2P-Y eksamen våren 2017 løysingsforslag

2P-Y eksamen våren 2017 løysingsforslag Tid: 2 timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 (2 poeng) I ein klasse er det 16 elevar. Tabellen nedanfor viser kor mange søsken dei 16 elevane har. Søsken Frekvens 0 5 1 6 2 2 3 2 4 1 Bestem gjennomsnittet, medianen, typetalet og variasjonsbreidda. Gjennomsnitt: 5 0 6 1 2 2 2 3 1 4 20 5 1,25 16 16 4 Median: Det er 16 elevar totalt. Halvparten er 8. Sidan frekvens av 0 er 5, og frekvens av 1 er 6, og 5 + 6 = 11 > 8, er medianen 1. Typetalet er 1 sidan det er flest elevar med eitt søsken. Variasjonsbreidde: 4 0 = 4 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 1 av 18

Oppgåve 2 (1 poeng) Ved ein skole er det 125 elevar. Ein dag tok 25 av elevane buss til skolen. Kor mange prosent av elevane tok buss til skolen denne dagen? 25 25 100 % 125 125 5 1 100 100 % % 20 % 5 20 % av elevane tok buss til skolen denne dagen. Oppgåve 3 (2 poeng) Rekn ut 0 3 2 1 3 3 3 2 2 1 ( 3) 3 3 ( 2) 2 3 3 6 6 3 5 2 8 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 8 Oppgåve 4 (2 poeng) I 10 L vatn er det omtrent 25 3,0 10 vassmolekyl. Kor mange vassmolekyl er det i 1,5 dl vatn? 25 3,0 10 25 2 23 1,5 1,5 3,0 10 4,5 10 10 10 Det er 4,5 10 23 vassmolekyl i 1,5 dl vatn. Oppgåve 5 (3 poeng) I 2017 er verdien av ei leilegheit 1 200 000 kroner. Per går ut frå at verdien vil stige med 80 000 kroner kvart år. a) Set opp ein modell som viser verdien fx ( ) av leilegheita x år etter 2017 dersom det går slik Per trur. Verdi etter x år = verdi i 2017 + 80 000 talet på år x f( x) 1 200 000 80 000x Kari går ut frå at verdien vil stige med 8 % kvart år. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 2 av 18

b) Set opp ein modell som viser verdien gx ( ) av leilegheita x år etter 2017 dersom det går slik Kari trur. 8 Vekstfaktor: 1 1,08 100 Modellen blir da gx ( ) 1 200 000 1,08 x c) Kva for ein av grafane nedanfor kan vere grafen til f? Kva for ein av grafane nedanfor kan vere grafen til g? Grunngi svara dine. f er ein lineær funksjon, og grafen må vere ei rett linje. Da er B riktig alternativ. g er ein eksponentielt veksande funksjon. Då må A vere riktig alternativ. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 3 av 18

Oppgåve 6 (6 poeng) Eit år deltok 1 000 elevar i ein konkurranse. Svara blei vurderte, og lærarane laga ein tabell. Tabellen ser du nedanfor, men her manglar nokre av tala lærarane sette inn. Poengsum Frekvens Relativ frekvens 0, 30 100 100 0,1 1000 30, 50 1000 100 600 200 100 100 0,1 1000 50, 70 0,6 1000 600 0,6 200 70, 100 200 0,2 1000 Klassemidtpunkt 0 30 15 2 30 50 40 2 50 70 60 2 70 100 85 2 a) Teikn av tabellen ovanfor, og fyll inn tala som manglar. b) Bestem gjennomsnittleg poengsum for elevane som deltok i konkurransen. Gjennomsnittleg poengsum i det klassedelte materialet finn vi ved å leggje saman alle produkta av frekvens og klassemidtpunkt og til slutt dele på det totale talet. Gjennomsnittleg poengsum er: 100 15 100 40 600 60 200 85 1000 1500 4000 36 000 17 000 58 500 58,5 1000 1000 Eit anna år deltok 3 525 elevar i konkurransen. Tabellen nedanfor viser poengfordelinga Poengsum Frekvens 0, 30 563 30, 50 700 50, 70 2000 70, 100 262 c) Bestem medianen for poengsummane til elevane som deltok i konkurransen dette året. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 4 av 18

