Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet bruke gruppeteori i argumentasjonen. Dette gir et eksempel på hvordan forholdsvis abstrakt matematisk teori kan kaste lys over helt konkrete problemer. Selv vurderer jeg argumentasjonen her som enda mer elegant enn bruken av partall/oddetall. Jeg vil ta for meg det kjente eneboerspillet ( peg solitaire ) i forskjellige utgaver og med forskjellige startoppstillinger og vise at det er umulig å få igjen bare én pinne med flere av disse oppstillingene som utgangspunkt. Den mest brukte varianten av eneboerspillet er den vi ser i figur 1. Figur 1 Spillet starter med pinner i alle felt bortsett fra i midten. Vi hopper over en pinne til et ledig hull og fjerner pinnen som ble hoppet over. Hoppene kan foretas vannrett eller loddrett, men ikke diagonalt. Vi gjentar prosessen til vi ikke kan hoppe mer. Målet er å ende med bare én pinne i midten. Dette kan gjøres på mange måter, og flere av leserne har nok en eller annen gang klart å få igjen bare én pinne. Vi kan også starte spillet med færre pinner. Da er det ikke sikkert at vi klarer å ende opp med bare én pinne. I figur 2 starter vi med noen ganske få pinner rundt midten. Prøv å få én pinne igjen fra dette utgangspunktet. Det er ganske fortærende, men det er faktisk ikke mulig å få bare én pinne igjen! Vi må ende med minst to pinner. Hvorfor er det slik, tro? 1
Figur 2 Litt gruppeteori I matematikken har ordet gruppe en helt spesiell betydning. En gruppe er en matematisk struktur der vi har en operasjon på en mengde G, og der operasjonen oppfyller følgende aksiomer: (i) For alle x, y og z er x (y z) = (x y) z (assosiativitet) (ii) Det finnes et element e slik at x e = e x = x for alle x (nøytralt element) (iii) For alle x finnes det et element x slik at x x = x x = e (inverst element) Hvis vi i tillegg har at: (iv) x y = y x for alle x og y (kommutativitet) så kaller vi gruppen for en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppeteorien er en generalisering av vanlige regneoperasjoner. Assosiativiteten og kommutativiteten gjør at vi kan regne på vanlig måte med operasjonen i hvilken som helst gruppe. Et eksempel på en gruppe er alle positive reelle tall der operasjonen er vanlig multiplikasjon. Tallet 1 er nøytralt element, mens x -1 vil være det inverse elementet til x. Et annet eksempel er de hele tall (positive og negative) der operasjonen er vanlig addisjon. Her vil tallet 0 være nøytralt element, mens x er det inverse elementet til hver x. I denne artikkelen vil jeg bruke en spesiell gruppe firergruppen med fire elementer e, a, b og c, der e er nøytralt element, og der sammensetningstabellen for de andre elementene er som følger: a b c a e c b b c e a c b a e Jeg vil bruke ordene multiplikasjon og produkt for operasjoner med elementene i denne gruppa. Det kan vises at operasjonen oppfyller aksiomene for en abelsk gruppe. 2
Operasjonen i firergruppen har noen meget pene egenskaper: (i) a a = e, så a = a. a er sin egen invers. Det samme gjelder også for b og c. (ii) a b = c, b c = a og c a = b. Så når vi ganger sammen to elementer (bortsett fra e), får vi det tredje! (iii) a b c = e. Et eksempel på firergruppen er de fire tallene 1, 3, 5 og 7, der operasjonen er multiplikasjon modulo 8 (hvor vi ganger sammen tallene og trekker fra 8 så mange ganger at vi ender med et svar mindre enn 8). F.eks vil 5 7 = 3 (fordi 5 7 = 35 og dermed 3 mer enn et multiplum av 8). Sjekk gjerne selv at vi bl.a har at 3 5 = 7, at 7 7 = 1 og at 3 5 7 = 1. Et annet eksempel (som nesten hadde fortjent en egen artikkel) er gruppen av symmetrier på et rektangel ii. Hold et A4-ark av papp foran deg, der det er tegnet en grønn pil som peker oppover på forsiden og en rød pil som peker oppover på baksiden. Vi