigningstal og konstantledd for lineære funksjonar, slik instruksane nedanfor viser. Klikk på Fil og vel Ny. Svar Nei for å lagre fila. Skriv i inntastingsfeltet nede på sida i programmet: a = 2 og trykk Enter. Skriv i inntastingsfeltet b = 3 og trykk Enter. Skriv f(x) = a*x + b OBS. Ikkje gløym stjerne som gangeteikn mellom a og x. Du må ha * når det er a, b, c osv som konstantar i staden for tal. Høgreklikk på a i algebravindauget og vel Vis objekt. Du får no ein glidar på teikneflata. 11

Gjer det same og lag ein glidar for b. Flytt på ein glidar i gongen og sjå kva som skjer når du endrar a og når du endrar b. Forklar med eigne ord korleis stigningstalet og konstantleddet påverkar grafen til funksjonen. (Mål VG1P-F-3) Løysing på oppgåve 3 a) Skriv 2x+y=13 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv 4x-5y=5 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Vi ser no at grafane skjer kvarandre når x = 5 og y = 3 Om vi vil, kan vi klikke på ikonet for å setje inn punkt, føre musa over skjeringspunktet, slik at begge linjene blir mørkare, og klikke. Då får vi koordinatane til skjeringspunktet (5, 3) i algebravindauget. b) Høgreklikk på ei av likningane i algebravindauget og vel y = ax+b. Gjer det same med den andre likninga. Då får du dei på denne forma: c) Lag eit punkt på kvart av vinkelbeina, slik figuren til venstre øvst på neste side viser. Klikk på ikonet for å måle vinklar. Klikk så på punktet på høgre vinkelbein, på skjeringspunktet mellom linjene og til slutt på punktet på venstre vinkelbein. Altså: høgre, spissen, venstre eller B, A og C. Då får du storleiken på vinkelen mellom dei i to linjene, i algebravindauget. 12

d) Følg oppskrifta i oppgåveteksten. Dersom du vil utvide området for glidaren, høgreklikkar du på han og vel Eigenskapar. Du kan då t.d. endre området til intervallet frå 10 til 10. Oppgåve 4. Andregradsfunksjonen ax 2 +bx+c. Integral og sum av rektangel a) Bruk GeoGebra til å lære kva effekt endring av konstantane a, b og c har for grafen til funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c. (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) b) Bruk GeoGebra til å lære om samanhengen mellom integral og sum av rektangel. (Mål R2-F-4) Løysing på oppgåve 4 a) Opne ei ny fil i GeoGebra. Skriv inn a = 1 og trykk Enter, skriv inn b= -6 og trykk Enter og skriv inn c = 5 og trykk Enter. Skriv inn f(x) =a*x^2+b*x+c. Trykk Enter. Høgreklikk på konstanten a i algebravindauget og merk av for Vis objekt. Du få no ein glidar på teikneflata. Gjenta det same for konstantane b og c. Høgreklikk på glidaren a, vel Eigenskapar og endre minimumsverdien til 10 og maksimumsverdien til 10. Høgreklikk på glidaren b, vel Eigenskapar og endre minimumsverdien til 30 og maksimumsverdien til 30. Gjenta det same for glidaren c som for b. Skriv Ekstremalpunkt[f] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Høgreklikk på botnpunktet (3,-4), vel Eigenskapar og hak ut for Vis spor. Flytt på glidaren c. Prøv å finne eit uttrykk for likninga til den beine linja som botnpunktet lagar når vi endrar på c og held dei andre konstantane uendra. 13

Dersom du vil styre glidaren meir nøyaktig, kan du klikke på c i algebravindauget og bruke pilene på tastaturet for å flytte glidaren. (Sjå vedlegget bak i dette heftet for forklaring og fasit på denne utforskande oppgåva.) Klikk på denne pila for å fjerne spora og få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glidaren a. Prøv å finne eit uttrykk for likninga til den beine linja som botnpunktet lagar når vi endrar på a og held dei andre konstantane uendra. Klikk på tilbakepila for å få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glidaren b. Prøv å finne eit uttrykk for likninga til den kurva som botnpunktet lagar når vi endrar på b og held dei andre konstantane uendra. b) Klikk på Fil, vel Ny og svar Nei på om du vil lagre. Skriv inn funksjonen f(x) = x 3 8x 2 + x + 42. Høgreklikk ein plass på grafvindauget og vel Eigenskapar. La verdiane på x- aksen gå frå 3 til 9 og verdiane på y-aksen frå 40 til 50. Klikk Bruk. Finn nullpunkta slik du gjorde i oppgåve 1 b. Du ser at nullpunkta er ( 2, 0) og (3, 0). For å finne det ubestemte integralet, skriv du Integral[f] og trykkjer Enter. Vi får no både plotta grafen til fjerdegradsfunksjonen og får uttrykket for denne i algebravindauget. Alle uttrykka i algebravindauget blir oppgjevne med desimalar (dersom det ikkje er heile tal.) Vil du ha eksakte uttrykk for eit integral eller den deriverte av ein funksjon, slik at det inneheld brøk, rotteikn, e eller π, kan du heller bruke t.d. Derive 6.0. For å finne det bestemte integralet når x [ 2,3], skriv du Integral[f,-2,3] Då får du denne figuren. (Sjå figuren på neste side. Der er det teke med ein tangent òg på teikninga.) 14

