Norges teknisknaturvitenskapelige universitet NTNU INST. FOR ELKRAFTTEKNIKK Faggruppe: Energiomforming og Elektriske Anlegg (EEA) Adresse: 734 Trondheim Telefon: 735 9441 Telefa: 735 9479 Løsningsforslag nr : 3 Utarbeidet av : R.N./C.H. Utlevert : 1 Beregning av magnetisk felt i et spor a) C Vi ønsker å beregne Amperes ligning rundt kurven C. Hdl I enc C Siden permeabiliteten i stålet antas å være uendelig, vil det ikke kreve noe H-felt å drive fluksen gjennom dette. Følgelig behøver vi bare å utføre integrasjonen over lengdestykket i sporet, b: (1) H J b () Uttrykket til høyre for likhetstegnet beskriver den omsluttede strømmen, som vil øke som funksjon av. M.a.o. øker den omsluttede strømmen jo mer av den strømførende lederen vi lar C omslutte. Løser vi ligningen, får vi et uttrykk som er gyldig opp til toppen av lederen: B µ J for <h (3) I sporåpningen over lederen vil ikke C omslutte mer strøm selv om vi øker, og vi får: B µ J ---- h for h (4) Det er her tatt hensyn til at sporåpningen er smalere enn selve sporet. b) B 1 13T, (5) B maks 16T, (6)
c) Magnetisk energi i sporet: W 1 -- BHdv V -------- 1 B dv µ Siden vi ikke kjenner dybden til sporet, finner vi energien pr. meter ned i papirplanet. Vi deler også integrasjonen i to; ett integral for lederen, og ett for sporåpningen. Setter vi inn ligning 3 og ligning 4 inn i integralene, får vi: V (7) Løser integralene: + W µ J ----------------- d + -------- B µ maks d (8) Som gir: W µ J 3 b ----------------- h 6 1 + -------- B µ maks (9) W 89, J m --- (1) d) Finner lekkinduktansen fra sammenhengen: W 1 -- LI (11) som gir: L 71µH, m (1) e) Kraft på leder (pr volumenhet): f J B Dette gir umiddelbart at kraften virker i negativ -retning. En annen formulering av ligning 13 er Lorentz kraftvirkningslov, som ved ortogonale forhold (slik som her) sier: F BI Jeg har droppet lengdefaktoren, L, i ligning 14 ettersom beregningen utføres pr. lengdeenhet. Siden B varierer som funksjon av, må vi integrere: (13) (14) Løsningen på integralet blir: F µ J d (15) Løsningsforslag nr. 3 Side av 5 Utlevert
µ F J ----------------------- 31, 4 N m --- f) Fremgangsmåten blir som i oppgave a: b (16) J - A/mm J 1 4 A/mm B B 1 B maks Situasjonen er uforandret i forhold til oppgave a fra til : B( < ) µ J 1 B 1, 55T (17) I området mellom lederene er omsluttet strøm, I enc, konstant slik at Amperes ligning gir en konstant flukstetthet lik B 1. Videre opp i leder har vi at den omsluttede strømmen er gitt av: I enc J 1 + J (18) Slik at: Bh ( 1 + 3mm < + 3mm) B 1 + µ J B, 7T (19) Beregningen av B maks er rett frem, men vi må huske at integrasjonsveien har forandret seg fra til. I enc ( J 1 + J ) () µ B I --------------- enc, 8T (1) Løsningsforslag nr. 3 Side 3 av 5 Utlevert
Verifisering i FEMLAB.1 En leder i sporet: Setter opp følgende geometri i FEMLAB: Dirichlet (A) Antisymmery Homogen Neumann (n F) - Symmetry Symmetrilinje Det har altså latt seg gjøre å halvere problemet pga symmetri. Alle linjene untatt den øverste får Homogen Neumann grensebetingelse ( A ). n Hvis du velger å benytte millimeter som enhet, må du huske å skalere µ med faktoren 1. Relativ permeabilitet er 1 for kopperlederen. Når kilden og materialene er satt og en passende mesh er etablert, får vi følgende løsning: Flukstettheten blir høy i det området pilen peker (skarpt hjørne i geometrien). Dette kunne vi gjettet å forhånd, og det er hensiktsmessig å legge en fin elementoppdeling i dette området. I tillegg vil ikke flukstettheten som funksjon av få en så brå overgang som den analytiske beregningen indikerte i området ved toppen av lederen. Ellers er samsvaret bra. Løsningsforslag nr. 3 Side 4 av 5 Utlevert
. To ledere i sporet: Det meste blir likt her. Geometrien endres til å bli lik den i øvingens figur. Kildene endres slik at vi opererer med to strømtettheter. Plottene blir som under: Til slutt tas det med et plott fra FLUXD. Dette viser flukstettheten som funksjon av etter at feltberegningen er utført. Det samme kunne blitt gjort i FEMLAB, men her er brukergrensesnittet elendig. Dette er en av de store ulempene med FEMLAB. B.765 T B.554 T Løsningsforslag nr. 3 Side 5 av 5 Utlevert