Eksamen REA306 S1, Våren 013 Del 1 Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 ( poeng) Løys likningane a) lg x 3 5 lg x 3 5 lg x lg x 1 10 10 lg x 1 x 10 b) x x 1 x x1 x x1 0 x 4 4 x x 3 4 1 4 96 10 Oppgåve ( poeng) Løys likningssystemet ved rekning y6 x y 4 3x y 6 x y 6 x 3x 4 y 4 3x y 3x 4 3 9 40 x x 5 x x 5 y 35 4 19 x y 3 4 6 x x 3x 10 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 1
Oppgåve 3 (4 poeng) Skriv så enkelt som mogleg a) 3 0 a b a a b 4 1 3 0 a a b a b a b a b a 4 1 a b 34 01 34 01 1 3 0 3 a b 3 b) lgab lg lgab 3 a b a b a b lg lg lg lg lg lga lgb lga lgb lga lgb 3 lga lgb 3lga lgb lga lgb 6lgb Oppgåve 4 (3 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x 3x 1 x 3 a) Lag ei skisse av grafen av f. b) Bestem gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen frå x 4 til x 7. 371 3 41 0 11 f 7 f4 5 11 Gjennomsnittleg vekstfart 7 3 4 3 4 1 7 4 3 3 3 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side
Oppgåve 5 (8 poeng) a) Skriv opp dei ni første radene av Pascals taltrekant. 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 35 35 1 7 1 1 8 8 56 70 56 8 8 1 3 5 8 b) Bruk Pascals taltrekant til å bestemme binomialkoeffisientane,, og. 0 1 3 3 5 8 1, 3, 10 og 56 0 1 3 I oppgåvene nedanfor kan du få bruk for denne formelen: Hypergeometrisk fordeling: P X k m n m k r k n r m element i D. n m element i D. r element blir trekte tilfeldig. X er talet på element som blir trekte frå D. Frå ei gruppe med 3 gutar og 5 jenter skal det veljast ein komité på 3 elevar ved loddtrekning. c) Bestem sannsynet for at det blir 1 gut og jenter i komiteen. Vi har ein hypergeometrisk situasjon. La X vere talet på gutar. 3 8 3 1 31 310 30 15 P X 1 8 56 56 8 3 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 3
Frå ei gruppe med 8 elevar skal det veljast ein komité. Du får vite at komiteen kan setjast saman på 8 ulike måtar. d) Kor mange elevar kan det vere i komiteen? Nemnaren i formelen P X k 8 elevar frå n elevar. Vi må altså ha at 8. r m n m k r k fortel kor mange moglege måtar vi kan trekkje r n r 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 35 35 1 7 1 1 8 8 56 70 56 8 8 1 Frå Pascals taltrekant ser vi at då må vi vi ha at r eller r 6. Det kan vere anten elevar eller 6 elevar i komiteen. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 4
Oppgåve 6 (3 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x x 1x 1 3. a) Bestem f x 3 1 f x x x 3 f x x x x x 1 6 b) Teikn forteiknslinja til f x Vi set f x 0 f x x x 1 0 x x 6 0 x x 3 x 1 1 4 6 1 5. Bruk denne til å avgjere kor grafen av f stig, og kor han søkk. Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel difor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla, 3, 3, positivt eller negativt 4 4 4 0 0 3 0 3 0 3 3 3 3 61 0 f 3 1 6 0 f f og, for å sjå om uttrykket er Vi kan då setje opp forteiknslinja til f x x - verdiar x 3 f 0 0 Vi ser av forteiknslinja at Grafen stig for x, 3 og i x,. Grafen søkk for x 3, Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 5
Oppgåve 7 ( poeng) Tog A og tog B startar samtidig frå stasjon 1. Dei køyrer på kvart sitt spor til stasjon. Køyrelengda er 10 km for begge toga. Gjennomsnittsfarten til tog A er v km/h, og dette toget bruker t timar på strekninga mellom stasjonane. Gjennomsnittsfarten til tog B er 0 km/h større enn til tog A, og tog B bruker éin time kortare tid enn tog A. Stasjon 1 Tog A Stasjon Tog B Forklar at vi kan setje opp likningssystemet vt 10 v0t1 10 Bestem gjennomsnittsfarten til kvart av toga. For begge toga gjeld at køyrd strekning er lik fart multiplisert med tida dei bruker på strekninga. Ut frå opplysningane som er gitt i oppgåva, får vi då 1 v 10 A ta SA vt vb tb S B v0t1 10 10 t vt 10 v v 0t1 10 10 v 0 1 10 v 10 10 v v 0 1 10 v 0 10 v v v 010 v 10v 10v v 400 0v 10v v 0v 400 0 0 0 4 1 400 0 400 9600 0 10000 0 100 v v 60 10 v 40 t 3 40 Tog A har ein gjennomsnittsfart på 40 km/h. Tog B har ein gjennomsnittsfart på 60 km/h. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 6