Verdien av integralet står både på figuren og i algebravindauget. Vi kan utnytte glidarane til å sjå at integralet er det same som summen av uendeleg mange rektangel. Skriv n=100, høgreklikk på n i algebravindauget og merk av Vis objekt. Høgreklikk på glidaren for n, vel Eigenskapar og la n gå frå 1 til 100 med Animasjonssteg lik1. Skriv SumOver[f,-2,3,n] og flytt på glidaren for å sjå korleis summen av rektangla nærmar seg verdien for integralet når n aukar. Vi kan sjølvsagt gjere det same for SumUnder[f,-2,3,n]. 15

Oppgåve 5. Medianar, midtnormalar og halveringslinjer for vinklar i trekantar I læreplanen for R1 står det at ein skal kunne utleie og bruke skjeringssetningane for høgdene, halveringslinjene, midtnormalane og medianane i ein trekant (Mål R1-G-3) Denne oppgåva er eigna som ei innleiande innføring i problema, før ein går laus på dei teoretiske bevisa. a) Bruk GeoGebra til å finne ut om medianane (linjestykka frå eit hjørne til midt på motståande side) alltid vil skjere kvarandre i same punkt. (Mål R1-G-3) b) Bruk GeoGebra til å finne ut om midtnormalane på sidene i ein trekant alltid vil skjere kvarandre i same punkt. (Mål R1-G-3) c) Bruk GeoGebra til å finne ut om halveringslinjene for vinklane i ein trekant alltid vil skjere kvarandre i same punkt. (Mål R1-G-3) Løysing på oppgåve 5 a) Opne ei ny fil i GeoGebra og teikn ein vilkårleg trekant. Det gjer du slik: Klikk på den vesle trekanten nede til høgre på ikonet for linjer og vel Mangekant. Klikk på teikneflata om lag slik figuren viser i rekkefølgja A, B, C, A. OBS. Det er viktig å klikke i det same punktet som vi starta med for å avslutte trekanten. Avsett punkta i rekkefølgje mot klokka. 16

Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på ikonet for punkt, og vel Midtpunkt eller sentrum. Klikk etter tur på kvar av sidene i trekanten. Vel Linjestykke mellom to punkt og trekk opp dei tre medianane. Plasser eit punkt i skjeringspunktet ved å velje verktøyet for skjering mellom to objekt. Klikk etter tur på to av medianane. Prøv å flytte på hjørna og sjå korleis skjeringspunktet flyttar seg. OBS. Hugs å klikke på flytteverktøyet (pila oppe til venstre) først. b) Opne ei ny fil og lag ein tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Midtnormal og klikk etter tur på kvar av sidene i trekanten. 17

Plasser eit punkt i skjeringspunktet, slik det er forklara i oppgåve 5 a). Flytt på hjørna for å sjå korleis skjeringspunktet mellom midtnormalane flyttar seg. b) Opne ei ny fil og lag ein tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Halveringslinje for vinkel og klikk på hjørna i denne rekkefølgja: A : BAC B : CBA C : ACB 18

