Eksamen Matematikk 2P-Y Hausten 2015

Eksamen Matematikk 2P-Y Hausten 2015 Tid: 2 timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Oppgåve 1 (1 poeng) Prisen på ei vare er sett ned med 30 %. I dag kostar vara 280 kroner. Kor mykje kosta vara før prisen vart sett ned? Vekstfaktoren er 100 30 70 0,7 100 100 Ny pris Opphavleg pris vekstfaktor 280 kr Opphavleg pris 0,7 Opphavleg pris 400 kr Vara kosta 400 kroner før prisen vart sett ned. Oppgåve 2 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 9 3 9 3 6 7 3,4 10 4,0 10 3,4 4,0 10 13,6 10 1,36 10 Oppgåve 3 (1 poeng) Rekn ut 4 2 3 6 0 2 4 2 3 4 2 6 ( 2) 4 3 2 4 (2 2 ) 3 2 4 2 2 3 2 4 2 6 4 2 2 4 1 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 1 av 20

Oppgåve 4 (2 poeng) For 10 år sidan vann Lea i Lotto. Ho oppretta ein konto i banken og sette inn heile vinsten. Beløpet har stått urørt på kontoen sidan. Renta har heile tida vore 3,2 % per år. I dag har Lea 500 138 kroner på kontoen. Sett opp eit uttrykk som du kan bruke til å rekne ut kor stor vinsten til Lea var. Vekstfaktoren er 1,032. Vi får uttrykket: Vinst 1,032 10 500138 kr 500138 kr Vinst 10 1,032 Vinst 500138 kr 1,032 10 Oppgåve 5 (2 poeng) Omkrinsen av jordkloten ved ekvator er ca. 40 000 km. Tenk deg at vaksne og barn står hand i hand og dannar ein ring rundt jordkloten. Kvar person femnar i gjennomsnitt 1,6 m. Omtrent kor mange personar må stå hand i hand for å nå rundt jordkloten ved ekvator? Skriv svaret på standardform. 3 40000 10 m 7 4 10 m 1,6 m 1 16 10 m 1 16 10 m 4 40000 km 1 10 0,25 10 2,5 10 7 ( 1) 8 7 Omtrent 7 2,5 10 menneske må stå hand i hand for å nå rundt heile jordkloten ved ekvator. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 2 av 20

Oppgåve 6 (3 poeng) Alder Bedrift A Frekvens Bedrift B Frekvens 20,40 52 35 40,60 36 45 60,70 12 20 Sum 100 100 Kvar av dei to bedriftene A og B har 100 tilsette. Tabellen ovanfor viser aldersfordelinga for dei tilsette i bedriftene. a) I kva bedrift er medianalderen lågast? Grunngje svaret. Medianen blir gjennomsnittsalderen til tilsett nr. 50 og 51 når dei blir plasserte i stigande rekkjefølgje. I bedrift A finn vi desse to i aldersintervallet 20,40, medan vi finn dei i intervallet i 40,60 bedrift B. Medianalderen er difor lågast i bedrift A. b) Bestem gjennomsnittsalderen for dei tilsette i bedrift B. 30 35 50 45 65 20 1050 2250 1300 4600 46 100 100 100 Gjennomsnittsalderen for tilsette i bedrift B er 46 år. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 3 av 20

Oppgave 7 (3 poeng) Sebastian har to jukseterninger. To sider på hver av terningene har seks øyne, én side har fire øyne, én side har tre øyne, én side har to øyne, og én side har ett øye. Sebastian kaster begge terningene. a) Bestem sannsynligheten for at han får to seksere. 1 P(1) 6 1 P(2) 6 1 P(3) 6 1 P(4) 6 P(5) 0 2 1 P(6) 6 3 1 1 1 P(to seksarar) 3 3 9 Sannsynet for at Sebastian får to seksarar er 1/9. b) Bestem sannsynligheten for at summen av antall øyne blir sju. Dette kan skje på følgjande måtar: 1-6, 3-4, 4-3 og 6-1. 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 6 1 P(summen blir 7) 6 6 6 6 6 6 6 6 36 36 6 Sannsynet for at summen av talet på auge blir 7 er 1/6. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 4 av 20

