KJEGLESNITT Espen B. Langeland realfagshjornet.wordpress.com espenbl@hotmail.com 27.oktober 2015 1 Snitt mellom kjegler og plan 2 Utledningene For utledning av ligninger for parabelen er det anvendt en avstand d. d er fra pytagoras setning: 1
d 2 = x 2 + y 2 der x og y alltid er satt x = x maks x min og y = y maks y min For utledninger av ellipsen og hyperbler er det anvendt: FP = FP der FP er vektoren fra F(x1, y 1 ) til P(x 2, y 2 ) og FP = (x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 d har kun en lengde uten noe bestemt retning. En vektor er et orientert linjestykke, dvs. at den har både lengde og retning. En ren algebraisk regning på parabler vil gi fire ligninger. Man kan betrakte de to med l = x-aksen som en og de to med l = y-aksen som en hver, ved å velge parameteren p som p < 0 og p > 0. 3 Parabelen Definisjon: En parabel er mengden av de punkter P i planet som ligger like langt fra en rett linje s(styrelinje) som fra et gitt punkt F(brennpunkt). Parabelen ligger symmetrisk om en akse som kalles parabelens akse(l). 3.1 Ligning ved l = x-aksen F=( p 2, 0) som brennpunkt, x = - p 2 som styrelinje og bunnpunkt i origo. d 1 er avstanden mellom styrelinjen og et punkt på parabelen (x, y) og d 2 er avstanden mellom (x, y) og brennpunktet. Etter definisjonen er d 1 = d 2 2
d 1 = (x ( p 2 ))2 + (y y) 2 = (x + p 2 )2 d 2 = ( p 2 x)2 + (y 0) 2 = ( p 2 x)2 + y 2 (x + p 2 )2 = d 1 = d 2 ( p 2 x)2 + y 2 (x + p 2 )2 = ( p 2 x)2 + y 2 x 2 + px + p2 4 = p2 4 px + x2 + y 2 y 2 = 2px 3
3.2 Ligning ved l = y-aksen F=(0, p 2 ) som brennpunkt, y = - p 2 som styrelinje og bunnpunkt i origo. d 1 er avstanden mellom brennpunktet og et punkt på parabelen (x, y). d 2 er avstanden mellom (x, y) og styrelinjen. Etter definisjonen er d 1 = d 2 d 1 = (x 0) 2 + ( p 2 y)2 = x 2 + ( p 2 y)2 d 2 = (x x) 2 + (y ( p 2 ))2 = (y + p 2 )2 d 1 = d 2 x 2 + ( p 2 y)2 = (y + p 2 )2 x 2 + ( p 2 y)2 = (y + p 2 )2 x 2 + p2 4 py + y2 = y 2 + py + p2 4 x 2 = 2py 4
4 Ellipsen Definisjon: La F 1 og F 2 være to punkter i planet. Mengden av de punkter P som ligger slik at F 1 P + F 2 P er konstant, er en ellipse. F 1 og F 2 er brennpunkter. a er store halvakse og b lille halvakse. Man velger (-c, 0) og (c, 0) som koordinater for brennpunktene og har sammenhengen c 2 = a 2 b 2. Etter figuren er: F 1 P = (x ( c)) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + y 2 F 2 P = (x c) 2 + (y 0) 2 = (x c) 2 + y 2 Dersom punktet P dreies til (x, 0) = (a, 0) blir F 1 P + F 2 P = 2a Etter definisjonen er da (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + x 2 2cx + c 2 + y 2 4cx 4a 2 = 4a (x c) 2 + y 2 5
cx a 2 = a (x c) 2 + y 2 a 2 cx = a (x c) 2 + y 2 (a 2 cx) 2 = a 2 ((x c) 2 + y 2 ) a 4 2cxa 2 + c 2 x 2 = a 2 (x 2 2cx + c 2 + y 2 ) a 4 2cxa 2 + c 2 x 2 = a 2 x 2 2cxa 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2 c 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 c 2 a 4 (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ) (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) c 2 = a 2 b 2 a 2 c 2 = b 2 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 b 2 x 2 a 2 b 2 + a2 y 2 a 2 b 2 = a2 b 2 a 2 b 2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Enkelte matematikkverk oppgir 2 ligninger for ellipsen. Det er tilstrekkelig med denne ene (*), og man får situasjonen: I) a > b 2a er store akse, 2b lille akse og (-c, 0) og (c, 0) er brennpunkter ( ) II) a = b x 2 + y 2 = a 2 = b 2 = r 2 er en sirkel 6
