MAGNETOSTATISKE FEL- TER At et magnetisk feltproblem er statisk tilsier at eventuell tidsvariasjon er liten nok til at den ikke får betydning for løsningen. Det forutsetter da at eventuelle forskyvningstrømmer kan neglisjeres og at induserte strømmer på grunn av den eventuelle lille tidsvariasjonen ikke har praktisk betydning for feltfordelingen. 5.1 Innledning Maxwells ligninger reduseres i dette tilfellet til: E 0 H J Faradays induksjonslov (5-1) Ampères lov (5-2) D ρ Gauss lov (5-3) B 0 Alle flukslinjer lukkes (5-4) De 95
MAGNETOSTATISKE FELTER 5.2 Valg av potensial ved modellering av magnetiske problem 5.2.1 Bruk av vektorpotensial Fra Maxwells ligninger vet vi at flukstettheten ikke har divergens, dvs: B 0 (5-5) Ligning (5-5) vil automatisk bli tilfredstilt dersom vi velger å definere et vektorpotensial slik at B er gitt som curl av dette. Et slikt valg er da basert på at divergens av noe som er curl til noe alltid er lik null, dvs: ( x C ) 0. Ut fra dette defineres: B A (5-6) - der A er et vektorpotensial som vi skal se egner seg godt som "regnestørrelse" i de analyser vi skal utføre. Figur 5 1: A er curl-kilden til B. Dvs. B "virvler" rundt A. Det finnes en rekke andre potensialer " i bruk", og ikke alle disse har noen spesiell fysikalsk tolkning. Vektorpotensialet A har egenskaper som gjør det lett å direkte knytte det til den magnetiske energien og fluksbegrepet. Ethvert vektorfelt må ha både curl og divergens definert for å være entydig. Ligning (5-6) definere curl for A. Hvilken divergens vi velger for A er derimot ikke avgjørende for beregningen av B. Ofte velges div(a)0, som ofte kalles Coloumbs valg. Fra Maxwell har vi Amperes lov: B H --- J µ dersom vi benytter (5-6) og antar at µ er konstant får vi: (5-7) Ved å benytte vektorligning: B --- µ 1 - A J µ (5-8) så reduseres ligning (5-9) til C 2 C + C (5-9) 96
Seksjon 5.2 Valg av potensial ved modellering av magnetiske problem 1 -( 2 A + A) J µ (5-10) så reduseres lign (5-10) vi- Dersom vi innfører Coloumbs valg dere til A 0 1 -( 2 A) µ 1 A --- z A z + µ x 2 y 2 J (5-11) Om vi gjennomfører den samme prosessen for sylindersymmetriske problem, får vi ligningen: 1 A - A θ θ1 A -- θ A ----- θ + + µ r 2 r r r 2 z 2 J (5-12) 5.2.2 Beregning av vektorpotensialet ved hjelp av Biot Savart lov I et homogent materiale (konstant permeabilitet) kan en beregne vektorpotensialet direkte fra strømmen som flyter i ledere i rommet. For enkelhets skyld antas her at lederne er tynne. I dette tilfellet kan en integrere over leder 1, L 1, og bestemmet vektorpotensialet i et punkt: Figur 5 2: Kildepunkt og observasajonspunkt A Iµ 0 ------- 4π (5-13) og som allerede vist i det innledende kapittelet kan vi beregne flukstettheten B på følgende måte: L 1 dl ---- r µ B ------ 4π J r dv ----------------- Lign. (5-14) får en ved å ta curl av ligning (5-13). V r 3 (5-14) 5.2.3 Bruk av skalarpotensial Dersom en har problemer som kan beskrives uten frie strømmer (J), kan en benytte et skalart potensial som for elektriske felter. Utgangspunktet er da at vi har et konservativt felt: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 97