Oppgåve 8 (2 poeng) Lars observerer ein bakteriekultur. Frå han starta observasjonane, har talet på bakteriar gått ned eksponentielt. Sjå grafen til funksjonen B ovanfor. Bestem vekstfaktoren og sett opp utrykket for B(). Alternativ 1: Vi ser at talet på bakteriar startar med 10 000. Den første timen går talet ned med 1000, frå 10 000 til 9 000. Det svarar til 1000 0,1 10% 10000 Sidan B går ned eksponentielt, går talet på bakteriar ned med 10 % for kvar time. 10 Vekstfaktoren 1 1 0,1 0,9 100 Det betyr at B 10 000 0,9 Alternativ 2: Sidan B går ned eksponentielt, kan vi skrive B a b B 0 10 000. Det betyr at Grafen viser at ab 0 10 000 a 1 10 000 a 10 000 Vi ser vidare at 1 10000 b 9 000 B 1 9 000. Det betyr at 9 000 b 0,9 10 000 Vekstfaktoren b 0,9 og B 10 000 0,9 der b er vekstfaktoren. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 5 av 20

Oppgåve 9 (5 poeng) Diagramma ovanfor viser korleis karakterane i klasse 1A og 1B fordelte seg ved førre matematikkprøve. a) Bestem gjennomsnittskarakteren i kvar av dei to klassane. 1A: 1 5 2 4 3 2 4 1 5 3 6 5 5 8 6 4 15 30 68 34 3,4 20 20 20 10 1B: 1 1 2 3 3 5 4 6 5 4 6 1 1 6 15 24 20 6 72 36 3,6 20 20 20 10 Gjennomsnittskarakteren er 3,4 i 1A og 3,6 i 1B. b) I kva klasse er standardavviket for karakterfordelinga størst? Grunngje svaret. I 1B har dei fleste ein karakter i nærleiken av gjennomsnittet, medan det er motsett i 1A; her har mange fått karakterane 1, 2, 5 og 6. Standardavviket er difor større i 1A enn i 1B. c) Bestem den kumulative frekvensen for karakteren 3 i kvar av dei to klassane. Kumulativ frekvens for 3 i 1A = 5 4 2 11 Kumulativ frekvens for 3 i 1B 1A =1 3 5 9 d) Bestem den relative frekvensen for karakteren 6 i kvar av dei to klassane. Relativ frekvens for 6 i 1A = 5 100 % 25 % 20 Relativ frekvens for 6 i 1B = 1 100 % 5 % 20 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 6 av 20

Oppgåve 10 (4 poeng) Hos familien Vassdal er termostaten i varmtvasstanken sett til 70 C. Når familien brukar varmtvatn frå tanken, renn kaldt vatn inn, og gjennomsnittstemperaturen på vatnet i tanken går ned. Varmeelementet slår seg då automatisk på, og vatnet varmast opp igjen. Grafen ovanfor viser korleis temperaturen i tanken varierte ein morgon. Det varme vatnet vart berre brukt til å dusje. a) Kor mange familiemedlemmar dusja denne morgonen? Temperaturen i vatnet går ned kvar gong ein person dusjar. Fire familiemedlemmar dusja denne morgonen. Dottera Vanda var den som brukte lengst tid i dusjen. b) Kor lenge dusja ho? Vanda dusja frå kl. 06:25 til ca. kl. 06:37. Vanda dusja i ca. 12 minutt. Då familien gjekk frå heimen klokka 7.30, var temperaturen i varmtvasstanken 58 C. c) Kor lang tid tok det før temperaturen var stige til 70 C igjen? Om temperaturen held fram med å stige lineært, ser eg av grafen at han brukar 20 minutt på 2 grader (frå kl. 07:10 til kl. 07:30). Stigningstalet er då 2 0,1 20 Temperaturen stig med 0,1 grader i minuttet. Dermed tek det 120 minutt for vatnet og stige 12 grader (frå 58 C til 70 C). Det tok to timar før vatnet var stige til 70 C igjen. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 7 av 20

Tid: 2 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Oppgåve 1 (3 poeng) Tabellen ovanfor gjev ei oversikt over dei viktigaste varmekjeldene for husstandar i ulike delar av Noreg. Bruk rekneark til å lage eitt diagram der du presenterer opplysningane i tabellen på ein oversiktleg måte. Eg skriv av tabellen i Ecel. Deretter markerer eg tabellen, og vel kommandoen «sett inn ståande stolpediagram». Viktigaste varmekjelder for husstandar i ulike delar av Noreg 70,0 % 60,0 % 50,0 % 40,0 % 30,0 % 20,0 % 10,0 % 0,0 % Oslo Østlandet for øvrig Sør-Norge Vestlandet Midt-Norge Nord-Norge Elektriske ovner Varmepumper Vannbåren varme Sentralvarme Vedfyring Annet eller vet ikke Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 8 av 20

