Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på side 483, antyder Pythogoras teorem at buelengdeelementet ds er gitt ved dx 2 dy 2 ds = + Dermed er buelengden gitt ved t=1 t= = (6t) 2 + (6t 2 ) 2 = 6t 1 + t 2. ds = 1 6t 1 + t 2. Dette integralet kan vi løse ved substitusjon. La u = 1 + t 2. Da er du = 2t, slik at = 1 2 du. Vi integrerer da fra u = 1 + 2 = 1 til u = 1 + 1 2 = 2. Vi finner at 1 6t 1 + t 2 = 3 = 3 2 u du 1 2 3 23/2 2 3 13/2 = 2(2 3/2 1) = 4 2 2. Her har vi brukt det ubestemte integralet u du = 2 3 u3/2. Buelengden er altså 4 2 2. 8.4.9 En sykloide er gitt ved x = at a sin t, y = a a cos t, se eksempel 8 på side 476. Vi skal finne buelengden til en bue i sykloiden, som svarer til t 2π, og finner at dx = a a cos t = a(1 cos t) dy = a sin t. Av samme resonnement som i forrige oppgave er ds = a 2 (1 cos t) 2 + a 2 sin 2 t = a 1 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t = a 2 2 cos t siden cos 2 t + sin 2 t = 1 = a 2(1 cos t). 6. februar 219 Side 1 av 5
Buelengden er dermed t=2π t= ds = a 2π 2 1 cos t. Denne integranden kan forenkles ved å bruke trigonometriske identiteter. Ved hjelp av formelen cos t = cos 2 t 2 sin2 t 2, kan man finne at1 1 cos t = 1 cos 2 t + sin 2 t 2 2 =sin 2 t 2 = 2 sin 2 t 2. Hvis vi setter dette inn i vårt integral, ser vi at buelengden er a 2π 2 2 sin 2 t 2π 2 = 2a sin t 2 2π = 2a sin t 2 = 2a 2 cos 2π2 + 2 cos = 8a. Det er ver å merke seg at sin t 2 ikke er negativ så lenge t 2π det er derfor vi kunne fjerne absoluttverditegnet i utregningen vår. Oppgave 1 fra pdf Vi er gitt funksjonsfølgen {f n (x)}, der f n (x) = 1 + n 2 x 2 for x (, ). Husk at {f n (x)} konvergerer punktvis mot en funksjon f dersom lim f n(x) = f(x) for alle x (, ). (1) For å finne en funksjon f som følgen konvergerer punktvis mot, holder vi derfor x (, ) fast og regner ut lim f n(x) = lim = lim 1 + n 2 x 2 x/n 1/n 2 + x 2 = + x 2 =. I utregningen over har vi delt både teller og nevner på n 2. Det er veldig viktig i utregningen vår at x er fast og ulik vi kan derfor behandle den som en hvilken som helst konstant. 1 Dersom du ikke husker disse formlene, kan du finne dem nederst på side 52 i læreboka. 6. februar 219 Side 2 av 5
Vi ser av ligning (1) at funksjonsfølgen konvergerer punktvis mot funksjonen f gitt ved f(x) = for alle x (, ). La oss så sjekke om konvergensen er uniform. Per definisjon er konvergensen uniform dersom lim d(f, f n) =, der avstanden d(f, f n ) mellom funksjonene er gitt ved I vårt tilfelle er, siden f(x) =, sup f(x) f n (x). x (, ) sup x (, ) for enhver gitt n. Men la x = 1/n vi finner at Dette betyr 2 at Spesielt kan vi ikke ha at 1 + n 2 x 2 1 + n 2 x 2 = n/n 1 + n 2 /n 2 = 1 2. sup x (, ) 1 + n 2 x 2 1 2 lim d(f, f n) =, som betyr at vi ikke har uniform konvergens. Merk: Dersom du ikke umiddelbart så at x = 1/n er et lurt valg, kunne du heller funnet maksimumsverdien til f n (x) =, for eksempel ved derivasjon. For å vise 1+n 2 x 2 uniform konvergens må vi vise at sup x (, ) blir vilkårlig liten når 1+n 2 x 2 n. Som dere kanskje husker fra MA111, vil sup x I g(x) = max x I g(x) dersom funksjonen g(x) faktisk har en maksimumsverdi på et intervall I (det vil den ikke alltid ha!). Så å vise at sup x (, ) f n (x) ikke blir vilkårlig liten for stor n, er det samme som å vise at maksimumsverdien til f n ikke blir