Del Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unnatak av Internett og andre verktøy som tillet kommunikasjon. Oppgåve 1 (6 poeng) Ein epledyrkar har funne ut at 80 % av epla han plukkar, har god nok kvalitet til at dei kan seljast til vanleg forbruk. Resten går til produksjon av eplesaft, syltetøy og liknande. a) Ein dag plukkar han 70 eple. Bestem sannsynet for at akkurat 60 av desse epla kan seljast til vanleg forbruk. Dette er ein binomisk situasjon med p 0,8. Eg bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Sannsynet for at akkurat 60 av desse epla kan seljast til vanleg forbruk er 6,3 %. b) Bestem sannsynet for at minst 60 av desse epla kan seljast til vanleg forbruk. Sannsynet for at minst 60 av desse epla kan seljast til vanleg forbruk er 14,68 %. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 7
Epledyrkaren sel eple frå ei kasse som inneheld 80 eple av sort A og 100 eple av sort B. Epla er lagde tilfeldig ned i kassa. c) Ein kunde kjøper 0 eple. Bestem sannsynet for at kunden får akkurat 10 av kvar sort når epla blir trekte ut tilfeldig. Dette er ein hypergeometrisk situasjon med eit utval på 0 eple av til saman 180 eple. n 80 svarar til at det er 80 eple av sort A totalt. X står for talet på eple av sort A i utvalet, og når det er 10 eple av sort A, er det også 10 eple av sort B i utvalet. Eg bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Sannsynet for at kunden får akkurat 10 eple av kvar sort er 16,7 %. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 8
Oppgåve (5 poeng) Tabellen nedanfor viser samanhengen mellom høgda over havet målt i kilometer og lufttrykket målt i hektopascal (hpa), under visse vilkår. Høgd x (km over havet) 0 1,10,10 4,0 6,00 Lufttrykk Px (hpa) 1013 900 800 600 500 Eg løyser alle oppgåvene i GeoGebra. Sjå figur nedanfor a) Bruk eksponentiell regresjon til å bestemme ein modell px som viser lufttrykket som funksjon av høgda x over havet. Eg får modellen px 1019,56 0,89 x b) Titicacasjøen ligg 3,8 km over havet på grensen mellom Peru og Bolivia. Bruk modellen px og bestem lufttrykket i denne høgda. Eg las grafisk frå modellen punktet 3,8, 3,8 3,8, 644,67 Lufttrykket 3,8 km over havet er 645 hpa. p. c) Bestem ved rekning kor høgt vi er over havet når vi måler lufttrykket til 700 hpa. Løysing av likninga px 700 viser at Vi er 3,1 km over havet når lufttrykket er 700 hpa. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 9
Oppgåve 3 (10 poeng) Funksjonen f er gitt ved 4 4 f x x x a) Teikn grafen av f når x,5,,5. b) Bestem ved rekning grafen sine skjeringspunkt med koordinataksane. Grafen skjer x-aksen for x, x 0 og x Grafen skjer y-aksen for y 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 10
c) Bruk f x til å avgjere kor grafen av f stig, og kor han søkk. Bestem koordinatane til topp- og botnpunkt på grafen av f. Grafen av f stig når f er positiv og søkk når f er negativ. Den deriverte funksjonen kan berre skifte forteikn i nullpunkta. Rekninga ovanfor viser difor at Grafen av f stig når 1,41 x 0 og når x 1,41 Grafen av f søkk når x 1,41 og når 0 x 1,41 f Koordinatane til toppunktet er 0, (0 0,0 f Koordinatane til botnpunkta er og 1,41, (1,41 1,41, 4 Ein annan funksjon er gitt ved ax g x, der a er ein konstant. Grafen av g skal gå gjennom dei to botnpunkta på grafen av f. d) Bestem a. Eg lar konstanten a vere ein glidar i GeoGebra. Eg regulerer glidaren inntil grafen av g går gjennom botnpunkta til f. Eg får at a e) Teikn grafen av g i same koordinatsystem som grafen av f. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 11
Oppgåve 4 (6 poeng) Ei bedrift produserer to typar laksefôr, Godlaks og Gladlaks. For å lage 1 tonn av fôret Godlaks blandar ein 300 kg av stoffet A og 700 kg av stoffet B. For å lage 1 tonn av fôret Gladlaks blandar ein 600 kg av stoffet A og 400 kg av stoffet B. Bedrifta kan kvar veke få kjøpt inntil 0 tonn av stoffet A og inntil 18 tonn av stoffet B. Den maksimale produksjonsmengda er inntil 35 tonn laksefôr per veke Bedrifta produserer x tonn av fôret Godlaks og y tonn av fôret Gladlaks kvar veke. a) Forklar at x og y må oppfylle ulikskapene x0, y0 0,3x 0,6y 0 0,7x0,4y18 xy35 Marker det området som x og y må høyre til i eit koordinatsystem. Bedrifta kan ikkje produsere eit negativt tal tonn med fôr, difor må vi ha x 0 og y 0. Det går med 0,3 tonn av stoffet A for å lage 1 tonn Godlaks, og 0,6 tonn av stoffet A for å lage 1 tonn Gladlaks. Forbruket av stoff A er lik eller mindre enn 0 tonn. Det tyder at 0,3x0,6y 0. Det går med 0,7 tonn av stoffet B for å lage 1 tonn Godlaks, og 0,4 tonn av stoffet B for å lage 1 tonn Gladlaks. Forbruket av stoff B er lik eller mindre enn 18 tonn. Det tyder at 0,7x 0,4 18. Maksimal produksjonsmengd på 35 tonn tyder at xy 35 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 1