Oppgåve 2 (4 poeng) Funksjonane G og J gjevne ved 3 2 G( ) 0,0030 0,088 1,17 3,7 0 12 3 2 J( ) 0,0017 0,057 0,93 3,7 0 12 viser korleis vekta til to babyar, Geir og Janne, utvikla seg det første leveåret. Geir vog G() kilogram, og Janne vog J() kilogram månader etter fødselen. a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til G og grafen til J i same koordinatsystem. Eg teiknar grafane i GeoGebra: b) Kor mange kilogram la kvar av dei to babyane på seg i løpet av det første leveåret? Brukar CAS i GeoGebra til å rekne ut kor mykje dei veg etter 12 månader Det første leveåret la Geir på seg 6,6 kg og Janne 5,9 kg. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 9 av 20

Oppgåve 3 (6 poeng) Tabellen nedanfor viser kor mange nye elbilar som vart selde i Hordaland i 2010 og 2014. År 2010 2014 Talet på nye elbilar 26 2962 a) La vere talet på år etter 2010. Bruk opplysningane i tabellen til å bestemme ein eksponentiell modell f() for elbilsalet i Hordaland. Eg let vere talet på år etter 2010, og lagar følgjande tabell i reknearket i GeoGebra: Eg markerer så desse fire cellene, og brukar kommandoen «lag liste med punkt». Lista får då namnet Liste1, og eg brukar kommandoen RegEksp[Liste1] til å finne ein eksponentiell modell f() for elbilsalet i Hordaland. Eg får då følgjande modell: f ( ) 26 3,27 b) Kor mange prosent steig elbilsalet per år i perioden frå 2010 til 2014 ifølgje modellen frå oppgåve a)? Vekstfaktoren er 3,27. Det svarar til ein prosentvis auke på 227 %. Ifølgje denne modellen steig elbilsalet med 227 % kvart år i perioden 2010 til 2014. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 10 av 20

Diagrammet ovanfor viser utviklinga i salet av nye elbilar i Hordaland i perioden 2010 2014. c) Gjer utrekningar og vurder om modellen frå oppgåve a) er ein god modell for å skildre denne utviklinga. Eg reknar ut f(1), f(2) og f(3) i CAS i GeoGebra. Vi ser at desse tre utrekningane frå modellen stemmer nokså dårleg med tala frå diagrammet over, særleg for 2011 og 2012. Det er lite truleg at det seljast over 3,6 millionar elbilar i Hordaland i 2020. Modellen er ikkje god for å skildre utviklinga. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 11 av 20

Oppgåve 4 (4 poeng) Figuren ovanfor viser sterkaste middelvind ulike stader i Sør-Noreg under ekstremvêret «Nina» i januar 2015. Vi let den raude streken vere skiljet mellom Vestlandet og Sør-Austlandet. a) Bruk rekneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for sterkaste middelvind på Vestlandet og sterkaste middelvind på Sør-Austlandet. Eg skriv tala frå Vestlandet og Sør-Austlandet inn i to kolonnar i eit rekneark i GeoGebra. Eg markerer så kvar av kolonnane, og vel kommandoen «lag liste med punkt». Lista med temperaturar frå Vestlandet får då namnet Liste1, medan lista med temperaturar frå Sør- Austlandet får namnet Liste2. Eg brukar så kommandoane Gjennomsnitt[Liste1], Standardavvik[Liste1], Gjennomsnitt[Liste2], Standardavvik[Liste2]. Gjennomsnitt for sterkaste middelvind på Vestlandet var 29,9, med eit standardavvik på 3,9. Gjennomsnitt for sterkaste middelvind på Sør-Austlandet var 24,4, med eit standardavvik på 2,6. b) Kva fortel svara i oppgåve a) om sterkaste middelvind på Vestlandet samanlikna med sterkaste middelvind på Sør-Austlandet? Det var i snitt ein sterkare middelvind på Vestlandet enn på Sør-Austlandet. Det var også større variasjonar i vindstyrken på Vestlandet. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 12 av 20

Oppgåve 5 (4 poeng) Tenk deg at du opprettar ein BSU-konto 1. januar neste år og sett inn 25 000 kroner. Du sett inn 25 000 kroner 1. januar dei neste sju åra også. Renta er 4,7 % per år. a) Lag eit rekneark som gjev ei oversikt over kor mykje du vil ha på kontoen ved slutten av kvart år desse åtte åra Oversikt over kontobehaldning og formlar som er brukte Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 13 av 20

b) Kor mykje vil du få til saman i renter i løpet av desse åtte åra? Eg vil til saman få 47 281,80 kr i renter i løpet av desse åtte åra. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 14 av 20