MAGNETOSTATISKE FELTER H J f 0 (5-15) Vi kan da innføre det skalare magnetiske potensialet, Φ m, og uttrykke feltstyrke ved hjelp av dette: H Φ m (5-16) Tar vi i tillegg i bruk materialegenskapen beskrevet av B µ 0 ( H + M ) µ 0 ( H + M lin + Mperm ) (5-17) Gauss lov for magnetfeltet gir da: B ( µ 0 ( H + M lin + Mperm )) µ 0 µ r H )) + µ 0 Mperm 0 µ r 2 Φ m M (5-18) (5-19) Høyresiden av denne ligningen tolkes til tider som magnetisk ladningstetthet. 5.3 Grensebetingelser 5.3.1 Grensebetingelser for vektorpotensialet. For magnetostatiske felter må en også oppgi grensebetingelser når de aktuelle partielle differensialligningene skal løses. I og med at bruk av vektorpotensialet er noe uvant skal vi her også prøve å gi dette en fysikalsk tolkning slik at grensebetingelsene også blir mer fysikalsk forstålige. Grensebetingelsene knyttes til definisjonen av vektorpotensialet. Vi har at: B A (5-20) I det todimensjonale planet, med B z 0, får vi B det i j j x y z 0 0 A z (5-21) Flukstettheten uttrykt ved deriverte av vektorpotensialet blir da: 98
Seksjon 5.3 Grensebetingelser A B ib x + jb y i y A j x Som medfører at delkomponentene kan skrives som (5-22) B x A A B y y x og (5-23) Mer generelt kan vi sette gjøre dette om til tangensial og normalkomponenter i forhold til randen: B n A A B t t n og (5-24) I praksis settes en av disse betingelsene lik null langs en rand. B n A 0 t (5-25) impliserer at fluksen går langs randen (ingen normalkomponent), og at vektorpotensialen ikke har variasjon langs randen. Dette betyr at randen er en ekvipotensialflate, som spesifiseres ved hjelp av en Dirichletbetingelse. Vi får da en flukslinje langs randen. B t A 0 n (5-26) impliserer at fluksen står normalt på randen (ingen tangensialkomponent). Vektorpotensialet endres da langs randen, og ikke i retning mot randen. Figur 5 3: Den totale fluksen kan beregnes ved å beregne linjeintegralet av A rundt flaten 5.3.2 Fluksbegrepet og det tilknytning til grensebetingelsene Den totale fluksen som flyter gjennom en flate er gitt ved: Φ B ds (5-27) Fluksen er en skalar (ikkevektoriell) størrelse, og har kun tallstørrelse og fortegn. Ved hjelp av Stokes teorem kan vi skrive (5-27) om til S GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 99
MAGNETOSTATISKE FELTER Figur 5 4: Integrasjonsveien brukt ved beregning av fluksen Φ Φ ( A) ds S (5-28) Ut fra dette kan vi direkte studere vektorpotensialets tilknytning til fluksbegrepet. Dersom vi benytter kartesiske koordinater med A x og A y lik null, kan et linjeintegral gjennomføres svært enkelt, se fig. 5 4 Γ Adl Φ Adl ( ) l Γ A z, 1 A z, 2 Legg her merke til at bidraget til integralet er null i xy-planet. (5-29) Dersom vi regner pr. meter (l1) i ligning (5-29), så får vi det enkle uttrykket: Figur 5 5: Fluks mellom to punkter er gitt av forskjell A i vektorpotensialets verdi Φ ( A z, 1 A z, 2 ) (5-30) som igjen betyr at fluksen som flyter mellom to punkter er gitt av differensen i vektorpotensial. Ut fra dette kan en se at ekvipotensiallinjer for A er det samme flukslinjer. 5.3.3 Dirichletbetingelsen Når en kjenner verdien av vektorpotensialet på randen kan denne oppgis direkte - dvs en Dirichlet betingelse. I de fleste tilfeller vil en angi konstante verdier av vektorpotensialet langs en rand. Som vist over er dette det samme som at det går en flukslinje langs den aktuelle randen. Den vanligste bruken av Dirichlet betingelsen er altså: A(x,y) langs randen konstant (5-31) Hvilke verdier en skal sette på vektorpotensialet kommenteres mer i følgende eksempler. 5.3.4 Neumannbetingelen Neumanbetingelsen forteller direkte hvilken tangensialverdi flukstettheten har på randen,: 100