kan rotere arket 180 på tre måter slik at det fortsatt vil stå på høykant: dreining om en akse vinkelrett på midten av arket (da vil den grønne pila peke nedover), rotasjon om en vertikal akse midt på arket (da vil den røde pila komme fram og peke oppover), samt rotasjon om en horisontal akse midt på arket (da vil den røde pila komme fram og peke nedover). I tillegg har vi operasjonen der vi ikke gjør noe (da vil den grønne pila fortsatt peke oppover) dette er det nøytrale elementet i gruppa. Prøv nå å sette sammen disse operasjonene ved hjelp av arket. Hvis du først dreier arket og deretter roterer det om en vertikal akse, svarer det til rotasjon om en horisontal akse. Og hvis du foretar alle de tre operasjonene etter hverandre, kommer du tilbake til utgangspunktet! Og selvsagt: hvis du foretar samme operasjon to ganger etter hverandre, kommer du også tilbake til utgangspunktet. Disse operasjonene svarer derfor til a, b, c og e i firergruppen! Sjekk gjerne alle sammensetninger i denne tabellen ved hjelp av dette arket. Analyse av forskjellige startoppstillinger Nå vil jeg anvende teorien fra firergruppen på eneboerspillet. Det gjør jeg ved å markere alle feltene med bokstavene a, b og c. Jeg starter øverst og forflytter bokstavene én plass mot venstre for hver rad. Dette gir en struktur på spillet slik at tre påfølgende felt alltid blir markert med én a, én b og én c. Dette gjelder både vannrett og loddrett, se figur 3. Merk at ingen felt er markert med e. a b c c a b c a b b c a Figur 3 3
Hvis ikke alle hull er fylt med pinner, vil jeg bruke sammensetningstabellen for firergruppen og regne ut produktet av alle fylte hull. Eksemplet i figur 2 vil bli markert som i figur 4. a b c c a b c a b b c a Figur 4 Produktet av alle fylte hull er b c c a b b c = b e a e c = b a c = e. Her bruker jeg bl.a at c c = e og at b b = e. Men hva betyr det at produktet av alle fylte hull er e? La oss se på hva som skjer under spillets gang. Et hopp omfatter alltid tre felt etter hverandre, langs en vannrett eller loddrett linje. Så a, b og c er involvert i hvert hopp. Nå ser vi på en detalj der feltene merket b og c er fylt (noe vi har flere eksempler på i figur 4): Vi tar tak i pinnen i feltet merket c, hopper over og fjerner pinnen i feltet merket b og setter den i feltet merket a. Da får vi denne situasjonen: Før vi hopper, er produktet av de fylte hullene b c = a. Etter hoppet er produktet av de fylte hullene a. Produktet av fylte hull forandres ikke! Siden produktet av fylte hull i hvert trekk ikke endres, må produktet av alle fylte hull ved spillets slutt være lik produktet av alle fylte hull ved spillets begynnelse! Da går jeg tilbake til eksemplet fra figur 4. Ved spillets slutt må altså produktet av alle fylte hull være e. Men da kan vi ikke ende med bare én pinne igjen. For den må stå i et felt merket enten a, b eller c, og da er produktet av fylte hull enten a, b eller c, og ikke e. Det er umulig å få én pinne igjen i dette spillet! 4
Det beste vi kan oppnå, er å få to pinner igjen. Og da vil de begge stå i felt merket med samme bokstav, f.eks a og a. Det går greit, siden a a = e. Finn selv ut hva slags felter pinnene kan ende på dersom vi får igjen tre pinner. Test det gjerne ut ved å prøve dette spillet noen ganger! Vi ser på et eksempel til (Figur 5). Markert med bokstaver får vi mønsteret i figur 6. Figur 5 a b c c a b c a b b c a Figur 6 Hva er produktet av alle fylte hull her? For å slippe en lang utregning, kan vi stryke tre og tre felter som følger etter hverandre og har bokstavene a, b og c, fordi a b c = e. Vi står da kanskje igjen med de fire spissene, som alle er merket a. Dermed er produktet av alle fylte hull a a a a = e. Alternativt kan vi telle og se at vi har 11 a-er, 