Oppgåve 6 (4 poeng) I en rundspørring svarte 25 % at kantinetilbudet er viktig ved valg av arbeidsgiver. 32 % av mennene og 18 % av kvinnene som deltok i rundspørringen, svarte at god kantine er viktig. Anta at det var like mange menn som kvinner som deltok i rundspørringen. a) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram. Må først finne ut kor mange prosent av det totale talet desse mennene og kvinnene utgjer: 0,32 0,50 0,16 0,18 0,50 0,09 Krysstabell: Kantinetilbodet er viktig Kantinetilbodet er ikkje viktig Sum Menn 16 % 34 % 50 % Kvinner 9 % 41 % 50 % Sum 25 % 75 % 100 % b) Bestem sannsynligheten for at en person som deltar i rundspørringen, er en kvinne som synes kantine er viktig. Sannsynet for at ein person som deltek er ei kvinne som tykkjer kantine er viktig, er 9 %. c) Bestem sannsynligheten for at en person som svarer at kantine er viktig, er en mann. P(mann tykkjer kantine er viktig) 16 100 % 64 % 25 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 15 av 20

Oppgåve 7 (5 poeng) Tenk deg at du lånar pengar i banken og vil betale lånet tilbake med termin éin gong i året. Du betaler første terminbeløp eitt år etter at du tok opp lånet. Sett lånesummen lik L kroner p renta lik p prosent per år, slik at vekstfaktoren blir v 1 100 talet på terminar (år) lik det årlege terminbeløpet lik T kroner Då gjeld formelen L ( v 1) v T v 1 Du tek opp eit lån på 1 000 000 kroner med rente 3,5 % per år. a) Vis at formelen for terminbeløpet no blir 35000 1,035 T ( ) 1,035 1 L v 1 v T ( ) v 1 1000000 1,035 1 1,035 T ( ) 1,035 1 1000000 0,035 1,035 T ( ) 1,035 1 35000 1,035 T ( ) 1,035 1 b) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til T for 1 Teiknar grafen i GeoGebra: Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 16 av 20

c) Bestem det årlege terminbeløpet om du vil betale tilbake lånet på 20 år. Reknar i CAS i GeoGebra: Det årlege terminbeløpet blir 70361 kroner om eg vil betale tilbake lånet på 20 år. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 17 av 20

Oppgåve 8 (6 poeng) Figur 1 Figur 2 Figur 3 Ovanfor ser du dei tre første figurane i ein serie som kan fortsetjast. Dei store kvadrata er samansette av kvite og svarte kvadrat. Kvart av dei kvite kvadrata har areal lik 1. Dei svarte kvadrata har areal som aukar i storleik. a) Bestem det totale arealet av dei svarte kvadrata i den neste figuren, figur 4. Figur 1: Areal 1 Figur 2: Areal 4 4 16 Figur 3 Areal 9 9 81 Prøver å finne eit mønster: Figur 1: 2 2 4 Areal 1 1 1 1 Figur 2: 2 2 4 Areal 2 2 2 16 Figur 3: 2 2 4 Areal 3 3 3 81 4 Figur 4: Areal 4 256 Arealet til figur 4 er 256. b) Sett opp eit uttrykk som viser det totale arealet av dei svarte kvadrata i figur n uttrykt ved n. A() n n 4 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 18 av 20

Talet på kvite kvadrat i den nedste rada i kvar figur kan uttrykkast med eit andregradsuttrykk Sn ( ) c) Bestem Sn ( ) Figur 1: 2 Talet på kvite i nedste rad 3 3 1 Figur 2: Talet på kvite i nedste rad 12 3 2 Figur 3: Talet på kvite i nedste rad 27 3 3 S( n) 3n 2 2 2 d) Sett opp eit uttrykk for det totale arealet av dei kvite kvadrata i figur n uttrykt ved n. 2 Arealet blir S( n) A( n ) 2 3n n 9n n 8n 2 4 4 4 4 4 Totalt areal av dei kvite kvadrata 8n Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 19 av 20

Bildeliste Jordkloden: http://laholmutangranser.com/tag/fn/ (24.02.2015) Varmekilder: http://www.tu.no/kraft/2015/01/14/her-fyrer-man-mest-med-ved-i-norge (25.02.2015) Nina: http://www.vg.no/nyheter/innenriks/vaer-og-uvaer/her-blaaste-nina-mest/a/23371898/ (11.01.2015) BSU: https://www.sparebank1.no (26.02.2015) Kantine: http://e24.no/jobb/ (09.15.2015) Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2015 - løsning Side 20 av 20