Seksjon 5.3 Grensebetingelser B t A 0 n (5-32) Setter vi homogen Neumann får vi at fluksen står normalt på den aktuelle flaten. 5.3.5 Eksempler: Spole med jernkjerne og luftgap I dette tilfellet kan vi studere en enkel reaktor (induktor-spole) med jernkjerne og luftgap, se fig. 5 6. Antar at jernet i kjernen har svært høy permeabilitet. I dette tilfellet vil vi et fluksbilde som vist på Figur 5 6: Spole med jernkjerne og luftgap Figur 5 7: Fluksbilde rundt reaktorer Som fig. 5 7 vil det i dette tilfellet være en horisontal symmetrilinje i problemet. Videre står flukslinjene normalt på jernkjernen på grunn av den høye permeabiliteten. Dette betyr at modellen kan reduseres, som vist på fig. 5 8. Figur 5 8: Utsnitt som viser flukslinjene rundt reaktoren GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 101
MAGNETOSTATISKE FELTER Når en arbeider magnetiske felter vil de følgende reglene være aktuelle: Figur 5 9: Fluksen går korteste veg Flukslinjer vil, som ved elektrisk strøm, alltid følge den minste resistans veg. I magnetisk terminologi betyr dette at flukslinjene vil følge vegen med den største permeans ( laveste reluktans). Flukslinjer alltid følge den korteste vegen gjennom et et hvilken som helst medium. Flukslinjer som flyter i samme retning frastøter hverandre. Flukslinjer vil aldri krysse hverandre. Flukslinjer vil i praksis komme ut og komme inn av et ferromagnetisk materiale i rette linjer. Dette skyldes den store µ r en finner i ferromagnetiske materialer Alle ferromagnetiske materialer har en begrenset evne til å lede fluks. Når de når denne grensen, er de mettet og oppfører seg som om de ikke eksisterer ( som luft, aluminium etc.). Når metning oppstår, kan flukslinjene flyte like lett gjennom luft som gjennom det aktuelle materialet. Flukslinjer vil alltid flyte fra den nærmeste nordpolen til den nærmeste sørpolen i lukkede sløyfer. Monopoler finnes ikke slik at en alltid har et polpar. 5.4 Magnetiske kretser 5.4.1 Elementer i en magnetisk konstruksjon En magnetisk krets er oppbygd av en eller flere permanent- eller elektromagneter og ofte sammen med noen bløte magnetiske materialer som leder fluksen der vi ønsker det. Med bløte magnetiske materialer mener en materialer med høy permeabilitet, µ r. Når ingen bløte magnetiske materialer er til stede, sier man at magneten er i en åpen krets, (luftspoler) hvor fluksen sprer seg gjennom luft.. Dersom bløte magnetiske materialer former minst en lukket sløyfe som leder fluks, sier man at det er i en lukket magnetkrets. For å gjøre et nyttig arbeid, har en magnetisk konstruksjon normalt en eller flere luftgap hvor det arbeidet blir utført. En magnetisk krets kan bli analysert ved hjelp av teknikker analoge til de som brukes ved analyse av elektriske kretser. Det er imidlertid en kritisk forskjell som kompliserer magnetisk kretsmodellering. Siden 102
Seksjon 5.4 Magnetiske kretser det ikke finnes en perfekt magnetisk isolator, må man alltid ta i betraktning lekkfluks og spredefluks i konstruksjonen. Mykt magnetisk materiale Luftgap Elektromagnet Permanentmagnet Figur 5 10: Typisk magnetisk konstruksjon Ampers lov gir oss det formelverk som benyttes til å analysere magnetiske kretser. Dersom vi har en enkel konstruksjon, se fig. 5 11, vil vi kunne bruke følgende betraktning: Figur 5 11: Enkel jernkjerne med luftgap H d l I f 0 Integralets bane går gjenom jernet og luft, se fig. 5 12 Hdl Introduserer så flukstettheten - ( µ r,luft 1) C C Hdl + Hdl NI jern luft (5-33) (5-34) Figur 5 12: Integralets bane gjennom jern og luft jern B ---dl + ----- B dl NI µ luft (5-35) Fluksen Φ og arealet A antas å være det samme i både jern og luftgap. Fluksen er analog med strømmen i en elektrisk krets. µ 0 jern φ φ --------dl + ----------------dl NI µa j µ 0 A luft luft φl j φ -------- + ----------------δ NI µa j µ 0 A luft Innfører så definisjonen for magnetisk motstand - reluktans; (5-36) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 103