vilkårlig liten, gitt at maksimumsverdien finnes. Denne fremgangsmåten bruker vi i neste oppgave. Oppgave 2 fra pdf Vi er gitt funksjonsfølgen {f n (x)}, der f n (x) = xe er definert på intervallet I = (, ]. For å vise at funksjonsfølgen konvergerer uniformt mot f(x) =, må vi vise at lim d I (f n, f) =, der d I (f n, f) = sup x I f n (x) f(x) = sup xe. x I 2 Husk at supremum er definert som minste øvre skranke. Spesielt er supremum en øvre skranke (upper bound), som betyr at vi har at sup x (, ) for alle x (, ). Men vi har, for alle n, funnet en x = 1/n slik at 1+n 2 x 2 1+n 2 x 2 1+n 2 x 2 = 1 2. Det må bety at sup x (, ) 1+n 2 x 2 1 2. 6. februar 219 Side 3 av 5
La oss gjøre som i merknaden over: vi finner maksimumsverdien til xe for en gitt n. Legg først merke til at xe = xe, siden vi bare kikker på negative x- verdier. Vi skal altså finne maksimumsverdien til xe, og bruker derivasjon. Ved produktregelen finner vi d dx ( xe ) = e e = (1 + )e. d Av denne ligningen er det lett å se at dx (xe ) = hvis og bare hvis x = 1 n. Dermed er en kandidat til maksimumsverdi 1n e 1 = 1 n e 1 >. Vi merker oss også at f n () =, og at lim f n(x) = lim x x xe =. Dette betyr at f n (x) avtar i begge retninger fra x = 1 n, både mot x = og mot x =. Dermed er 1 n e 1 maksimumsverdien til f n (x) for x I, ergo sup f n (x) = 1 x I n e 1. Derfor er d I (f n, f) = sup f n (x) = 1 x I n e 1, og vi ser at lim d I(f n (x), f(x)) = som betyr at vi har uniform konvergens. Oppgave 3 fra pdf Vi har funksjonsfølgen {f n } der f n (x) = x2n+1 4 n for x I = [ 2, 2]. For å finne den punktvise grensen til funksjonsfølgen holder vi x fast, og regner ut lim f x 2n+1 n(x) = lim 4 n. For å finne denne grensen er det lurt å skrive x2n+1 4 n = x lim f n(x) = lim x x 2 4 x 2 n. 4 Da ser vi 3 at n = 2 hvis x = 2 eller x = 2, hvis 2 < x < 2. Derfor konvergerer funksjonsfølgen punktvis til funksjonen f gitt ved 2 hvis x = 2, f(x) = hvis 2 < x < 2 2 hvis x = 2. Vi skal så avgjøre om konvergensen er uniform. Det raskeste beviset for at konvergensen ikke er uniform, er å bruke at uniform konvergens bevarer kontinuitet. Nærmere bestemt har vi sett følgende teorem i forelesning (se også teorem 11.3.8 i Lindstrøms bok, som vi har lagt ut til dere): 3 Vi bruker at for et positivt tall a er lim a n = når a < 1, og lim a n 1 for a = 1. I vårt tilfelle er a = x2 4. 6. februar 219 Side 4 av 5
Teorem. Anta at {f n } er en følge av kontinuerlige funksjoner definert på en mengde A. Dersom {f n } konvergerer uniformt mot en funksjon f på A, må f være kontinuerlig. Dette kan vi bruke til et motsigelsesbevis for å vise at konvergensen ikke er uniform. Anta (med håp om en motsigelse) at {f n } konvergerer uniformt mot funksjonen f. Siden alle f n er kontinuerlige (de er polynomer, og polynomer er kontinuerlige), sier teoremet at f må være kontinuerlig. Men f er åpenbart ikke kontinuerlig, siden den gjør et hopp i endepunktene x = ±2. Dermed kan ikke vår antagelse stemme, som betyr at {f n } ikke konvergerer uniformt. Merk: Å bruke teoremet over til å lage et motsigelsesbevis, slik vi gjør over, er ofte en kjapp måte å vise at en funksjonsfølge ikke konvergerer uniformt: hvis funksjonsfølgen består av kontinuerlige funksjoner og grensefunksjonen f ikke er kontinuerlig, kan ikke konvergensen være uniform. 6. februar 219 Side 5 av 5