3525 1762,5 1763. Legg vi saman dei to første klassane, får vi 563 + 700 2 = 1263. Legg vi til neste klasse, 50, 70, får vi 1263 + 2000 = 3263. Altså må medianen liggje i dette intervallet. 1763 1263 = 500. Medianen er altså tal nr. 500 i intervallet 50, 70. Det er 2000 poengsummar i dette intervallet. Dersom poengsummen aukar jamt for dei 2000 poengsummane, må auken frå den eine poengsummen til den neste vere: 70 50 20 0,01 2000 2000 Tal nr. 500 vil derfor vere lik 50 0,01 500 50 5 55. Medianen for poengsummane er derfor 55.. Oppgåve 7 (7 poeng) Ovanfor ser du tre figurar. Figurane er sette saman av små, blå pinnar. Kvar pinne har lengda 2,5 cm. Tenk deg at du skal fortsetje å lage figurar etter same mønster. a) Kor mange pinnar treng du for å lage figur 4? Bestem omkretsen av figur 4. Vi må leggje til to pinnar for å få figur 4. Då har vi totalt 9 pinnar. Omkrinsen består av 6 pinnar, så omkrinsen blir 6 2,5 cm 15 cm b) Bestem eit uttrykk for talet på pinnar i figur n uttrykt ved n. Figur nr., n 1 2 3 4 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 5 av 18

Pinnar, N 3 5 7 9 Ser at talet på pinnar aukar med to for kvar figur. Det betyr at funksjonen Nn ( ) for talet på pinnar N i figur nr. n er ei rett linje med stigingstal 2. Set konstantleddet lik b og får N( n) 2n b Vi har at det er 3 pinnar i figur nr. 1. Det vil seie at N(1) 3 2 1 b 3 2 b 3 b 3 2 b 1 Utrykket for talet på pinnar blir N( n) 2n 1 c) Bestem eit uttrykk for omkretsen av figur n uttrykt ved n. Figur nr., n 1 2 3 4 Talet på pinnar i omkrinsen 3 4 5 6 Omkrins, O, [cm] 7,5 10 12,5 15 Ser at omkrinsen aukar med 2,5 cm for kvar figur. Det vil seie at funksjonen On () for omkrinsen O av figur nr. n er ei rett linje med stigingstal 2,5. Set konstantleddet lik b og får: O( n) 2,5n b Vi har at omkrinsen er 10 cm for figur nr. 2. Det vil seie at O(2) 10 2,5 2 b 10 5 b 10 b 10 5 b 5 Uttrykket for omkrinsen blir O( n) 2,5n 5 Ein figur som følgjer same mønster som ovanfor, har ein omkrets på 105 cm. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 6 av 18

d) Bestem talet på pinnar i denne figuren. Det betyr at On ( ) 105 2,5n 5 105 2,5n 105 5 2,5n 100 200 2,5 2,5 5 n 40 Figur nr. 40 har omkrins på 105 cm. Talet på pinnar blir N (40) 2 40 1 80 1 81 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 7 av 18

Oppgåve 1 (8 poeng) Funksjonen V er gitt ved 4 3 2 V( x) 0,064 x 2,41 x 28,4x 105x 39, 0 x 18 viser vass-standen Vx ( ) centimeter over eller under middelvatn x timer etter midnatt i Tromsø ein dag. a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til V. Skreiv inn funksjonen Vx ( ) i GeoGebra ved hjelp av kommandoen Funksjon. Sjå raud graf på biletet. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 8 av 18