MAGNETOSTATISKE FELTER R m l m ---------- µa m (5-37) Kretsligningen blir: φr j + φr δ NI (5-38) Figur 5 13: Enkel kretsmodell for en magnetiske konstruksjon Følgende tabell viser analoge størrelser i elekriske og magnetiske kretser: Elektriske kretsparametre Elektromotorisk kraft (Spenning), EMF, U Resistans, R Strøm, I Magnetisk kretsparametre Magnetomotorisk kraft, MMF, NI Reluktans, R Fluks, Φ Tabell 5 1: Analoge størrelser Reluktansen i jernet er ofte liten i forhold til reluktansen i luftgapet, og blir derfor ofte neglisjert. Magnetiske kretser kan være i serie eller i parallell, slik som elektriske kretser. Samme regler for analyse kan brukes. 104
Seksjon 5.4 Magnetiske kretser 5.4.2 Modellering av en enkel magnetisk konstruksjon Dersom en skal regne nøyaktig må en inkludere mange kretskomponenter i modellen. Figur 5 14: Kretsekvivalent for en enkel magnetisk konstruksjon. I fig. 5 14 er det valgt å benytte relativt mange komponenter til å modellere den magnetiske konstruksjonen. Lekkfeltet er ikludert i modellen. Lekkfeltet fra øvre jernkjerne til nedre jernkjerne modelleres ofte med en egen lekkpermeans. Mange ganger er det tilstrekkelig å kun inkludere luftapenes reluktans i modellen. Figur 5 15: Forenklet magnetkrets der kun relukatansen i luftgapene er inkluder Jernets reluktans er da neglisjert på grunn av den høye permeabiliteten. En slik forenklet modell er vist på fig. 5 15. Legg merke til at ved metning vil de magnetiske reluktansene være ulineære. En kan da løse kretsene på samme måte som ved elektriske modeller med iterasjon. Dette vil bli behandlet sammen med elementmetoden. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 105
MAGNETOSTATISKE FELTER 5.5 PERMANENTE MAGNETER Figur 5 16: Permanenmagne ter i elektrisk motor. 5.5.1 Anvendelser Permanente magneter benyttes i stadig større grad. Kanskje spesielt ser en en dramatisk økning i bruk av små motorer der permanent magneter benyttes for å lage det mangetiske feltet Permanente magneter benyttes også mye i en rekke andre enkle konstruksjoner som dørlåser, relleer, høgtalere, filtre for magnetiske partikler etc. Før vi behandler permanente magneter teoretisk, skal vi studere noe praktiske anvendelser. I fig. 5 16 er det presentert en elektrisk motor med magneter monter direkte mot ytre skall. Dette arrangementet er enkelt og bill og bruke på små motorer. Kan du tenke deg hvorfor en med denne løsningen kan få relativt mye tap i magnetene. Figur 5 17: Permanente magneter i motor, I dette tilfellet ligger magnetene i hjørnene i stator I fig. 5 17 er magneten lagt i hvert hjørne av stator. Dette gjøres får å oppnå fluksforsterkning. Dette er vanlig for magneter som ikke har så stor flukstetthet (typisk for feritter). I dette tilfellet får vi mindre pulsasjoner i magnetfeltet gjennom magneten og dermed også mindre tap. I fig. 5 18 kan en se en moderne PM-motor med 6 poler og utstrakt bruk av magneter. Dette er maskin hvor en legger magnetene slik at det blir en kraftig feltforsterkning i luftgapet. Stator er preget av at det er mange poler og at åket (stators åk (bakkant) er tynn). I eksempelvis direktedrevne (uten gir) generatorer for vind kan vi komme opp mot 300 poler. Figur 5 18: Permanentmagnet synkronmaskin med 6 poler. 106