Oppgåve 6. Konstruksjonsoppgåver Oppgåvene a, b, c og d er henta frå oppgåveheftet cosinus 3MX frå Cappelen. (a = 6.207, b, c og d = 6.200) a) Sirkelen S er gjett ved likninga x 2 + y 2 = 100. (Mål R1-G-2) S har to tangentar l og m som går gjennom punktet A(2, 14). Tangentane rører S i punkta B og C. Finn koordinatane til B og C. b) I eit koordinatsystem er ein sirkel S 1 gjett ved likninga x 2 + y 2 22x +4y +61 = 0. Finn sentrum og radien i sirkelen. (Mål R1-G-2) c) Ein annan sirkel S 2 har sentrum i ( 1, 3) og radien 5. Vis at sirklane S 1 og S 2 tangerer kvarandre. (Mål R1-G-2) d) Finn koordinatane til tangeringspunktet. (Mål R1-G-2) e) Konstruer nipunktsirkelen. (Mål R1-G-2) Løysing på oppgåve 6 a) Opne ei ny fil i GeoGebra. Vis aksar og rutenett. Skriv x^2+y^2=100 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gje sirkelen nytt namn frå c til S ved å høgreklikke på han, velje Eigenskapar og Gje nytt namn. Klikk på Bruk. Vel forminskingsverktøyet og klikk ein gong ca. på origo. Skriv A=(2,14) i inntastingsfeltet og trykk Enter. (OBS. Dersom du skriv a = (2,14) får du ikkje eit punkt, men ein vektor.) Klikk på verktøyet for tangentar, klikk på punktet A og deretter på sirkelen. 19

Finn tangeringspunkta ved å bruke verktøyet for Skjering mellom to objekt, slik det er forklara i oppgåve 5a. Vi les av i algebravindauget at tangeringspunkta er ( 6, 8) og (8, 6). b) Opne ei ny fil i GeoGebra. Vis aksar og rutenett. Skriv i inntastingsfeltet x^2+y^2-22x+4y+61=0 og trykk Enter. Omdøyp sirkelen frå c til S 1 ved å skrive S_1 i vindauget for å gje nytt namn. Klikk Bruk. Zoom ut ved å velje Forminsk og klikk i origo som i oppgåve 6a. Vel verktøyet Midtpunkt eller sentrum og klikk på sirkelen. Vi kan no lese av i algebravindauget at sentrum er (11, 2). 20

c) Skriv i inntastingsfeltet: C=(-1,3) og trykk Enter. Likninga for sirkelen er omforma slik at vi kan lese av både sentrum og radius direkte. Vi ser at radius er 64 = 8. Ein alternativ måte å finne radius på er å velje verktøyet Linjestykke mellom to punkt, klikke i sentrum og deretter på ein stad på sirkelen. Vi får då at lengda på linjestykket (radius) er 8. Omdøyp dette linjestykket til r 1. Vel Sirkel definert ved sentrum og radius, klikk i punktet C, skriv inn 5 i feltet for radius og klikk Bruk. Omdøyp sirkelen til S 2. Trekk eit linjestykke mellom A og C. Vi ser at lengda på dette blir 13. Sidan radius i S 1 er 8 og radius i S 2 er 5, må desse to sirklane berre ha eitt felles punkt. d) Ein alternativ måte å vise at desse tangerer kvarandre på, er å velje verktøyet Skjering mellom to objekt. Klikkar vi etter tur på dei to sirklane, ser vi at skjeringspunkta D og E har felles koordinatar (3,62, 1,08) Dette er tangeringspunktet. 21

e) Her er ein punktvis framgangsmåte for å konstruere nipunktsirkelen: Klikk på Vis og pass på at det ikkje er haka av for Aksar og Rutenett. Klikk på nedtrekkstrekanten nede i høgre hjørne på knappen for linjer. Vel Linjestykke. Lag ein trekant ved å trekkje opp linjestykka AB, BC og CA. Dersom du vil ta bort namna på linjestykka, høgreklikkar du på eitt av dei og fjernar haken for Vis objekt. Gjenta for alle linjestykka. Finn no midtpunkta på kvart av linjestykka. Det gjer du ved å klikke på nedtrekkstrekanten på punktknappen A. Vel Midtpunkt eller sentrum. Klikk på dei to endepunkta for eit linjestykke. Gjenta for alle linjestykka No kan du finne fotpunkta for høgdene frå kvart av punkta A, B og C. Dette gjer du ved å velje verktøyet Vinkelrett linje. Start med å klikke på punktet A og deretter på linjestykket BC. Gjenta for dei to andre punkta B og C. Vi vil no markere fotpunkta. Vi vel då verktøyet for å finne skjeringspunkt. Klikk etter tur på skjeringspunkta for linjene, der fotpunkta er. Pass på at begge linjene blir mørke og tjukkare før du klikkar. Klikk òg på punktet der alle tre høgdene skjer kvarandre i trekanten. Dette punktet kallar vi ortosenteret. Trekanten skulle no sjå slik ut: Vi vil ikkje ha høgdene som lange linjer, men som linjestykke. Høgreklikk etter tur på desse lange linjene og fjern hakane for Vis objekt. 22