b) Vis at vass-standen er ca. 40 cm under middelvatn éin time etter midnatt og ca. 31 cm over middelvatn 12 timar etter midnatt. Éin time etter midnatt: V(1) 39,95 40, sjå konstanten c på biletet i a). 12 timar etter midnatt: V (12) 31,22 31. Sjå konstanten a. c) Bestem forskjellen mellom høgaste og lågaste vass-stand i perioden frå midnatt og fram til klokka 18.00. Forskjellen mellom høgaste og lågaste vass-stand i perioden er 141,2 cm, sjå konstanten b og punkta A og B på biletet i a). Kommando: Ekstremalpunkt d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen V klokka 07.00. Gi ei praktisk tolking av dette svaret. Den momentane vekstfarten til funksjonen V klokken 07.00 er 26,1 cm/time. Sjå tangentlinje g(x) på biletet i a). Kommando: Tangent[7,V]. Det betyr at akkurat kl. 07.00 stig vatnet med 26,1 cm per time. Oppgåve 2 (2 poeng) Emil betalte 3 703 000 kroner for ei leilegheit. Han betalte 15 % meir enn prisantydinga. Kva var prisantydinga for denne leilegheita? 15 Vekstfaktor: 1 1,15. Prisantydinga var: 100 3 703 000 kr 3 220 000 kr 1,15 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 9 av 18

Oppgåve 3 (4 poeng) For 20 år sidan arva Ida pengar. Ho sette alle pengane inn på ein ny bankkonto. Ho har fått ei fast rente på 4,25 % per år. I dag har ho 1 724 180 kroner på kontoen. Kor mykje pengar arva Ida? Ida arva 750 000 kroner. Oppgåve 4 (2 poeng) Beskriv ein praktisk situasjon som passar med grafen ovanfor. Dette kan passe med ein person som går med konstant fart bortover frå ein startstad og på eit visst tidspunkt snur brått og går attende litt raskare sidan grafen er brattare etter knekkpunktet. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 10 av 18

Oppgåve 5 (4 poeng) Ved en skole kom alle elevane som hadde valt 2P, opp til skriftleg eksamen. Histogrammet nedanfor viser poengfordelinga a) Vis at det til saman var 230 elevar i 2P-gruppene. Talet på elevar er det same som arealet av histogrammet. Talet på elevar blir då 10 1 30 6 20 2 10 180 40 230 b) Bestem gjennomsnittleg poengsum for elevane. Går ut frå at elevane i kvar klasseinndeling har fått klassemidtpunktet i poengsum. Gjennomsnittleg poengsum blir 10 5 180 25 40 50 28,5 230 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 11 av 18

Oppgåve 6 (4 poeng) Temperaturen blir lågare jo høgare over havet vi kjem. Spiterstulen ligg 1 106 m over havet. Toppen av Galdhøpiggen ligg 2 469 m over havet. Ein dag er temperaturen på Spiterstulen 12,0 C. Vi går ut frå at temperaturen Tx ( ) C, x meter over Spiterstulen denne dagen er gitt ved. T( x) 0,0065 x 12, 0 x 1400 a) Kor høgt over Spiterstulen vil du vere når temperaturen er 5 C denne dagen? Du vil vere 1077 meter over Spiterstulen når temperaturen er 5 C. Sjå linje 2 på CAS-utklippet. b) Bestem temperaturen på toppen av Galdhøpiggen denne dagen. Temperaturen på Galdhøpiggen vil vere 3.1 C. Sjå linje 3 i CAS-utklippet. c) Kor mange grader søkk temperaturen med per 100 m stiging denne dagen? Stigingstalet til T(x) seier at temperaturen søkk med 0,0065 C per meter stiging. Per 100 meter stiging søkk temperaturen 0,0065 100 C per 100 m 0,65 C per 100 m Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 12 av 18