Seksjon 5.5 PERMANENTE MAGNETER I fig. 5 19 er det presentert en aksialmagnetisert PM-maskin. Maskinen har ikke jern i rotor og derfor svært lite treghetsmoment. I figuren vises: 1-rotovikling, 2 åk av jern som leder fluksen fra pol til pol, 3 permanentmagneter, 8 kommutator Figur 5 19: Aksialmagnetisert maskin. 5.5.2 Inkludering av permanente magneter i analytiske regnemodeller Når en skal bruke permanentmagneter må en kunne inkludere disse som kilder i magnetiske kretser eller som komponenter i en numeriske (FEM-modell). I første omgang er det viktig å forstå hvordan permamentmagneter blir en del av en magnetiske krets. I fig. 5 20 er det montert en magnet i en magnetiske krets. Magnetens lengde er l m og luftgapslengden er δ. Figur 5 20: Permanentmagn et montert i en magnetkrets Permanentmagnet l m l g I dette tilfellet har vi har en fluks som kun er gitt av permanentmagnetes kraft. Det er ingen frie ladninger(strømmer) problemet. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 107
MAGNETOSTATISKE FELTER Figur 5 21: Magnetiseringskurven for en permanent magnet B Arbeidspunkt lastlinje H H l I f 0 H J f 0 Dersom vi da bruker Amperes lov får vi: og d (5-39) (5-40) Der l m er permanentmagnetens lengde og l g er luftgapets lengde. Dette gir da: C H m l m + H g l g 0 H m eller ------ l g ---- (5-41) l H g B g ---- H m m l m µ 0 l m dersom vi omformer lign. (5-41) kan vi legge inn lastlinjen i karakteristikken, se fig. 5 21. l µ 0 H m m ---- B m l g (5-42) NB Denne lastlinjen kan bli litt mer vanskelig å beregne ved mer kompliserte geometrier og tilfeller der jernets metning kommer sterkt inn i bildet. Magnetiseringkurven for en permanent magnet er tegnet i fig. 5 20. Figur 5 22: Karakteristikker for de mest kjente type permanentmagneter. For den rette linjen mellom flukstetthetens nullgjennomgang til remanensflukstettheten kan vi bruke ligningen: 108
B m B r + µ r µ 0 H m (5-43) Med dette har vi etablert to ligninger med de to ukjente størrelsene H m og B m. Bruk av permanentmagneter vil bli presentert senere i form av eksempler. 5.5.3 Hvordan bestemme permanentmagnetens nødvendige lengde? En ønsker å benytte en magnet som er lang nok til at den klarer å levere en øsnket flukstetthet over luftgapet. Flukstettheten blir alltid noe mindre enn B r. For å kunne bestemme lengden på magneten kan man ta utgangspunkt i: H m B ------ l m g ---- µ l m og + (5-44) B m B r µ r µ 0 H m Eliminerer vi H m fra ligninengen over får vi: B B m B r µ r µ m 0 ------ l g + ---- µ 0 l m (5-45) eller uttrykt ved lengden på luftgapet B m µ l m l r g ------------------ B r B m (5-46) hvor (5-47) l m magnetens lengde B g B m flukstettheten ønsket i luftgapet l g luftgapslengden ved et antatt arbeidspunkt på demagnetiseringskurva. 5.5.4 Hvordan finne magnetarealet? For å kunne bestemme arealet på magneten kan man bruke GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 109
MAGNETOSTATISKE FELTER A m B g A ------------ g B d (5-48) hvor A m nødvendig areal for magneten i cm B g flukstettheten ønsket i luftgapet A g arealet i luftgapet i cm, normalt på flukslinjene B d flukstettheten i magneten, hentet fra arbeidspunktet på demagnetiserings kurven 5.5.5 Hvordan finne lastlinjen Når størrelsen og utformingen av magneten er bestemt, kan lastlinjen, B/H, bli funnet. Lign. 3-4 gir : B d B g A ----------- g A m og lign. 3-3 gir : H d B g l --------- g l m En kombinering av disse to gir: B ------ d H d B g A ----------- g A m A ------------ g l ---------- m B g l --------- g A m l g l m (5-49) 5.5.6 Hvordan finne flukstettheten Tegn en linje med stigningstall B d /H d gjennom origo og andre kvadrant. Les av verdien på B d der denne linjen krysser demagnetiserings kurven for å finne det virkelige arbeidspunktet for magneten. Sett verdien inn i følgende formel: 110
