Eksamen REA306 S1, Hausten 01 Del 1 Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 (5 poeng) Løys likningane a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6 1 3 4 b) 33 7 3 9 lg3 lg3 lg3 lg3 lg3 lg3 Alternativt: 3 9 3 3 c) lg 1 4 lg 1 lg1 10 10 1 100 99 Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 1
Oppgåve (4 poeng) Vi har gitt funksjonen f 3 3 a) Bestem eventuelle null-, topp- og botnpunkt på grafen av f. Eg finn eventuelle nullpunkt ved å setje f 0 30 3 0 3 3 0 3 0 3 3 Eg finn eventuelle topp- og botnpunkt ved å setje 3 3 0 10 1 1 0 1 1 f 3 3 0 Eg reknar så ut nokre verdiar for den deriverte for 1, for 1 1 og for 1. f 3 3 9 f veks når 1 f 0 3 0 3 3 f minkar når 1 1 f 3 3 9 f veks når 1 Vi kan då setje opp forteiknslinja til f 3 Det tyder at f har toppunkt f og at f har botnpunkt 1, 1 1, 1 3 1 1, 1, f 1 1,1 3 31 1, Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side
b) Lag ei skisse av grafen av f. Oppgåve 3 ( poeng) Løys likningssystemet y 10 8 y1 y 1 y1 y 10 8 1 10 8 816 0 4 0 4 y 4 1 4 Oppgåve 4 (1 poeng) 4 Lag ein formel for uttrykt med y når 3y 3 Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 3
3 4 3y 3 3 9y 4 9 y 4 9 9 y y 4 4 3 3 y y Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 4
Oppgåve 5 ( poeng) Harald kjøpte i alt 0 sekker med bjørkeved og granved. Ein sekk med bjørkeved kosta 83 kroner, og ein sekk med granved kosta 65 kroner. Til saman betalte han 1570 kroner for sekkene. Bestem kor mange sekker med bjørkeved og kor mange sekker med granved Harald kjøpte. Eg lar stå for talet på sekker med bjørkeved, og y for talet på sekker med granved Harald kjøpte. Opplysningane i oppgåva gir då likningssettet y0 83 65y 1570 y 0 y 0 83 65 0 1570 83 1300 65 1570 18 70 15 y 0 15 5 Harald kjøpte 15 sekker med bjørkeved og 5 sekker med granved. Oppgåve 6 (4 poeng) Skriv så enkelt som mogleg lg 3lgb lg a 5 b a) ab a 5 lgab 3lgb lg lg 5 ab 3lgb lga lgb b lga lgb 3lgb lga 5lgb lga10lgb lg ab 10 b) 3 1 1 3 1 4 1 9 4 1 3 3 4 1 9 4 1 4 3 8 13 Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 5
Oppgåve 7 (4 poeng) a) Skriv opp dei åtte første radene i Pascals trekant. b) Bruk Pascals trekant til å bestemme binomialkoeffisientane 4 5 5 7,, og 0 4 5 I Pascals trekant finn vi binomialkoeffisienten m i rad nummer m der øvste rad er rad n nummer 0, og i rute nummer n telt frå venstre. Ruta lengst til venstre er rute nummer 0. Det tyder at 4 1, 5 10, 5 5 og 7 1 0 4 5 c) I ei eske er det åtte papirlappar nummererte frå og med 1 til og med 8. Kor mange ulike tal med tre siffer kan vi lage med dei åtte nummererte lappane? Dette er eit ordna utval utan tilbakelegging, det vil seie at rekkjefølgja har noko å seie. Talet på tal med tre siffer vi kan lage er 8! 8 7 6 5 4 3 1 84 336 8 3! 5431 Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 6
Oppgåve 8 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Vis at f 1 f 4 ved å bruke definisjonen av den deriverte. 1 f f 1 f f f f f f 0 0 0 f f lim 0 1 1 lim 0 1 1 lim 0 lim lim lim 4 1 1 4 4 lim 4 f 0 f 4 1 1 Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 7
Del Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unnatak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Oppgåve 1 (6 poeng) Eit utleigefirma har 0 kajakkar på lager. Av desse er sju gule, åtte raude og fem kvite. Maria og tre venner vil leige kvar sin kajakk. Firmaet vel ut fire kajakkar tilfeldig frå lageret. a) Bestem sannsynet for at Maria og venene får utdelt to gule, éin raud og éin kvit kajakk. Dette er ei hypergeometrisk sannsynsfordeling 7 8 5 1 1 P to gule, éin raud, éin kvit 17,34 % 0 4 Utrekning frå GeoGebra: b) Bestem sannsynet for at firmaet vel ut fire gule kajakkar. 7 8 5 4 0 0 P fire gule, ingen raude eller kvite 0,7 % 0 4 Utrekning frå GeoGebra: Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 8
c) Bestem sannsynet for at ingen av dei fire kajakkane er gule. 7 13 0 4 P ingen gule, 4 raude eller kvite 14,76 % 0 4 Utrekning frå GeoGebra: Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 9
Oppgåve (9 poeng) Funksjonen f er gitt ved 1 3 f 3 3 a) Bestem ved rekning skjeringspunkta mellom grafen av f og koordinataksane. Eg definerer funksjonen i GeoGebra. Utrekningar i GeoGebra viser at Grafen skjer y - aksen i punktet 0,0 Grafen skjer - aksen i punkta 0,0 og 4,5, 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 10
b) Teikn grafen av f når,5. Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet 0,3. Eg teiknar grafen av f i GeoGebra for,5 Den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet 0,3, er stigingstalet til den rette linja som går gjennom punkta 0, f 0 0,0 og 3, f 3 3, 4,5 Den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet 0,3 er 1,5. (Sjå koordinatsystemet ovanfor.) Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 11