7 b-er og 7 c-er. Så kan vi stryke to og to av hver av disse bokstavene, og vi får at produktet av alle fylte hull er a b c = e. Siden produktet av alle fylte hull er e, er det ikke mulig å få bare én pinne igjen i dette spillet heller! Nå går vi tilbake til det vanlige eneboerspillet, der alle felt er fylt ut, bortsett fra feltet i midten. Ved gjentatte ganger å stryke a-b-c fra diagrammet, vil vi raskt se at produktet av alle fylte hull er a. Det betyr at det kan være mulig å få én pinne igjen, og at denne da må ende i et felt merket a. Det er ikke mulig å ende i et felt merket b eller c! Men hvis vi får to pinner igjen, må de ende i et felt merket b og et felt merket c, siden b c = a. Finn gjerne selv ut hva slags felter pinnene kan ende på dersom vi får igjen tre pinner eller fire pinner! Jeg har vist at hvis vi får én pinne igjen, må den ende i et felt merket a. Men dette er ikke hele historien, for vi kan ikke ende i alle felt merket a. Med et lite knep kan vi begrense mulige 5
sluttposisjoner ytterligere. I figur 3 forskjøv vi bokstavene mot venstre for hver rad. Men vi kan også forskyve dem mot høyre for hver rad. Vi setter dette sammen til et mer fullstendig diagram (figur 7). cc ab bc aa bb ca cb ac ba cb ac ba cb aa bb cc aa bb cc aa bc ca ab bc ca ab bc ba cb cc ac aa bb Hvis vi starter spillet med hull i midten, må spillet ende i et felt merket a både i den venstrevridde og i den høyrevridde varianten. Så om vi starter med hull i midten, markert aa, må vi ende med en pinne i et felt markert aa. Det kan altså ikke være mer enn fem måter å ende spillet på med én pinne igjen dersom vi starter i midten. Dersom vi starter spillet med et hull et annet sted, f.eks i bc, må spillet ende i et felt med samme markering. I McKerrell (1972) er disse mulighetene gjennomgått i detalj. Der er det også nevnt at det er mulig å få igjen én pinne i eneboerspillet uansett hvor starthullet velges iii. På Internett finnes det løsninger for alle disse versjonene av eneboerspillet, søk på peg solitaire. I Gardner (1969) er det gitt mange eksempler på startoppstillinger som skal kunne ende opp med én pinne, og flere av dem er ganske krevende. En av dem er som i figur 5, men pinnen i midten er fjernet. Lag gjerne selv noen pene figurer, og test (både med teori og i praksis) om det er mulig å få én pinne igjen med disse som startoppstillinger iv. Men selv om en startoppstilling har produkt forskjellig fra e, er det ikke sikkert at vi kan få én pinne igjen. Figur 8 er et eksempel på det. Her er produktet av alle fylte hull a, men det er likevel ikke mulig å få bare én pinne igjen. Prøv og se at det ikke er mulig! Figur 8 6
For fullstendighets skyld vil jeg også ta med følgende: Den skjeve lille startoppstillingen i Figur 2 har produkt e i den venstrevridde varianten, men i den høyrevridde varianten vil den få produkt a! Det er likevel fortsatt umulig å få igjen én pinne. Så usymmetriske figurer bør sjekkes i begge varianter. Andre versjoner av eneboerspillet For mange år siden kjøpte jeg en trekantet versjon av eneboerspillet, som ble kalt IQ-testen (figur 9). Spillet starter med et hull i det øverste hjørnet eller et annet sted på spillebrettet. Trekkene er som i det vanlige eneboerspillet, men nå kan vi flytte i tre retninger. Figur 9 Dette spillet kan analyseres på samme måte som foran, ved at vi markerer hvert felt med a, b og c, og slik at hvert trekk vil omfatte én bokstav av hvert slag. (Nå trenger vi ingen dobbeltmarkering.) Hvis vi betegner det øverste feltet med a og starter med et hull der, kan vi raskt finne ut at produktet av alle fylte hull er a. Derfor kan det være mulig å ende opp med bare én pinne (i et felt merket a). Av samme grunn kan det også være mulig å få igjen bare én pinne uansett hvor det første hullet velges. Jeg har prøvd meg på dette spillet og funnet ut at det er mulig å ende opp med bare én pinne igjen, uansett hvor vi velger hullet i starten. Derimot er det ikke mulig å ende opp med bare én pinne igjen hvis spillet f.eks starter med et hull i hvert hjørne, for da vil produktet av alle fylte hull være e. Den siste versjonen av eneboerspillet som jeg vil nevne, kommer fra Frankrike og er ganske utbredt også her hos oss (figur 10). Spillebrettet er gjerne rundt og med fordypninger som det legges klinkekuler i. 7