B g A m B ------------ d A g (5-50) Bytt ut de nye arbeidspunkt dataene (B d, H d ) inn i lign. 3-5 inntil den ønskede B g er funnet. 5.5.7 Beregning av magnetiseringen M Magnetiseringen M blir ofte etterpspurt i slike beregninger. Dersom vi tar utgangspunkt i ligning (5-43) så ser vi at den fluksen vi får om vi ikke har noe ytre påtrykt felt er gitt ved B r. Videre er M bestemt av følgende ligning B µ 0 ( H + M lin + M PM ) (5-51) M lin er kun knyttet til materialets permeabilitet og dermed inkludert i ligning (5-43) andre ledd. Magnetiseringen er dermed gitt som M B r ----- µ 0 (5-52) 5.5.8 Inkludering av permanente magneter i numeriske regnemodeller Når en skal få permanente magneter inkludert som en del av en FEMmodell benyttes ofte bundne strømmer som tankemodell. Magnetiseringen M kan likestilles med en tenkt bunden strøm som flyter i magneten. I fig. 5 23 er det vist en sirkulær magnet med konstant magnetisering M. Idette tilfellet kan en modellere dette som en strøm i overflaten av magneten. De lilla pilene angir bundne strømmer og de grønne angir M. Figur 5 23: Bundne strømmer i en PermanentMagnet Amperes lov angir forholdet mellom H og den frie strømmen J f, H J f (5-53) Dersom vi tar curls av B får en utvidet ligning: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 111
MAGNETOSTATISKE FELTER B µ 0 ( H + M lin + M PM ) ( µ 0 µ r H + µ 0 M PM ) ( µ 0 µ r J f + µ 0 J bund ) (5-54) Dette betyr at den bundne strømmen er gitt ved: M PM J bund (5-55) Dersom vi benytter bundne strømmer knyttet til magnetiseringen M får vektorpotensialligningen B A µ 0 ( J fri + J bund ) (5-56) Elementmetoden vil bli presentert i et senere kapittel. Det er likevel her på sin plass å forklare hvordan magnetiseringen M kan inluderes elementvis. Figur 5 24: Magnetisering M kan modelleres som bundne strømmer. Ved homogen M får vi kun kantstrømmer (ocurl) I fig. 5 24 vises en fordelt magnetisering M. En kan for hvert element beregne curl M og finne den bundne strømmen. NB! Dersom M er konstant (homogen) er curl M 0!. I dette tilfellet får vi et sprang i M i det vi forlater elementet, som gir en uendelig derivert på randen. Dette blir ofte behandlet som en overflatecurl (ocurl), som tolkes som en overflatestrøm. 5.5.9 Energi lagret i det magnetiske feltet En kan enten bruke vektorpotensialet direkte eller benytte feltstørrelsene H og B ved beregning av den magnetiske energien. Fordelen med å benytte vektorpotensialet direkte er at A løses direkte i FEM-beregniunger. I tillegg vil bruk av A gi en bedre nøyaktighet fordi en ikke må derivere størrelsen før en beregner energien. Bruk av A har også den fordelen at en kun trenger å integrere over det området hvor en har strøm (noe som ofte en svært liten del av det totale volumet). Energien beregnet ved hjelp av A er gitt som 1 W magn -- ( J A ) dv 2 dersom en tar utgangspunkt i B og H får vi: V (5-57) 1 W magn -- ( B H ) dv 2 Begge disse uttrykkene forutsette konstante materialegenskaper. V (5-58) 112