Vel no verktøyet for linjestykke igjen, og merk av slike linjestykke mellom eit hjørne og fotpunktet for høgda. Gjenta for alle tre høgdene. Høgreklikk på linjestykka og fjern hakane for Vis namn. Vi kan få høgdene stipla ved å høgreklikke på dei, velje Eigenskapar, velje ei stipla linje under Linjestil og klikke Bruk. No gjenstår det å finne midtpunkta mellom kvart av hjørna og ortosenteret. Vel verktøyet for midtpunkt (sjå punkt 6 i denne oppskrifta) og finn dei siste tre punkta. Figuren skal no sjå slik ut: Til slutt skal vi teikne sirkelen gjennom dei 9 aktuelle punkta. Vi vel no verktøyet for å teikne ein sirkel ut frå tre punkt: Klikk på tre fritt valde punkt av dei ni som ligg på nipunktsirkelen. Då er figuren ferdig. Klikk på pila oppe til venstre på skjermen (verktøyet for å flytte på punkt og andre delar av figuren.) Klikk på eitt av hjørna i trekanten, flytt på punktet med musetasten nede og sjå korleis nipunktsirkelen endrar seg. 23

Oppgåve 7. Vektorrekning a) Vi har vektorane v =[6,4] og u = [-2,3]. Teikn vektorane som piler i koordinatsystemet. (Mål VG2T-G-1, R1-G-5) b) Finn ut om vektorane står på kvarandre. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) c) Kva blir summen av vektorane? (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) d) Rekn ut w = 1 v + 2 u. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) 2 e) Du startar i punktet A, som har koordinatane (10,1) Kva er koordinatane til B om w = AB. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) Løysing på oppgåve 7 Først litt om vektorar i GeoGebra: Dersom du skriv A=(2,5), får du punktet A. Dersom du skriv a=(7,3), får du vektoren a avteikna som ei pil med start i origo og som endar i punktet (7, 3). Dersom du skriv A + a, får du avteikna eit punkt B, som har koordinatane til endepunktet for ein vektor a med start i A. Skriv du v = A+a, får du teikna ein vektor med start i origo og som endar i punktet B. a) Opne ei ny GeoGebra-fil. Vis aksar og rutenett. Skriv v=(6,4) og trykk Enter. Skriv u=(-2,3) og trykk Enter. 24

b) Skriv inn: Skalarproduktet=u*v og trykk Enter. Vi ser at Skalarproduktet blir 0. u v. c) Skriv: sum=u+v og trykk Enter. Vi ser at summen av vektorane blir [4, 7], men GeoGebra skriv verktorkoordinatar slik: (4,7). Skriv vi Sum i staden for sum, får vi eit punkt fordi vi starta med stor bokstav. Vi treng ikkje skrive Skalarproduktet= eller sum=, men det gjer det lettare å sjå kva vi har rekna ut. Vi kunne ha skrive berre u*v og u+v. Då hadde GeoGebra gjett namn på resultata. d) Skriv w=1/2*v+2*u og trykk Enter. Vi får teikna svaret som ein vektor med start i origo og som endar i (-1,8). I algebravindauget står det w=(-1,8). Vi kan sjå at dette stemmer med utrekningane: 1 [6,4] + 2 [-2,3] = [3,2] + [-4,6]=[3 4,2+6]=[-1,8] 2 e) Skriv A=(10,1). Skriv B=A+w og trykk Enter. Vi ser at koordinatane til B blir (9,9). 25

Dersom vi skriv vektor[a,b] og trykkjer Enter, finn vi at denne vektoren (som GeoGebra kallar z) har koordinatane [ 1, 8]. Dette skriv GeoGebra slik: (-1,8). Vi ser at z = w. Oppgåve 9 Oppgåve 8. Litt algebra Hittil har det vore mykje funksjonar og geometri og lite av algebra. Algebra-delen til GeoGebra avgrensar seg stort sett til å finne uttrykk for den deriverte, ubestemte integral og utrekning av parentesar som inneheld x. GeoGebra kan altså utføre litt algebra med bokstaven x. Alle andre bokstavar må vere definerte talverdiar. a) Du skal finne ein tredjegradsfunksjon som har ekstremalpunkt for x 1 = -3 og x 2 = 7. Konstantleddet i tredjegradsfunksjonen er 0. b) Finn den femtederiverte av x 2 sin(x). c) Multipliser ut (x 2) 4. Løysing på oppgåve 8 a) Opne ei ny GeoGebra-fil. Merk av for Vis algebravindauge. Klikk og dra i kanten 26