Figur 10 Det er naturlig å starte spillet med et hull i midten. Men ingen av dem som har startet slik, har fått bare én pinne (eller klinkekule) igjen! For det er rett og slett umulig å få én pinne igjen når vi starter med et hull i midten! Dette kan begrunnes på samme måte som tidligere. Vi utvider markeringen med a, b og c for det vanlige eneboerspillet ved å ta med de fire ekstra feltene langs de skrå sidekantene, og i argumentet nedenfor trenger vi bare den venstrevridde varianten (figur 11). c a c a b c a b a b Figur 11 Vi får to a-er, én b og én c ekstra, i tillegg til a-en som er produktet av alle fylte hull i det vanlige eneboerspillet. Vi får da at produktet av alle fylte hull i dette spillet er e. Jeg kan derfor trøste dere som har strevet for å få igjen én pinne i dette spillet at dere ikke har spilt dårlig. Det er rett og slett ikke mulig å ende opp med bare én pinne igjen! Spillet kan bare løses dersom hullet velges i ett av feltene som ikke inneholder noen a, verken med den venstrevridde eller høyrevridde markeringen. Hullet må derfor velges ett eller to felt fra midten eller i ett av hjørnene. På Internett finnes løsninger for alle disse valg av starthull. Det er heller ikke mulig å ende i samme felt som starthullet. For hvis hullet f.eks er i et felt markert b, blir produktet av alle fylte hull c, og vi må ende i et felt markert c. Hvis du vil prøve deg på dette spillet, kan du gjerne starte med hull én plass over midten. Da er det f.eks mulig å ende med én pinne igjen to plasser over midten. Men dette var jo ikke så estetisk som det vanlige eneboerspillet, da 8
Avslutning I denne artikkelen har jeg tatt for meg noen problemer mht eneboerspillet, og jeg har vist hvordan matematisk teori kan gi en struktur og kaste lys over disse problemene. Jeg har brukt forholdsvis abstrakt gruppeteori og gitt konkrete anvendelser av den. Og i artikkelen i Tangenten brukte jeg den enkle strukturen som inndelingen i partall og oddetall kan gi. På denne måten har vi kommet innpå noe av det som er matematikkens inneste vesen : studiet av strukturer og bevis av hypoteser. Og ikke minst: Jeg har kanskje kunnet trøste dem av dere som forgjeves har prøvd å løse en versjon av eneboerspillet som er uløselig! Noter i Artikkelen er basert på et foredrag som jeg holdt i Fauske høsten 1978 for matematikklærere i videregående skole. Notatet til foredraget har ligget i en skuff til nå. ii I foredraget introduserte jeg firergruppen ved hjelp av disse symmetriene. iii McKerrell nevner også at det er mulig å ende i alle de feltene som har samme markering som starthullet. iv Gardner nevner at alle spill også kan foretas baklengs, ved at vi hopper over et hull og setter en pinne der. Den kjente matematiker Leibniz foretrakk denne måten å spille på, for da bygde han opp en figur i stedet for å ødelegge den. Når vi spiller slik, kan vi også tenke oss at vi spiller forlengs, men at vi betrakter hull som pinner og omvendt! Referanser Gardner, M (1969). Further Mathematical Diversions. Penguin Books. Johnsbråten, H (2013). Eneboerspillet. Tangenten 25/1, 21-25. McKerrell, A (1972). Solitaire. An Application of the Four-Group. Mathematics Teaching, 60, 38-39. 9