Seksjon 5.5 PERMANENTE MAGNETER 5.5.10 Beregning av induktanser Induktansebegrepet angir hvor mye fluks som produseres, gitt at det går en strøm i den aktuelle spolen. Selvinduktansen forteller hvor mange fluksforslyngninger som settes opp i spolen selv, og gjensidig induktans angir hvor mange fluksfoslyngninger som påvirker andre spoler i nærheten. Selvinduktansen. Fra den magnetiske energien satt opp av en spole kan en beregne selvinduktansen: L 2 W magn --------------- I 2 (5-59) Dersom en tar utgangspunkt i fluksforslyngningene kan en bruke følgende uttrykk: L (5-60) der Ψ er den totale antall fluksfoslyngninger. Εn må huske at de forskjellige turnene i spolne vil ha ulik fluks gjennom seg. Dette er grunnen til at Ψ er innført som en egen regnestørrelse. Ψ ---- i Dersom en har en enkel spole eller at all fluksen flyter gjennom alle vindingen kan en beregne induktansen på følgende måte: For en mer komplisert spole med fordelt fluks får vi: L Ψ ---- i Adl ----------- c I (5-61) Selvinduktansen for spolen blir da: Ψ N i 1 Φ i Jds -------- Adl i c (5-62) der v c er volumet av spolen. Ψ 1 L ---- --- JAdv i i 2 Vc (5-63) Gjensidig Induktans. Denne induktansen kan ut fra energibetraktninger bestemmes fra: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 113
MAGNETOSTATISKE FELTER W magn M 12, 1 2 1 2 --L 2 11, I 1 --L 2 22, I 2 --------------------------------------------------------------------- I 1 I 2 (5-64) Der W magn er den magnetiske energien en lagrer når en setter strøm på begge spolene. L 1,1 og L 2,2 beregnes først ved å kun sette strøm på de aktuelle spolene alene. Den gjensidige induktansen beregnet ut fra fluksforslyngninger bestemmes ved: Ψ M 1 12, ------ i 2 (5-65) der vi setter strøm på spole 2 og måler fluksforslyngningene i spole 1. Fluksforslyngningene er best bestemt ved hjelp av en referansestrøm, slik at fordelingen av viklingen blir inkludert i form av en veiefaktor. Dette kan gjøres ved å anta at en liten strøm også flyter i spole 1 mens fluksforslyngningene beregnes. Merk likevel at vektorpotensialet A først bestemmes med strøm kun i spole 2 (i 1 0). De gjensidige fluksforslyngningene er da gitt ved: Den gjensidige induktansen blir: Ψ 1 A J 1 ----dv v c I 1 (5-66) 1 M 12, I 2 --- A J 1 ----dv En annen elegant metode for å bestemme den gjensidige induktansen kalles Neumanns formel. Denne er spesielt egnet når en eksempelvis har spoler uten jern i et rom med homogen permeabilitet - typisk i luft. Neumanns formel tar utgangspunkt i beregningen av fluksen i spole 1 når det går strøm i spole 2. v c I 1 Φ 1 BdS ( A ) ds A dl og gjensidig induktans er da gitt som: S 1 S 1 L 11 (5-67) 114
Seksjon 5.6 KRAFT BEREGNINGER M 1 12, i 2 --- BdS --- 1 ( A) ds --- 1 Adl 1 S 1 i 2 (5-68) NB! Vektorpotensialet A i ligning (5-68) oppstår på grunn av strømmen i spole 2 og kan beregnes ved hjelp av Biot Savarts lov, (presentert i lign (5-13)). Dersom vi bruker denne formelen får vi : S 1 i 2 L 1 1 ( i ------ 2 µdl1 dl2) ------------------------------- 4π r L L M ------------------------------------------------ 1 2 1 ------ 4π i 2 L 1 L 2 ( i 2 µdl1 dl2) ------------------------------- r (5-69) 5.6.1 Magnetiske krefter Magnetiske krefter kan beregnes ut fra feltstørrelsene som B og H, eller ved energibetraktninger. I motsetning til elektriske krefter på ladning, kan magnetiske krefter bli svært store og er derfor ofte brukt i elektromekaniske konstruksjoner. De fleste typer motorer og generatorer utnytter de magnetiske kreftene. 