mellom algebravindauget og teikneflata slik at algebravindauget blir litt breiare. Skriv: f(x)=(x+3)(x-7) og trykk Enter. Skriv: Integral[f] og trykk Enter. Du får at den søkte funksjonen g(x) = 1 3 x3 2x 2 22x. Høgreklikk på f(x) i algebravindauget og fjern haken for Vis objekt. Høgreklikk på teikneflata, klikk på x-akse:y-akse og la forholdet vere 1:10 Bruk verktøyet for å flytte teikneflata og flytt på grafen slik at du får med både toppunktet og botnpunktet. b) Opne ei ny GeoGebra-fil. Skriv f(x) = x^2*sin(x) og trykk Enter. Vi finn den deriverte ved å skrive f (x), den dobbelderiverte ved å skrive f (x) og den femtederiverte ved å skrive f (x) Skriv g(x) =f (x) og trykk Enter. Vi får då at g(x) = -20 cos(x) +x 2 cos(x) +10 x sin(x) c) Lag ny GeoGebra-fil. Skriv Polynom[(x-2)^4] og trykk Enter. Då får du at (x 2) 2 = x 4 8x 3 +24x 2 32x +16 Her er ein interessant variant, der vi utnyttar glidarar og kan bruke dette til å finne binomialkoeffisientar. Skriv inn n=1 og trykk Enter. Skriv a=1 og trykk Enter. Skriv f(x) = (x-a)^n og trykk Enter. Høgreklikk etter tur på n og a og lag glidarar for desse ved å hake av for Vis objekt. Høgreklikk på glidarane, vel Eigenskapar og la dei gå frå 1 til 5. La animasjonsstega vere 1. Klikk på verktøyet for å flytte objekt, og flytt på glidaren for n. 27

Vi finn binomialkoeffisientane når a = 1. Flytt på glidaren for a og sjå korleis utrekninga endrar seg. Dette var nokre smakebitar på korleis ein kan bruke GeoGebra i forhold til dei nye læreplanmåla i LK-06. Lykke til med bruken av programmet i klasserommet. Her er det nesten berre fantasien som set grenser for kva ein kan få til. Send gjerne spørsmål, innspel og kommentarar til: sigbjorn.hals@sfj.no Sigbjørn Hals Mobilnr. 90519333 28

Vedlegg. Utfyllande forklaring og fasit på den utforskande oppgåva (nr. 4 a) Når vi endrar konstanten c i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet bli løfta opp eller ned langs symmetrilinja for grafen. Symmetrilinja har likninga x = b 2 a. Når vi endrar konstanten a i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet følgje ei bein linje med likninga y = b 2 x + c. 29

Når vi endrar konstanten b i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet følgje ein parabel med likninga y = a x 2 + c. 30

Stikkordregister: A Algebra.... 27 Algebravindauget.... 4 Andregradsfunksjonen.... 13 Angreknapp... 4 Animasjonssteg... 15 Areal under ein graf.... 10 B Binomialkoeffesientar... 28 D Den deriverte.... 27 E Ekstremalpunkt... 8 Endre namn på objekt.... 19 F f(x).... 8 Forstørring og forminsking... 19 G Glidar.... 13 Grafen til ein funksjon... 8 I Innstillingar av tal langs aksane... 8 Inntastingsfeltet.... 5 Integral og sum av rektangel... 13 Integral... 10 J Java... 3 K Kommandofeltet.... 5 Kompetansemål i LK-06... 5 Konstruksjonsoppgåver.... 19 L Likninga for ein sirkel... 19 Linux... 3 M Mac... 3 Mangekant... 16 Markus Hohenwarter... 3 Medianar, midtnormalar og halveringslinjer for vinklar... 16 Midtpunkt eller sentrum...17; 21; 23 N Nipunktsirkelen.... 23 Nullpunkt... 8 O Ortosenteret.... 23 P Polynom... 28 S Sentrum i ein sirkel... 20 Skalarproduktet.... 26 Skjeringspunkt.... 10 SumOver... 15 SumUnder.... 15 T Teikneflata... 4 To likningar med to ukjende... 11 Tredjegradsfunksjon.... 8 U Utforskande oppgåve... 13 Utforskande oppgåve. Løysing.... 30 V Vektorkoordinatar... 26 Vektorrekning... 25 Vendepunkt.... 8 Verktøylinja... 4 31