Bedrifta sel heile produksjonen. Salsprisen for fôret Godlaks er 5 000 kroner per tonn, medan fôret Gladlaks blir selt for 8 500 kroner per tonn. b) Kor mye må bedrifta produsere av kvar fôrtype for at salsinntekta per veke skal bli størst mogleg? Bestem denne salsinntekta. Inntektsfunksjonen for bedrifta er Ix, y 5000x 8500y. Eg lar inntekta vere glidaren i i GeoGebra og teiknar grafen av linja i 5000 x 8500y Eg regulerer glidaren inntil «inntektslinja» tangerer det skraverte området. Maksimal salsinntekt per veke blir på kroner 85 800. Det blir då produsert 3,33 tonn Godlaks og 31,67 tonn Gladlaks. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 13
Oppgåve 5 (9 poeng) Ei bedrift har funne ut at dei samla kostnadene f ved å produsere x einingar av ei vare er gitt ved 55 0,01x f x a) Dei samla kostnadene må ikkje overstige 00. Kor mange einingar kan bedrifta då høgst produsere? Bedrifta kan høgst produsere 10 einingar. b) Heile produksjonen blir selt. Salsinntekta g er gitt ved 1,6 g x x Kva for produksjonsmengder gir overskot for bedrifta? Kva for ei produksjonsmengd gir størst overskot? Kor stort er dette overskotet? For produksjonsmengder mellom 50 og 110 einingar er inntekta større enn kostnadene, og bedrifta går med overskot. Eg definerer overskotsfunksjonen Ox gx f x. Med kommandoen «Ekstremalpunkt» fann eg toppunktet på denne funksjonen. Maksimalt overskot er 9. Dette oppnår ein med ei produksjonsmengd på 80 einingar. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 14
Dersom prisen per eining er p, kan salsinntekta skrivast som hx p x Bedrifta vil undersøkje kor lågt prisen kan setjast dersom det skal vere mogleg å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. c) Forklar at vi kan bestemme denne minsteprisen når grafen av h tangerer grafen av f. Sjå figuren. Prisen p er stigingstalet til linja h. La p 0 vere den prisen som gjer at grafen av h tangerer grafen av f. Dersom p p0 så vil grafen av h liggje under grafen av f og kostnadene er heile tida høgare enn inntektene. Dersom p p0 så vil grafen av h skjere grafen av f og det kan oppnåast balanse mellom kostnader og inntekter. Det tyder at p p0 er den minste prisen som gjer det mogleg å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. Det kan visast at den minste prisen som vil gi balanse, er p 1,48 d) Forklar at prisen er minst når p f a Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013, der a er førstekoordinaten til tangeringspunktet T på figuren. Bruk dette til å bestemme kor mange einingar det blir produsert og selt når prisen er minst. Minsteprisen p 0 er, som vist ovanfor, stigingstalet til tangenten til f i T, altså for x a. f' a er jo per definisjon også stigingstalet til f for x a. p0 f ' a. 55 0,01 0,0 0,0 1,48 74 Men Det tyder at f x x f x x x x Det blir produsert og selt 74 einingar når prisen er minst. e) Likninga f x hx kan omformast til 0,01x px 55 0. Bestem ein verdi for p som gjer at denne likninga har berre éi løysing. Forklar kvifor denne verdien er den minste prisen som vil gi balanse. p p, 0,01x px 55 0 x, p 0 0,0 Likninga har berre éi løysing når p p p, 0, 1,48 Når likninga har to løysingar, er overskotet lik null for desse x -verdiane og overskotet er positivt for produksjonsmengder mellom desse x -verdiane. Sjå punkt b. Når likninga berre har éi løysing, tangerer grafen av inntektsfunksjonen grafen av kostnadsfunksjonen For mindre verdiar av p blir Side 15
uttrykket under rotteiknet negativt, og likninga har inga løysing. Grafane skjer ikkje kvarandre. Prisen p 1,48 er difor den minste prisen som gir balanse. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 16