5.6 KRAFT BEREGNINGER Grovt setter finnes det tre innfallsvinkler ved beregning av magnetiske krefter Maxwells tensorer Virtuelle forskyvningers metode (energibetraktninger) Beregning av krefter som virker direkte på primærkildene (Lorentz krefter) Det er mulig å gi en fullstendig beskrivelse av disse metodene innenfor rammen av denne boken. Velger derfor å kort oppsummerer hovedpoenget med de forskjellige metodene. Maxwells tensorer. Dette er en metode som baserer seg på legge en mer eller mindre tilfeldig flate rundt det objektet der en forventer at det skal oppstå krefter, se fig. 5 25. Figur 5 25: Et legeme som er omsluttet av en flate i luft. Flaten kan ligge på overflaten av legemet eller i luften rundt. En studerer så hvilke tangensial- og normalkrefter en har på denne flaten. Total kraft eller moment beregnes så ved å integrere opp kreftene på flaten. Dersom vi holder oss til et lokalt xy-koordinatsystem kan en vise at kreftene i henholdsvis x og y retningen er gitt ved: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 115
MAGNETOSTATISKE FELTER og df x µ 0 H x H y ds (5-70) µ df 0 2 2 y -----H ( 2 y H x )ds Den totale kraften pr flateenhet er gitt ved (5-71) Figur 5 26: Den magnetiske feltstyrken i overflaten df 1 2 2 --µ 2 0 ( H y + H x )ds 1 --µ 2 0 ( H 2 )ds (5-72) Dersom en vil finne delkompoentene av F får en det enkle forholdet: tan α tan 2θ (5-73) der α df x tan -------- og α H x tan ------ df y H y En mye brukt formel for å estimere holdekraft er mulig å utlede fra lign fig. 5-72: F 40B 2 A (5-74) hvor B er flukstettheten i T og A er arealet av overflaten i cm 2. Kraften F regnes i Newton. I dette tilfellet antar vi at vi kun har normalkomponenter inn mot flaten. En konstruksjon hvor på bruk av denne formelen er aktuell er vist i fig. 5 27. Dette er en løftemagnet utformet som en pottekjerne med en sylindrisk kjerne i midten. I fig. 5 28 er halve konstruksjonen skjært bort for å vise hvordan viklingen ligge rundt kjernen. Figuren viser også en stålplate som løftes av magneten. Figur 5 27: Løftemagnet set fra løftesiden 116
Seksjon 5.6 KRAFT BEREGNINGER Jernkjerne Jernkjerne B 1 B 2 Figur 5 28: Holdemagnet. For holde magneten i fig. 5 28 er den magnetiske holdekraften: 2 2 F 40(B 1A1 + B 2A2 ) (5-75) Virtuelt arbeid Denne metoden baserer seg på å bestemme hvilken energiforandring en får dersom en gjør en liten bevegelse i en kjent retning. Prinsippet baserer seg da på at energien er gitt ved: dw F dl (5-76) Avhengig av hvordan en styrer kildene i problemet vil en kunne få endring av fortegnet på energiforandringen. Vi får da følgende kraft/momentuttrykk: F ξ dw ---------------- mag dξ I konstan t (5-77) F ξ dw ---------------- mag dξ Φ konstan t (5-78) Uttrykt som moment får vi GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 117
MAGNETOSTATISKE FELTER T θ dw ---------------- mag dθ I konstan t (5-79) T θ dw ---------------- mag dθ Φ konstan t (5-80) I praksis må en gjøre en slik derivasjon med en endelig endring i posisjon eller vinkel. F W 1 W -------------------- 2 (5-81) der W 1 er W 2 er relativt store og like i verdi. Dette medfører ofte problemer når skal regne fordi resualtet av en subtraksjon av to store like verdier direkte dividert med en liten verdi lett bli unøyaktig. x 12, Krefter direkte på strømførende ledere eller bundne strømmer. F ( J B ) dv (5-82) Dette integralet utføres kun der vi har strøm. Imidlertid vil en raskt oppdage at en ofte har krefter på magnetiske legemer der en ikke har frie strømmer. Dette skyldes de bundne strømmen som sette opp i tilknytning til magnetiseringen M. Som vist tidligere kan en beregne denne bundnes strømmen ut fra curl M, og bruke, og + (5-83) hvor J f er den frie strømtettheten og J b er den bundne strømtettheten. Som nevnt vil den bundne strømmen kunne tilnæremes med overflatestrømmer langs kanten av magneten. Det er da ingen bundne strømmer inne i magneten. I dette tilfellet kan vi bruke, J m M x n hvor n er normalvektoren ut fra flaten. J b V M J J f J b 118