c) Bruk f til å bestemme eventuelle topp- og botnpunkt på grafen av f. Utrekningar i GeoGebra viser at den deriverte er null for 0, og for 3. Den deriverte er positiv, det vil seie at grafen stig når 0 og når 3. Den deriverte er negativ, det vil seie at grafen søkk når 0 3. Grafen av f har toppunkt 0, f 0 0,0 f Grafen av f har bunnpunkt 3, 3 3, 4,5 d) For kva for verdiar av er den momentane vekstfarten lik 1,5? Eg løyser likninga f 1,5 i GeoGebra Den momentane vekstfarten lik 1,5 når 0,6 og når,4 Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 1
Oppgåve 3 (7 poeng) Kostnadene f målte i kroner, ved å produsere ei bestemt vare er gitt ved funksjonen f 0,4 3 000 der er talet på hundre produserte einingar. Til dømes svarar 0 til 000 einingar. Produsenten sel heile produksjonen. Prisen per eining er 5,00 kroner. a) Forklar at inntektsfunksjonen g er gitt ved g 500 Teikn grafane av f og g i same koordinatsystem når 0,. Inntekta, g, er lik talet på selde einingar, kroner. Vi får g 100 5,00 500 Vi teiknar grafane av f og g i GeoGebra for 0, 100, multiplisert med pris per eining, 5,00 b) Bestem kor mange einingar som må produserast og seljast for at drifta skal gå i balanse. Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 13
Eg finn skjeringspunkta mellom grafane av kostnadsfunksjonen og inntektsfunksjonen ved kommandoen "skjering mellom to objekt" i GeoGebra. Skjeringspunkta mellom kostnadsfunksjonen og inntektsfunksjonen viser at inntekter og kostnader like store, det vil seie at bedrifta går i balanse, når det blir produsert og selt 400 einingar og når det blir produsert og selt 100 einingar. c) Bestem den produksjonsmengda som gir størst overskot. Kor stort er det største overskotet? Eg finn grafisk toppunktet på overskotsfunksjonen O f g ved kommandoen "Ekstremalpunkt" i GeoGebra. Ei produksjonsmengd på 1 600 einingar gir størst overskot. Det største overskotet er på 4 869 kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 14
Oppgåve 4 (8 poeng) Ei bedrift produserer einingar av ei vare A og y einingar av ei vare B. Bedrifta har funne ut at det er følgjande avgrensingar i samband med produksjonen: 39y13 4y50 3y44 5y4 a) Lag eit koordinatsystem og marker på figuren det området som er avgrensa av dei fire ulikskapane. Vi teiknar i GeoGebra Bedrifta reknar med at vare A kan seljast for 840,00 kroner per eining, medan vare B kan seljast for 1500,00 kroner per eining. b) Kor mange einingar bør produserast og seljast av kvart vareslag dersom salsinntekta skal bli størst mogleg? Kor stor er den maksimale inntekta bedrifta kan oppnå? Inntektsfunksjonen for bedrifta blir I, y 840,00 1500,00 y Eg teiknar grafen av inntektsfunksjonen i GeoGebra der inntekta er glidaren i. Alle punkt som ligg på grafen av inntektsfunksjonen, den raude grafen, gir same inntekt. Denne grafen parallellforskyver vi for ulike inntekter inntil han rører det skraverte området som markerer dei aktuelle produksjonskombinasjonane av vare A og vare B. Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 15
Bedrifta oppnår maksimal inntekt når det blir produsert 6 einingar av vare A og 6 einingar av vare B. Eg reknar ut den maksimale inntekta i GeoGebra Den maksimale inntekta bedrifta kan oppnå er 30 840 kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 16
c) Vis at bedrifta er sikra ei minsteinntekt på 19 440,00 kroner. Eg held fram å parallellforskyve nivålinja for inntekt. Ein produksjon av 16 einingar av vare A og 4 einingar av vare B er den av dei aktuelle produksjonane som gir lågast inntekt. Minsteinntekta er på 19 440 kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 17
Oppgåve 5 (6 poeng) Ein produsent skal lage ein rett, lukka sylinder. Høgda h og diameteren d kan variere, men dh 6. Vi set radius i sylinderen lik. a) Vis at volumet V av sylinderen då kan skrivast som 6 V 3 Vis at i denne oppgåva må 0,3. dh6 h6 h6 V G h r h 6 3 6 V V For å få ein sylinder må radius og høgd vere større enn null. Det gir 0 og h 0. h 0 6 0 6 6 3 Vi må altså ha 0,3 b) Bruk V til å vise at det største volumet sylinderen kan få, er nøyaktig lik 8. Eg definerer først volumfunksjonen i GeoGebra (linje 1). Eg finn toppunktet til volumfunksjonen der den deriverte funksjonen er lik null under føresetnad av at at den deriverte er positiv, grafen stig, til venstre for punktet og den deriverte er negativ til høgre for punktet (linje,3 og 4). Eg kan ikkje bruke løysinga 0 fordi denne løysinga ligg utanfor definisjonsområdet. Sylinderen får sitt største volum når. Linje 5 viser at: Det største volumet sylinderen kan f å er 8. Eksamen REA306 Matematikk S1, Hausten 01 Side 18