Oppgåve 7 (5 poeng) Tabellen nedanfor viser kor høg Per var 0, 1, 3, 6 og 12 år etter fødselen. Alder (år) 0 1 3 6 12 Høgde (cm) 52 76 97 118 148 a) Bruk opplysningane i tabellen til å bestemme ein tredjegradsfunksjon f som tilnærma viser høgda til Per dei første 12 leveåra. Brukte regresjonsanalyse i GeoGebra på tala i tabellen og valde tredjegradspolynom. Den tredjegradsfunksjonen som passar best, er 3 2 f( x) 0,12x 2,57x 21,82x 53,56 Espen er 12 år. Funksjonen g gitt ved 3 2 g( x) 0,13x 2,8 x 23x 52 viser høgda hans gx ( ) cm, x år etter fødselen. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 13 av 18

b) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten til Espen frå han var 7 år til han blei 12 år. Den gjennomsnittlege vekstfarten til Espen er 5,81 cm per år, sjå linje 2 i CAS-biletet. Sitatet nedanfor er henta frå nettsidene til Norsk Helseinformatikk AS. Gå ut frå at Espen kjem i puberteten når han er 12 år. Puberteten varer vanlegvis i to tre år. c) Ta utgangspunkt i sitatet ovanfor, og vurder om funksjonen g kan brukast til å bestemme høgda til Espen etter at han har fylt 12 år. Funksjonen kan ikkje brukast etter at Espen har fylt 12 år, fordi grafen stig til himmels ganske fort, noko også utrekninga i linje 3 på CAS-utklippet viser. Det er svært få 15-åringar som er over 2 meter. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 14 av 18

Oppgåve 8 (4 poeng) I ein klasse er det 12 jenter og 18 gutar. Neste skoleår ønskjer 3 av jentene og 2 av gutane å studere i utlandet. a) Systematiser opplysningane i teksten ovanfor i ein krysstabell eller eit venndiagram. Krysstabell: Jenter Gutter Sum Ønskjer å studere i utlandet 3 2 2 + 3 = 5 Ønskjer ikkje å studere i utlandet 12 3 = 9 18 2 = 16 9 + 16 = 25 Sum 12 18 30 Venndiagram: Klassen Jenter 12 3 = 9 3 Ønskjer å studere i utlandet 2 16 Tenk deg at du skal trekkje to elevar frå klassen tilfeldig. b) Bestem sannsynet for at du kjem til å trekkje to elevar som ikkje ønskjer å studere i utlandet. Definerer hendingane A og B: A: Første elev ønskjer ikkje å studere i utlandet. B: Andre elev ønskjer ikkje å studere i utlandet. Sannsynet for å trekkje to elevar som ikkje ønskjer å studere i utlandet, blir 25 24 20 P( A B) P A P B A 69,0% 30 29 29 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 15 av 18

c) Bestem sannsynet for at du kjem til å trekkje éin gut og éi jente som ønskjer å studere i utlandet. Må ta med dei to tilfella der guten blir trekt først og jenta etterpå, og omvendt. Definerer hendingane G og J: G: Den uttrekte guten ønskjer å studere i utlandet. J: Den uttrekte jenta ønskjer å studere i utlandet. Sannsynet for å trekkje éin gut og éi jente som ønskjer å studere i utlandet, blir 2 3 3 2 2 P( G J) P( G) P( J G) P( J) P( G J ) 1,4% 30 29 30 29 145 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 16 av 18

Oppgåve 9 (5 poeng) Elise og Ådne oppretta kvar sin bankkonto 1. januar 2017. Elise sette inn 20 000 kroner. Ådne sette inn 25 000 kroner. Begge får ei rente på 2,75 % per år, og begge lar pengane stå urørte. a) Lag eit rekneark som gir ei oversikt over kor mykje Elise og Ådne vil ha i banken kvart år fram til og med 31. desember 2036. Reknearket går fram til 2037 for å få med rentene året 2036. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 17 av 18

b) Kor mange år vil det gå før dei til saman har meir enn 70 000 kroner i banken? Dei passerer 70 000 kr i banken i løpet av året 2033, sjå rute G23 i reknearket. c) Kor mykje vil Elise og Ådne til saman få i renter desse 20 åra? Til saman vil dei få 32 419,28 kroner i rente, sjå rute H27 i reknearket. Kjelder Oppgåvetekst med grafiske framstillingar og bildar: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y våren 2017 Side 18 av 18