III) a < b 2b er store akse, 2a lille akse og (0, -c) og (0, c) er brennpunkter I I) er c 2 = a 2 b 2, i II) er c = 0 og i III) er c 2 = b 2 a 2. For å få en gyldig c for alle tre tilfellene, må c pålegges kravet: c 2 = a 2 b 2 Selv om sirkelen er oppført som et eget kjeglesnitt i innledningen, er den som angitt i II) også et spesialtilfelle av ellipsen ved r=a=b. Formelen for en sirkel med radius r og sentrum i origo blir: x 2 + y 2 = r 2 5 Hyperbelen Definisjon: La F 1 og F 2 være to punkter i planet. Mengden av de punkter P som ligger slik at F 1 P F 2 P er konstant er en hyperbel. 5.1 Hyperbel som skjærer x-aksen F 1 og F 2 er brennpunkter. 2a er den reelle aksen og 2b den imaginære aksen. Man kan velge brennpunktene til koordinatene (-c, 0) og (c, 0). Sammenhengen er a 2 + b 2 = c 2. Etter figuren er: F 1 P = F 2 P = (x ( c)) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + (y 0) 2 = (x c) 2 + y 2 7
Dersom punktet P dreies til (x, 0) = (a, 0) får man avstanden Etter definisjonen er da: F 1 P F 2 P = 2a > 0 (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 2a På figuren er F 1 P F 2 P > 0. Det medfører: (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a + (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4a (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a (x c) 2 + y 2 + x 2 2cx + c 2 + y 2 4cx 4a 2 = 4a (x c) 2 + y 2 cx a 2 = a (x c) 2 + y 2 (cx a 2 ) 2 = a 2 ((x c) 2 + y 2 ) c 2 x 2 2ca 2 x + a 4 = a 2 (x 2 2cx + c 2 + y 2 ) c 2 x 2 2ca 2 x + a 4 = a 2 x 2 2ca 2 x + a 2 c 2 + a 2 y 2 c 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 c 2 a 4 x 2 (c 2 a 2 ) a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ) x 2 b 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 x 2 b 2 a 2 b 2 a2 y 2 a 2 b 2 = a2 b 2 a 2 b 2 x 2 a 2 y2 b 2 = 1 8
5.2 Hyperbel som skjærer y-aksen (0, -c) og (0, c) er brennpunkter. 2b er den reelle akse, 2a den imaginære akse og sammenhengen er a 2 + b 2 = c 2 F 1 P = F 2 P = (x 0) 2 + (y ( c)) 2 = x 2 + (y + c) 2 (x 0) 2 + (y c) 2 = x 2 + (y c) 2 Dersom man tar utgangspunkt i punktet (x, y) = (0, b) eller (x, y) = (0, -b) blir Etter definisjonen er: F 1 P F 2 P = 2b > 0 x 2 + (y + c) 2 x 2 + (y c) 2 = 2b På figuren er F 1 P F 2 P > 0. Det medfører: x 2 + (y + c) 2 x 2 + (y c) 2 = 2b 9
x 2 + (y + c) 2 = 2b + x 2 + (y c) 2 x 2 + (y + c) 2 = 4b 2 + 4b x 2 + (y c) 2 + x 2 + (y c) 2 x 2 + y 2 + 2cy + c 2 = 4b 2 + 4b x 2 + (y c) 2 + x 2 + y 2 2cy + c 2 4cy 4b 2 = 4b x 2 + (y c) 2 cy b 2 = b x 2 + (y c) 2 (cy b 2 ) 2 = b 2 (x 2 + (y c) 2 ) (cy b 2 ) 2 = b 2 (x 2 + y 2 2cy + c 2 ) c 2 y 2 2cb 2 y + b 4 = b 2 x 2 + b 2 y 2 2cb 2 y + b 2 c 2 c 2 y 2 b 2 y 2 b 2 x 2 = b 2 c 2 b 4 y 2 (c 2 b 2 ) b 2 x 2 = b 2 (c 2 b 2 ) y 2 a 2 b 2 x 2 = b 2 a 2 y 2 a 2 a 2 b 2 b2 x 2 a 2 b 2 = b2 a 2 a 2 b 2 y 2 b 2 x2 a 2 = 1 (C) Copyright Espen B. Langeland 2015 MER OM ARTIKKELENS TEMA FINNES I EN BOK JEG HAR SKREVET: 10
MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE Her finner man også alle andre emner innen den videregående skoles matematikk. Mer informasjon om boken finnes under hjemmeside her på Realfagshjørnet. Bl.a. oversikt over kapitler og noe generell omtale. Boken kan bestilles under hjemmeside her på Realfagshjørnet eller forlagets hjemmeside: www.forlag.tk COPYRIGHT-MERKNAD: All gjengivelse av artikkelen på nettet eller annen måte er forbudt. Innholdet må ikke misbrukes i en skole- eller studie-sammenheng eller på annen måte som fusk, plagiat osv. Nedlasting er kun tillatt til personlig bruk. Kommersiell bruk av denne artikkelen er selvsagt også ulovlig. Å lage lenke til dette pdf-dokumentet eller realfagshjørnet generelt er tillatt for alle eksterne websider/hjemmesider. Med unntak: Websider med rasistisk, pornografisk eller på annen måte svært upassende innhold vil imidlertid bli bedt om å fjerne en slik lenke. 11